21.3.1 第1课时 矩形的性质-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

21.3 特殊的平行四边形 21.3.1 矩形 ©第1课时 矩形的性质 ①基础在线 》知识要点分类练 知识点1矩形边、角的性质 1.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩 形，若∠BAG=20°，则∠DAE= () A.10° B.20° C.30° D.45° 0 知识点2矩形的对角线相等 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相 交于点O,若AO=2,则DB的长度是() 第1题图 第2题图 2.(中考·内蒙古)如图，ABCD是一个矩形草 坪，对角线AC,BD相交于点O,H是BC边的 A.2 B.4 C.2√2 D.4√2 中点，连接OH,且OH=20m,AD=30m,则 6.矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,如 该草坪的面积为 ) 果∠AOB=40°，那么∠ADB的度数是( A.2400m2 B.1800m2 A.70° B.45° C.30° D.209 C.1200m D.600m2 7.(金华期末)如图，四边形ABCD为矩形，对角 3.(中考·辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在 线交于点O,DE∥AC交BC的延长线于 边AD上，BE=BC,连接CE,若AB=3,AE 点E =4,则CE的长为 (1)求证：四边形ACED是平行四边形； A.1 (2)若∠E=35°，求∠BOC的度数. B.5 D C.22 D.√10 4.（中考·吉林)如图，在矩形ABCD中，点E,F 在边BC上，连接AE,DF,∠BAE=∠CDF. (1)求证：△ABE≌△DCF; (2)当AB=12,DF=13时，求BE的长. 第二十-章50 知识点3直角三角形斜边上的中线等于斜」 13.(南阳期末)已知：如图，O是矩形ABCD对角线 边的一半 的交点，AE平分∠BAD,∠AOD=120°，则 8.(中考·福建)某房梁如图所示，立柱AD⊥ ∠AEO的度数为 BC,E,F分别是斜梁AB,AC的中点.若AB =AC=8m,则DE的长为m, 第13题图 第14题图 D 14.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AD 第8题图 第9题图 =AB,E,F分别是BD,AC的中点.若AC= 9.(中考·陕西)如图，在△ABC中，∠ACB= 8,则EF的长为 90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥ 15.(中考·烟台)如图，BD是矩形ABCD的对 AC,则图中与∠A互余的角共有 ( 角线，请按以下要求解决问题： A.2个 B.3个 (1)利用尺规作△BED,使△BED与△BCD C.4个 D.5个 关于直线BD成轴对称（不写作法，保留作图 痕迹)； ②能力在线》方法规律综合练… (2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F,AB 10.(中考·绥化)一个矩形的一条对角线长为 =1,BC=2,求AF的长. 10,两条对角线的一个夹角为60°，则这个矩 形的面积是 ( A.25 B.25√3 C.25√5 D.50√3 11.(中考·河北)如图，将矩形ABCD沿对角线 BD折叠，点A落在点A'处，A'D交BC于点 E.将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE 内的点C处，下列结论一定正确的是( ) A.∠1=45°-a B.∠1=a C.∠2=90°-a D.∠2=2a 3 拓展在线》培优拔尖提升练…。 ●· 16,如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,E,F分别是线段OA,OC上的点.若 DE=BF,AD=6,AE=1,CP=名，则DE的 第11题图 第12题图 长为 12.