20.2 第1课时 勾股定理的逆定理-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

20.2 勾股定理 ©第1课时勾 ①基础在线》 、知识要点分类练 …● 知识点1勾股定理的逆定理 1.在△ABC中，若AC=BC2-AB2,则 ∠ =90°， 2.下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的 是 () A.1,1,2 B1,3,5 4’2 C.0.5,1.2,1.3 D.9,40,41 3.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一 根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结 间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长， 用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直 角，这样做的道理是 ) A.直角三角形两个锐角互余 (1)13) B.勾股定理的逆定理 (2)12 C.三角形内角和等于180° (4) 09 D.勾股定理 (5(6(7)(8 4.已知a,b,c是三角形的三边长，且满足√a一5十 (6一3)2十c一4=0，则三角形的形状是() A.等边三角形 B.钝角三角形 C.底与腰不相等的等腰三角形 D.直角三角形 5.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角 三角形： (1)a=7,b=24,c=25; (2)a=，b=1,c= 25探究在线八年级数学（下） 的逆定理及其应用 股定理的逆定理 6.如图，在△ABC中，AB=12,BC=13,AC=5, 求BC边上的高AD. D 知识点2勾股数 7.下列各组数据是勾股数的一组是 () A.3,4,5 B.0.3,0.4,0.5 C.1,1,√2 D.13,14,15 8.若a,b,c为一组勾股数，则下列各组数中仍为 勾股数的是 ) A.a,26,3c B.3a,4b,5c C.2a,2b,2c D.a2,b2,c2 21 能力在线》方法规律综合练 …0 9.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别记为 a,b,c,有下列说法错误的是 () A.如果a:b:c=7:24:25,则∠C=90° B.如果∠A:∠B:∠C=3:4:5,则△ABC为直 角三角形 C.如果a,b,c长分别为6,8,10，则a,b,c是 组勾股数 D.如果∠A一∠B=∠C,则△ABC为直角三 角形 10.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25， 现将它们摆成两个直角三角形，下列选项中 正确的是 25 11.我们知道，以3,4,5为边长的三角形是直角 三角形，称3,4,5为勾股数组，记为(3,4,5)， 可以看作(22-1,2×2,22+1)；同时8,6,10 也为勾股数组，记为(8,6,10)，可以看作(3 一1,3×2,32+1).类似地，依次可以得到第三 个勾股数组(15,8,17).请根据上述勾股数组的 规律，写出第5个勾股数组： 12.(宁波期中)如图，P是等 边三角形ABC内一点，将 线段AP绕点A顺时针旋 转60°得到线段AQ,连接 BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则BQ的长 为，∠BPA的度数为 13.(赣州期末)如图所示，在△ABC中，AB:BC: CA=3:4:5,且周长为36cm,点P从点A开 始沿AB边向B点以每秒1cm的速度运动； 点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒 2cm的速度运动，两点同时出发. (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)当运动了3秒时，求△BPQ的面积， 14.(漳州期中)已知：满足a2+b2=c2的三个正 整数a,b,c称为一组勾股数，很多勾股数组 具有规律： (1)设a<b<c,观察提供的4组勾股数的规 律，完成第⑤组勾股数：当a为奇数时，如 ①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41， ⑤11， ；当a为偶数时，如①6， 8,10;②8,15,17；③10,24,26；④12,35,37， ⑤14， (2)若a=2n,b=n2-1,c=n2十1，n为正整 数，且n≥3，求证：不论n为何值，a,b,c都是 勾股数组. 3拓展在线 沙培优拔尖提升练 ●. 15.(驻马店期中)图①、图②中的网格均是正方 形网格，每个小正方形的边长均为1，且点P, A,B,C,D都在格点上. (1)如图①，求∠APB的度数； (2)如图②，∠DAB+∠CAB的度数为 D 图① 图② 第二十章26∴.DE=√AD+AE=3√2. ∴.设AB=3x,BC=4x,CA=5x. ,EC:CD=1:2,∴.EC=√2，CD=2√2. AB2+BC=(3x)2+(4x)2=25x2,CA2=(5.x)2 ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC =25x. =∠DAE=90°， ∴AB2+BC=CA..△ABC是直角三角形. ∴.AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE. (2)由(1)可知，∠B=90°.根据题意，得 ,'.△ACE≌△ABD(SAS). 3x十4x十5x=36,解得x=3. ∴.AB=9cm,BC=12cm. ∴.CE=BD=√2，∠E=∠ADB=45°. 