20.2 第2课时 勾股定理及其定理的综合应用&微专题3 利用勾股定理解最短路径-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

©第2课时勾股定玛 基础在线沙知识爱点分类练… ●. 知识点1勾股定理的逆定理的实际应用 1.(张家口期末)一个零件的形状如图所示，按规 定，这个零件中的∠A和∠BDC都应为直角， 将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此 可知 ( A.仅∠A符合要求 B.仅∠BDC符合要求 12 C.∠A和∠BDC都符合 要求 D.∠A和∠BDC都不符合要求 2.如图，电工黄师傅为了确定新栽的电线杆与地 面是否垂直，他从电线杆上离地面2.5m处向 地面拉一条长6.5m的缆绳，当黄师傅量得这 条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离 为m时，这根电线杆便与地面垂直了. 13cm cm 77777777777777777777 12 cm 第2题图 第3题图 3.(教材P37练习T1变式)（广州阶段练习）A, B,C三地的两两距离如图所示，B地在A地的 正西方向，那么B地在C地的 方向. 4.图①是超市购物车，图②为其侧面简化示意 图，测得支架AC=24cm,CB=18cm,两轮中 心的距离AB=30cm,求点C到AB的距离. 图① 图② 27探究在线八年级数学（下） 及其逆定理的综合应用 知识点2勾股定理及其逆定理的综合应用 5.(孝感期中)体育公园边有一块如图所示的地， 其中∠ADC=90°，AD=12m,CD=9m,AB =39m,BC=36m,则这块地的面积为() D -B A.216m2 B.270m2 C.432m D.540m2 6.如图，在△ABC和△ACD中，AB=BC=4, CD=6,AD=2,∠B=90°，求△BOC与 △AOD的面积相差多少. 2 能力在线》方法规律综合练…一 7.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC 于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,垂足 分别为M,N,BD=3,DE=4,EC=5,则AC 的长为 () A.3√2B.3√3 C.35 D.3√10 D公园 (学校)A (小明家)（地铁口） 第7题图 第9题图 8.小明向东走80m后，沿另一个方向又走了 60m,再沿第三个方向走100m回到原地.小 明向东走80m后走的方向是 () A.向北 B.向西或向东 C.向南 D.向北或向南 9.(保定期中)如图，地铁口C和小明家B两地 恰好处在东西方向上，且相距2km,学校A也 在小明家B正北方向的2km处，公园D与地 铁口C的距离CD为4km,公园D到学校A 的距离AD为2√2km,则∠DAB的大小为 10.(教材P36例2变式)（来宾期中）如图，某港 口P位于东西方向的海岸线上，两艘轮船Q, R同时离开港口，各自沿一固定方向航行，Q 轮船每小时航行20海里，R轮船每小时航行 15海里，它们离开港口2小时后相距50海 里.已知Q轮船沿东北方向航行.（东北方向 即北偏东45°方向) (1)请判断R轮船沿哪个方向航行，并说明理由； (2)若两艘轮船航行的速度和方向都不变，再 继续航行2小时两船相距多少海里？ 北 11.（昆明期末)如图，在一条东西走向的河流一 侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,这 两个取水点之间的距离为2.1千米，由于某 种原因，由C到A的路现在已经不通，该村 为方便村民取水，决定在河边新建一个取水 点D(A,D,B在同一条直线上)，并新修一条 路CD,测得CB=1千米，CD=0.8千米，BD =0.6千米.求原来的路线AC的长 A δ 3拓展在线》培优拔尖提升练… 12.(深圳期中)如图所示，已知AD=CD= 2/10,BD=2,BC=3BD,则AB的长为 A B 第二十章28 4 微专题3利用勾股行 堡型①平面中的最短路径问题 +模型总结++++++ “将军饮马”模型 如图，点B为点B关于直线1的对称 点，连接AB交直线1于点P,连接PB,此 时PA十PB最小，且PA十PB=PA+ PB'=AB'. +十十十十十十十十十十十…十十十十十十”十十+十 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,BC =5,EF垂直平分BC,P为直线EF上的任意 一点，则AP+BP的最小值是 ) A.3 B.4 C.5 D.6 第1题图 第2题图 2.如图，△ABC是等边三角形，AB=6,N是AB 的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的 一个动点，连接BM,MN,则BM+MN的最 小值是 3.如图，小明家在一条东西走向的公路MN北 侧200米的点A处，小红家位于小明家北侧 500米(AC=500米)、东侧1200米(BC= 1200米)的点B处. (1)小明家离小红家的距离AB= 米； (2)现要在公路MN上的点P处建一个快递 驿站，使PA十PB最小，请确定点P的位置， 并求PA十PB的最小值， C A M 29探究在线八年级数学（下） 理解快最短路径问题 类型②立体图形中的最短路径问题 +模型总结+ 圆柱 阶梯 展开 长方体 D E 甲 丙 4.