(教材P80习题T12(1)变式)如图，在平面直 角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AB=4, AD=6,AB∥x轴，已知点A(-2,-2),则 点C的坐标是 51探究在线八年级数学（下）能力在线 ∠ACE,∠ACB=∠ECD,∴.∠BCE=∠ACD. 8.C9.C10.12 又.BC=AC,EC=DC,∴.△BCE≌△ACD. 11.(1)证明：，∠ACB=90°，AC=BC,∴.∠ABC=45°. 1 BF⊥AB,.∠ABF=90°.∴.∠CBF=45. BE=AD.…PF=2AD. :CE平分∠ACB,∴.∠ECB=45. 拓展在线 .∠ECB=∠CBF. 15.C D为BC边的中点，CD=DB. 微专题4平行四边形的证明思路 I∠ECD=∠FBD, 1.,AB∥DE,∠B=∠DEF 在△CDE和△BDF中，{CD=BD, AC∥DF,.∠ACB=∠F ∠CDE=∠BDF, BE=CF,..BE+CE=CF+CE.BC=EF. ,△CDE≌△BDF(ASA). 在△ABC和△DEF中， .DE=DF. ∠B=∠DEF, 四边形CEBF是平行四边形. BC=EF, (2),CE平分∠ACB,AC=BC, ∠ACB=∠F, 易证得△ACE≌△BCE(SAS), .△ABC≌△DEF(ASA)..AB=DE. AE=BE,∴∠EAB=∠EBA ,AB∥DE,∴.四边形ABED是平行四边形. ∠EAB+∠AFB=90°，∠EBA+∠EBF=90°， 2.∠B=∠E=90°， .∠AFB=∠EBF. ∴△ABC和△DEF都是直角三角形 .EF-BE-AE-2AF-2. 在Rt△ABC和R△DEF中，AB=DE, (AC=DF, ,四边形CEBF是平行四边形， '.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). ..CF=BE=2. ∴.∠ACB=∠DFE. 拓展在线 点B,C,F,E在一条直线上， 124政号 .180°-∠ACB=180°-∠DFE. ∴∠ACF=∠DFC.∴.AC∥DF. 21.2.3三角形的中位线 又AC=DF,∴.四边形ACDF是平行四边形. 基础在线 3.四边形ABCD是平行四边形， 1.A2.B3.C4.(6,0)5.C6.A7.4√7 ∴.CD=AB,AD=BC,∠DAB=∠BCD. 8.D,E,F分别是AB,BC,AC的中点， 又△ADE和△BCF都是等边三角形， DE,EF是△ABC的中位线. ∴.DE=AD=AE,CF=BF=BC,∠DAE=∠BCI .DE∥AC,EF∥AB. =60° ∴四边形ADEF为平行四边形 ∴.BF=DE,CF=AE ∴.AE与DF互相平分. ,∠DCF=∠BCD-∠BCF,∠BAE=∠DAB 能力在线 ∠DAE,∠DCF=∠BAE. 9.B10.D11.A12.2 (CD-AB, 13.(1)证明：.BE垂直平分AC,.AE=CE 在△DCF和△BAE中，∠DCF=∠BAE, BF=FC,.EF∥AB,即AB∥DE. CF-AE, 又，BE∥AD,.四边形ABED是平行四边形. .△DCF≌△BAE(SAS)..DF=BE. (2),BE垂直平分AC, 又，BF=DE,∴四边形BEDF是平行四边形 .AE=CE,∠BEC=∠BEA=90. 4.四边形ABCD是平行四边形， BE∥AD, .AD∥BC.∴.∠EAO=∠FCO. .∠BEA=∠EAD=90° O为AC的中点，.OA=OC. ,BF=FC,∠ECF=60°，FC=1, 在△OAE和△OCF中， ∴.∠EBC=30°，BC=2CF=2. (∠EAO=∠FCO, OA=OC, CE-BC=1. ∠AOE=∠COF, ∴.BE=√BC-CE=√22-平=√3，AC=2CE-2. ∴.△OAE≌△OCF(ASA).∴.OE=OF. 同理可证OG=OH. .在平行四边形ABED中，BE=AD=√. .四边形EGFH是平行四边形. .在Rt△ADC中， 阶段测评3(21.1-21.2) CD=√AC+AD=√22+(W3)'=√7 1.B2.D3.C4.A5.C6.A 14.连接BE. 7.不稳定性8.1209.360°10.8cm P,F分别为BD,ED的中点， 11.40°12.20或2213.①③④ PF为△BDE的中位线. 14.(1)设这个多边形的边数是n,由题意，得 PF-BE. (n-2)×180°=2×360°-180°，解得n=5. .这个多边形的边数为5. ,∠BCE=∠ACB+∠ACE,∠ACD=∠ECD+ (2)360°或540°或720 一探究在线 15.