21.2.3 三角形的中位线-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

能力在线 ∠ACE,∠ACB=∠ECD,∴.∠BCE=∠ACD. 8.C9.C10.12 又.BC=AC,EC=DC,∴.△BCE≌△ACD. 11.(1)证明：，∠ACB=90°，AC=BC,∴.∠ABC=45°. 1 BF⊥AB,.∠ABF=90°.∴.∠CBF=45. BE=AD.…PF=2AD. :CE平分∠ACB,∴.∠ECB=45. 拓展在线 .∠ECB=∠CBF. 15.C D为BC边的中点，CD=DB. 微专题4平行四边形的证明思路 I∠ECD=∠FBD, 1.,AB∥DE,∠B=∠DEF 在△CDE和△BDF中，{CD=BD, AC∥DF,.∠ACB=∠F ∠CDE=∠BDF, BE=CF,..BE+CE=CF+CE.BC=EF. ,△CDE≌△BDF(ASA). 在△ABC和△DEF中， .DE=DF. ∠B=∠DEF, 四边形CEBF是平行四边形. BC=EF, (2),CE平分∠ACB,AC=BC, ∠ACB=∠F, 易证得△ACE≌△BCE(SAS), .△ABC≌△DEF(ASA)..AB=DE. AE=BE,∴∠EAB=∠EBA ,AB∥DE,∴.四边形ABED是平行四边形. ∠EAB+∠AFB=90°，∠EBA+∠EBF=90°， 2.∠B=∠E=90°， .∠AFB=∠EBF. ∴△ABC和△DEF都是直角三角形 .EF-BE-AE-2AF-2. 在Rt△ABC和R△DEF中，AB=DE, (AC=DF, ,四边形CEBF是平行四边形， '.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). ..CF=BE=2. ∴.∠ACB=∠DFE. 拓展在线 点B,C,F,E在一条直线上， 124政号 .180°-∠ACB=180°-∠DFE. ∴∠ACF=∠DFC.∴.AC∥DF. 21.2.3三角形的中位线 又AC=DF,∴.四边形ACDF是平行四边形. 基础在线 3.四边形ABCD是平行四边形， 1.A2.B3.C4.(6,0)5.C6.A7.4√7 ∴.CD=AB,AD=BC,∠DAB=∠BCD. 8.D,E,F分别是AB,BC,AC的中点， 又△ADE和△BCF都是等边三角形， DE,EF是△ABC的中位线. ∴.DE=AD=AE,CF=BF=BC,∠DAE=∠BCI .DE∥AC,EF∥AB. =60° ∴四边形ADEF为平行四边形 ∴.BF=DE,CF=AE ∴.AE与DF互相平分. ,∠DCF=∠BCD-∠BCF,∠BAE=∠DAB 能力在线 ∠DAE,∠DCF=∠BAE. 9.B10.D11.A12.2 (CD-AB, 13.(1)证明：.BE垂直平分AC,.AE=CE 在△DCF和△BAE中，∠DCF=∠BAE, BF=FC,.EF∥AB,即AB∥DE. CF-AE, 又，BE∥AD,.四边形ABED是平行四边形. .△DCF≌△BAE(SAS)..DF=BE. (2),BE垂直平分AC, 又，BF=DE,∴四边形BEDF是平行四边形 .AE=CE,∠BEC=∠BEA=90. 4.四边形ABCD是平行四边形， BE∥AD, .AD∥BC.∴.∠EAO=∠FCO. .∠BEA=∠EAD=90° O为AC的中点，.OA=OC. ,BF=FC,∠ECF=60°，FC=1, 在△OAE和△OCF中， ∴.∠EBC=30°，BC=2CF=2. (∠EAO=∠FCO, OA=OC, CE-BC=1. ∠AOE=∠COF, ∴.BE=√BC-CE=√22-平=√3，AC=2CE-2. ∴.△OAE≌△OCF(ASA).∴.OE=OF. 同理可证OG=OH. .在平行四边形ABED中，BE=AD=√. .四边形EGFH是平行四边形. .在Rt△ADC中， 阶段测评3(21.1-21.2) CD=√AC+AD=√22+(W3)'=√7 1.B2.D3.C4.A5.C6.A 14.连接BE. 7.不稳定性8.1209.360°10.8cm P,F分别为BD,ED的中点， 11.40°12.20或2213.①③④ PF为△BDE的中位线. 14.(1)设这个多边形的边数是n,由题意，得 PF-BE. (n-2)×180°=2×360°-180°，解得n=5. .