(巫山期中)如图，长方体的长为30，宽为20， 高为10，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁沿 着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的 最短距离是 () A.15 B.25 C.30 D.35 单位：cm-50B 30 10- /20 30 D 第4题图 第5题图 5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别是50cm,30cm,10cm,A和B是这个台阶 的两个相对的端点，A点有一只壁虎，它想到 B点去吃可口的食物，请你想想，这只壁虎从 A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需要爬 cm. 6.如图，一圆柱体的底面半径为3， B 高AB为5π，BC是上底面的直 径.一只蚂蚁从点A出发，沿着 圆柱的侧面爬行两圈到达点B, 爬行的最短路程是∴.DE=√AD+AE=3√2. ∴.设AB=3x,BC=4x,CA=5x. ,EC:CD=1:2,∴.EC=√2，CD=2√2. AB2+BC=(3x)2+(4x)2=25x2,CA2=(5.x)2 ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC =25x. =∠DAE=90°， ∴AB2+BC=CA..△ABC是直角三角形. ∴.AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE. (2)由(1)可知，∠B=90°.根据题意，得 ,'.△ACE≌△ABD(SAS). 3x十4x十5x=36,解得x=3. ∴.AB=9cm,BC=12cm. ∴.CE=BD=√2，∠E=∠ADB=45°. 当运动了3秒时，PB=9-1×3=6(cm),BQ=2X ∴.∠BDC=∠ADB+∠ADE=90. 3=6(cm). .BC=√CD+BD=√(22)+(2)=√I0. 拓展在线 △BPQ的面积为=18(cm). 1 14.(1)60614850 14.220 (2)证明：，a=2n,b=n-1,c=n2+1, 微专题2利用勾股定理解决折叠问题 ∴.a2=(2n)2=4n2,b=(n2-1)2=n-2n2+1, 1.C2或5 c2=(n2+1)2=n+2n2+1. .a2+b2=4n2+n-2n2+1=n+2n2+1=c2. 3.(1)证明：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD, ,n为正整数，且n≥3， ∠D=∠B=∠C=90°. .不论n为何值，a,b,c都是勾股数组。 ,将△ADE沿AE折叠至△AFE, 拓展在线 ∴.AD=AF,DE=FE,∠D=∠AFE=90 15.(1)延长AP交格点于点M,连接 ∴.AB=AF,∠B=∠AFG=90°. BM, 又，AG=AG,.Rt△ABG≌Rt△AFG(HL). 则PM=BM=√+2=√5，PB= (2),△ABG≌△AFG,∴.BG=FG. 设BG=FG=x,则GC=6一x. √/1+32=√/10， .E为CD的中点，∴.CE=DE=EF=3..EG=3十x .'PM+BM=PB2 .在Rt△CG中，3十(6-x)2=(3十x)2,解得x=2. .△PMB是等腰直角三角形，且∠PMB=90. ∴.BG=2 .∠MPB=∠MBP=45°. ∴.∠APB=180°-∠MPB=135. 4.(1)证明：由题意知，AF=CF,AE=CE,∠AFE= ∠CFE. (2)45° 第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用 四边形ABCD是长方形， ∴.AD∥BC.∴.∠AEF=∠CFE. 基础在线 ∴∠AFE=∠AEF.∴.AE=AF. 1.A2.63.正南 ..AE=AF=CE=CF. 4.过点C作CE⊥AB于点E. (2)由题意知，AE=CE=a. 在△ABC中， 由∠D=90°知，ED+DC=CE,即b2+c2=a2. .'AC=24 cm,CB=18 cm,AB=30 cm, .AC+CB2=242+182=900,AB2= 5.A6.3√2-3 302=900. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 ∴.AC+BC=AB2 第1课时勾股定理的逆定理 .△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°. 基础在线 1.BAC 2.B 3.B 4.D :Saw=7AC.BC=2CE·AB, 5.(1),a2+b=72+242=625,c2=252=625, .AC·BC=CE·AB,即24×18=CEX30, .a2+b2=c2 ∴由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形. CE=24X18=14.4(cm. 30 (2a>b>c,8+=1+(）广-1+品-0。 ∴.点C到AB的距离为14.4cm. 5.A e-()-9. 6.在Rt△ABC中，AB=BC=4, ..AC=AB2 +BC=32. .b2+c2≠a2. .CD=6,AD=2,..CD2=36=AD2+AC ∴.由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形 6.52+122=132,.AC+AB2=BC. ∴.