连接BD,交AC于点O 8.49.C :四边形BEDF是平行四边形， 能力在线 ∴.OD=OB,OE=OF. 10.B11.D12.(2,4)13.30°14.4 又：AE=CF, 15.(1)如图，△BED即为所求作的三 ∴.AE+OE=CF+OF. 角形. 即OA=OC. (2),四边形ABCD为矩形， ∴.四边形ABCD是平行四边形 ..AD=BC=2,AB=CD=1,AD// 16.(1)证明：D,E分别为AB,AC的中点， BC,∠A=90°.∴∠ADB=∠CBD. .DE为△ABC的中位线. ∠EBD=∠CBD,.∠FBD=∠FDB. DE∥BC,DE=号BC ..BF=DF. 设AF=x,则DF=BF=2-x, :CF=2BC,∴DE=CR 在Rt△ABF中，12+x2=(2-x)2, (2)由(1)可知，DE∥BC,DE=CF, 解得z=是，AF的长为是 ∴.四边形DCFE为平行四边形..EF=DC. 拓展在线 ,在等边三角形ABC中，D为AB的中点， CDLAB,AD--AB-2,AC-4. 16.130 2 第2课时矩形的判定 .CD=√AC-AD=2√3=EF. 基础在线 .EF的长为23， 1.90 17.(1)AB⊥AC,.∠BAC=90. 2.,AB=AC,AD是BC边上的中线， AB=3,AC=4, .AD⊥BC..∠ADB=90. ∴.BC=√AB2+AC=√32+4=5. 又，四边形ADBE是平行四边形， AGLBC,SM-AB.AC-BCAG, ∴.四边形ADBE是矩形 3.∠A=90°（答案不唯一） AG=AB,AC_3×4_12 4.AB=AC,AD是∠BAC的平分线， BC 55 ∴.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. (2),四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠ADC=90°. 0C=0A=2AC=2,0B=0D. AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴.∠MAN=∠CAN.∴.∠DAE=90°. :EC∥BD,BE∥AC, ,CE⊥AN,∠AEC-90°.四边形ADCE为矩形 ∴.四边形OBEC是平行四边形. 5.D ∴.CE=OB..CE=OD. 6.AD∥BC,AB∥CD, :EC∥BD,∴.∠FOD=∠FCE,∠FDO=∠FEC .四边形ABCD是平行四边形 ∴.△FOD≌△FCE(ASA)..OF=CF= 20C-1. ∴.OB=OD..BD=2OB. AC=2OB,.AC=BD..□ABCD是矩形. (3)3 7.A 13 能力在线 21.3特殊的平行四边形 8.B9.D 21.3.1矩形 10.(1)证明：，D,E分别是AC,AB的中点， 第1课时矩形的性质 .DE是△ABC的中位线.∴.DE∥BC. 基础在线 ∴.∠FDC+∠ACB=180°. 1.B2.C3.D ∠ACB=90°，.∠CDF=90. 4.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， BF⊥DF,∠F=90°. ∴.AB=CD,∠B=∠C=90°. .∠BCD=∠CDF=∠F=90. :∠BAE=∠CDF,.△ABE≌△DCF(ASA). 四边形BCDF是矩形 (2)△ABE≌△DCF,.AE=DF=13. (2),∠ACB=90°，E为AB的中点，CE=2, ∠B=90°，AB=12,∴.BE=√AE-AB=5. .AB=2CE=4. 5.B6.D 7.(1)证明：在矩形ABCD中，AD∥BC,.AD∥CE. :∠A=30,∴BC=2AB=2. .DE∥AC, ∴.AC=√AB-BC=2√3. .四边形ACED是平行四边形. (2)DE∥AC,∠E=35°，∴.∠OCB=∠E=35°. ∴CD=2AC=5. 在矩形ABCD中，OB=OC, .四边形BCDF的面积为CD·BC=√3X2=2√3. ∴.∠OBC=∠OCB=35°. 11.(1)证明：点O为AB的中点，.OA=OB. 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=110°. ,AE∥BC,.∠EAO=∠OBD,∠AEO=∠BDO. 八年级数学（下）一 21