这个多边形的边数为5. ,∠BCE=∠ACB+∠ACE,∠ACD=∠ECD+ (2)360°或540°或720 一探究在线 15.连接BD,交AC于点O 8.49.C :四边形BEDF是平行四边形， 能力在线 ∴.OD=OB,OE=OF. 10.B11.D12.(2,4)13.30°14.4 又：AE=CF, 15.(1)如图，△BED即为所求作的三 ∴.AE+OE=CF+OF. 角形. 即OA=OC. (2),四边形ABCD为矩形， ∴.四边形ABCD是平行四边形 ..AD=BC=2,AB=CD=1,AD// 16.(1)证明：D,E分别为AB,AC的中点， BC,∠A=90°.∴∠ADB=∠CBD. .DE为△ABC的中位线. ∠EBD=∠CBD,.∠FBD=∠FDB. DE∥BC,DE=号BC ..BF=DF. 设AF=x,则DF=BF=2-x, :CF=2BC,∴DE=CR 在Rt△ABF中，12+x2=(2-x)2, (2)由(1)可知，DE∥BC,DE=CF, 解得z=是，AF的长为是 ∴.四边形DCFE为平行四边形..EF=DC. 拓展在线 ,在等边三角形ABC中，D为AB的中点， CDLAB,AD--AB-2,AC-4. 16.130 2 第2课时矩形的判定 .CD=√AC-AD=2√3=EF. 基础在线 .EF的长为23， 1.90 17.(1)AB⊥AC,.∠BAC=90. 2.,AB=AC,AD是BC边上的中线， AB=3,AC=4, .AD⊥BC..∠ADB=90. ∴.BC=√AB2+AC=√32+4=5. 又，四边形ADBE是平行四边形， AGLBC,SM-AB.AC-BCAG, ∴.四边形ADBE是矩形 3.∠A=90°（答案不唯一） AG=AB,AC_3×4_12 4.AB=AC,AD是∠BAC的平分线， BC 55 ∴.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. (2),四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠ADC=90°. 0C=0A=2AC=2,0B=0D. AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴.∠MAN=∠CAN.∴.∠DAE=90°. :EC∥BD,BE∥AC, ,CE⊥AN,∠AEC-90°.四边形ADCE为矩形 ∴.四边形OBEC是平行四边形. 5.D ∴.CE=OB..CE=OD. 6.AD∥BC,AB∥CD, :EC∥BD,∴.∠FOD=∠FCE,∠FDO=∠FEC .四边形ABCD是平行四边形 ∴.△FOD≌△FCE(ASA)..OF=CF= 20C-1. ∴.OB=OD..BD=2OB. AC=2OB,.AC=BD..□ABCD是矩形. (3)3 7.A 13 能力在线 21.3特殊的平行四边形 8.B9.D 21.3.1矩形 10.(1)证明：，D,E分别是AC,AB的中点， 第1课时矩形的性质 .DE是△ABC的中位线.∴.DE∥BC. 基础在线 ∴.∠FDC+∠ACB=180°. 1.B2.C3.D ∠ACB=90°，.∠CDF=90. 4.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， BF⊥DF,∠F=90°. ∴.AB=CD,∠B=∠C=90°. .∠BCD=∠CDF=∠F=90. :∠BAE=∠CDF,.△ABE≌△DCF(ASA). 四边形BCDF是矩形 (2)△ABE≌△DCF,.AE=DF=13. (2),∠ACB=90°，E为AB的中点，CE=2, ∠B=90°，AB=12,∴.BE=√AE-AB=5. .AB=2CE=4. 5.B6.D 7.(1)证明：在矩形ABCD中，AD∥BC,.AD∥CE. :∠A=30,∴BC=2AB=2. .DE∥AC, ∴.AC=√AB-BC=2√3. .四边形ACED是平行四边形. (2)DE∥AC,∠E=35°，∴.∠OCB=∠E=35°. ∴CD=2AC=5. 在矩形ABCD中，OB=OC, .四边形BCDF的面积为CD·BC=√3X2=2√3. ∴.∠OBC=∠OCB=35°. 11.(1)证明：点O为AB的中点，.OA=OB. 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=110°. ,AE∥BC,.∠EAO=∠OBD,∠AEO=∠BDO. 