△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°. ∴△ABC是直角三角形. Sm=号×4X4=8,Sm=号×4E×2=4E. 1 ∴Sm=合AB·AC=合BC·ADAD- 131 SAABC SAACD=SARO+SANCO SAAOD SAACO= 7.A8.C SARCO-SANOD=8-4V2. 能力在线 .△BOC与△AOD的面积相差8-4√2 9.B10.C11.(35,12,37)12.10150° 能力在线 13.(1)证明：AB:BC:CA=3:4:5, 7.D8.D9.135 一探究在线· 10.(1)R轮船沿西北方向航行.理由如下： :AD是△ABC的高，∠DAB=∠ABD=45° 由题意知，Q轮船每小时航行20海里，R轮船每小 ∴.AD=BD 时航行15海里， 在Rt△ABD中，AD2+BD=AB2,AB=3√2. .PQ=20×2=40(海里)，PR=15×2=30(海里). .'.AD=BD=3...CD=BD+BC=4. ,它们离开港口两小时后相距50海里，即QR= 在Rt△ACD中，AC=√JAD+CD=√32+4=5. 50海里， 15.(1)√/17√/13 又402+302=502，即PQ+PR2=QR, (2)如图所示，△DEF即为所求 ∴.△PQR为直角三角形，且∠QPR=90° Q轮船沿东北方向航行，可知∠1=45°， DE=√5，DF=5,EF=2√5， .∠2=∠QPR-∠1=45°. .'.DE+EF=DF. R轮船沿西北方向航行. .△DEF为直角三角形 (2)根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航 △DEF的面积为号DE·EF=号×，5X2厅=5. 行2小时后，PQ=20×(2+2)=80(海里)，PR= 16.(1)是.理由如下： 15×(2十2)=60（海里）， ,CD2+DB2=42+32=25,CB2=25, 由(1)得△PQR为直角三角形，且∠QPR=90°， .CD+DB2=CB..△CDB是直角三角形. 根据勾股定理，RQ=802+602=1002, .CDLAB.CD是从小区C到公路最近的路. ∴.RQ=100. 答：两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航 (25 行2小时两船相距100海里. 17.过点A作AD⊥BC于点D,如图②，设CD=x,则 11..在△BDC中，CB=1千米，CD=0.8千米，BD= AD2=b-x2=c2-(a-x)2, 0.6千米，BC=1,CD2+BD=0.82+0.62=1, 整理，得a2+b=c2+2ax, .CD+BD=BC.∴.△BDC是直角三角形. 2ax>0,∴.a2+b>c2; ∴.∠CDB=90°. 如图③，同理可得a+<c2 ,A,D,B在同一条直线上， ∴.∠ADC=180°-∠CDB=90°. △ADC是直角三角形. :A,B这两个取水点之间的距离为2.1千米， (∠ACB<90°) (∠ACB>90°) BD=0.6千米， 图② 图③ .AD=AB-BD=2.1-0.6=1.5(千米). 单元综合复习（二）勾股定理 在Rt△ADC中，AD=1.5千米，CD=0.8千米， 热门考点突破 由勾股定理，得 1.D2.C3.A4.A5.A6.D7.B8.√3-1 AC=√AD十CD=√/1.52+0.8=1.7（千米. 9.如图，过点A作AE⊥BC于点E, 答：原来的路线AC的长为1.7千米. ,AC=AB=25,BC=4, 拓展在线 BE-CE-BC-2. 12.2√13 微专题3利用勾股定理解决最短路径问题 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE=√AB一BE =4. 1.B2.33 .DE=CE+CD=2+5=7, 3.(1)1300 在Rt△AED中，由勾股定理，得AD=√AE十DE (2)如图，作点A关于直线MN的 北 对称点A',连接A'B交MN于点 C 十→东 =√65. P,则点P即为所求. 10.11411.45°12.南偏东50° 13.(1),AB⊥BC,.∠B=90° 此时PA'=PA, .PA十PB=PA'+PB,即PA+PB的最小值为A'B 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 的长. AC=√JAB2+BC=√92+122=15(km). 由题意知，A'D=AD=200米，∠ACB=90°， 答：无人机飞行路径AC的长为15km. (2)证明：，AD2=172=289,CD2+AC=82+15 .A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900(米). =289,.AD=CD2+AC. 在Rt△A'BC中，∠ACB=90°， ∴.△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°. .A'B2=A'C2+BC=9002+12002=2250000. ∴AC⊥CD. A'B>0,.AB=1500米. 核心素养提升 即PA+PB的最小值为1500米 4.B5.1306.13π 14.(1)√10元 2 阶段测评2(20.1一20.2) 1 1 1 1.C2.C3.A4.A5.B6.C7.B (2)s+s+s,+s+s+S+…+s+Sm 859g.3610.51.4012.号 13.135 1 1 99+√100 14.∠ABC=135°，∴.∠ABD=45. +++ 2 2 年级数学（下）一 19