八年级数学（下）一 21©21.2.3 ①基础在线》知识爱点分类练… ● 知识点1三角形的中位线定理 1.(新考向·情境素材)张师傅想要知道一个池 塘的宽度，由于无法直接测量，于是他在池塘 前的地面取一点C(如图)，使点C到A,B两 点均可直接到达，然后找到AC和BC的中点 D,E,测得DE的长为80m,则池塘AB的宽 度为 ( A.160m B.140m C.120m D.100m R 第1题图 第3题图 2.(中考·资阳)三角形的周长为48cm,则它的 三条中位线组成的三角形的周长是() A.12 cm B.24 cm C.28 cm D.30 cm 3.（中考·广东)如图，点D,E,F分别是△ABC 各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=() A.20° B.40° C.70° D.110° 4.△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所 示，若M,N分别是边AO,AB的中点，且点 M,N的横坐标分别是1,4，则点B的坐标是 y 第4题图 第5题图 知识点2三角形的中位线与平行四边形 5.(中考·山西)如图，在平行四边形ABCD中， 点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中 点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定 45探究在线八年级数学（下） 角形的中位线 成立的是 ( A.OE-号AD B.OE~BC C.OE-TAB D.OE-TAC 6.(平顶山期末)如图，平行四边形ABCD的对 角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点，且 AE+EO=5,则平行四边形ABCD的周长为 ( A.20 B.16 C.12 D.8 第6题图 第7题图 7.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是 BD,BC,AC,AD的中点，若AB=CD=2√7， 则四边形EFGH的周长是 8.如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB,BC, AC的中点.求证：AE与DF互相平分， ②能力在线》方法规律综合鳞。 9.(湘潭期末)如图，EF是△ABC的中位线，BD 平分∠ABC交EF于点D,BE=3,DF=1,则 BC的长度为 () A.4 B.8 C.12 D.无法求出 第9题图 第10题图 10.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD 的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD= BC,∠CBD=30°，∠ADB=100°，则∠PFE 的度数是 () A.15° B.25° C.30° D.35 11.(绵阳阶段练习)在四边形ABCD中，AC⊥ BD,E,F分别是AD和BC的中点.若AC= 6,BD=8,则EF的长为 () A.5 B.6 C.8 D.10 E 第11题图 第12题图 12.如图，△ABC的周长为20，点D,E在边BC 上，∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N. ∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若 BC=8,则MN的长为 13.(深圳期末)如图，在四边形ABCD中，BE垂 直平分AC,连接DE并延长，与BC交于点 F,且BE∥AD,BF=FC. (1)求证：四边形ABED是平行四边形； (2)若∠ECF=60°，FC=1,求CD的长. 14.如图，C为线段BD上一点，分别以BC,CD 为腰作等腰三角形ABC和等腰三角形 ECD,顶角∠ACB与顶角∠ECD相等，P,F 分别为BD,ED的中点，连接AD,PF.求证： PF-TAD. ③拓展在线》培优拔尖提升练 15.（杭州期末)如图，在平行四边形ABCD中， ∠B=60°，AB=2,点H,G分别是边DC,BC 上的动点，连接AH,HG,点E为AH的中 点，点F为GH的中点，连接EF,则EF的最 小值为 () A.1 B.2 2 D.√3 第二十-章46