当运动了3秒时，PB=9-1×3=6(cm),BQ=2X ∴.∠BDC=∠ADB+∠ADE=90. 3=6(cm). .BC=√CD+BD=√(22)+(2)=√I0. 拓展在线 △BPQ的面积为=18(cm). 1 14.(1)60614850 14.220 (2)证明：，a=2n,b=n-1,c=n2+1, 微专题2利用勾股定理解决折叠问题 ∴.a2=(2n)2=4n2,b=(n2-1)2=n-2n2+1, 1.C2或5 c2=(n2+1)2=n+2n2+1. .a2+b2=4n2+n-2n2+1=n+2n2+1=c2. 3.(1)证明：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD, ,n为正整数，且n≥3， ∠D=∠B=∠C=90°. .不论n为何值，a,b,c都是勾股数组。 ,将△ADE沿AE折叠至△AFE, 拓展在线 ∴.AD=AF,DE=FE,∠D=∠AFE=90 15.(1)延长AP交格点于点M,连接 ∴.AB=AF,∠B=∠AFG=90°. BM, 又，AG=AG,.Rt△ABG≌Rt△AFG(HL). 则PM=BM=√+2=√5，PB= (2),△ABG≌△AFG,∴.BG=FG. 设BG=FG=x,则GC=6一x. √/1+32=√/10， .E为CD的中点，∴.CE=DE=EF=3..EG=3十x .'PM+BM=PB2 .在Rt△CG中，3十(6-x)2=(3十x)2,解得x=2. .△PMB是等腰直角三角形，且∠PMB=90. ∴.BG=2 .∠MPB=∠MBP=45°. ∴.∠APB=180°-∠MPB=135. 4.(1)证明：由题意知，AF=CF,AE=CE,∠AFE= ∠CFE. (2)45° 第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用 四边形ABCD是长方形， ∴.AD∥BC.∴.∠AEF=∠CFE. 基础在线 ∴∠AFE=∠AEF.∴.AE=AF. 1.A2.63.正南 ..AE=AF=CE=CF. 4.过点C作CE⊥AB于点E. (2)由题意知，AE=CE=a. 在△ABC中， 由∠D=90°知，ED+DC=CE,即b2+c2=a2. .'AC=24 cm,CB=18 cm,AB=30 cm, .AC+CB2=242+182=900,AB2= 5.A6.3√2-3 302=900. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 ∴.AC+BC=AB2 第1课时勾股定理的逆定理 .△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°. 基础在线 1.BAC 2.B 3.B 4.D :Saw=7AC.BC=2CE·AB, 5.(1),a2+b=72+242=625,c2=252=625, .AC·BC=CE·AB,即24×18=CEX30, .a2+b2=c2 ∴由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形. CE=24X18=14.4(cm. 30 (2a>b>c,8+=1+(）广-1+品-0。 ∴.点C到AB的距离为14.4cm. 5.A e-()-9. 6.在Rt△ABC中，AB=BC=4, ..AC=AB2 +BC=32. .b2+c2≠a2. .CD=6,AD=2,..CD2=36=AD2+AC ∴.由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形 6.52+122=132,.AC+AB2=BC. ∴.△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°. ∴△ABC是直角三角形. Sm=号×4X4=8,Sm=号×4E×2=4E. 1 ∴Sm=合AB·AC=合BC·ADAD- 131 SAABC SAACD=SARO+SANCO SAAOD SAACO= 7.A8.C SARCO-SANOD=8-4V2. 能力在线 .△BOC与△AOD的面积相差8-4√2 9.B10.C11.(35,12,37)12.10150° 能力在线 13.(1)证明：AB:BC:CA=3:4:5, 7.D8.D9.135 一探究在线· 10.(1)R轮船沿西北方向航行.理由如下： :AD是△ABC的高，∠DAB=∠ABD=45° 由题意知，Q轮船每小时航行20海里，R轮船每小 ∴.AD=BD 时航行15海里， 在Rt△ABD中，AD2+BD=AB2,AB=3√2. .PQ=20×2=40(海里)，PR=15×2=30(海里). .'.AD=BD=3...CD=BD+BC=4. ,它们离开港口两小时后相距50海里，即QR= 在Rt△ACD中，AC=√JAD+CD=√32+4=5. 50海里， 15.(1)√/17√/13 又402+302=502，即PQ+PR2=QR, (2)如图所示，△DEF即为所求 ∴.△PQR为直角三角形，且∠QPR=90° Q轮船沿东北方向航行，可知∠1=45°， DE=√5，DF=5,EF=2√5， .∠2=∠QPR-∠1=45°. .'.DE+EF=DF. R轮船沿西北方向航行. .△DEF为直角三角形 (2)根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航 △DEF的面积为号DE·EF=号×，5X2厅=5. 行2小时后，PQ=20×(2+2)=80(海里)，PR= 16.(1)是.理由如下： 15×(2十2)=60（海里）， ,CD2+DB2=42+32=25,CB2=25, 由(1)得△PQR为直角三角形，且∠QPR=90°， .CD+DB2=CB..△CDB是直角三角形. 根据勾股定理，RQ=802+602=1002, .CDLAB.CD是从小区C到公路最近的路. ∴.RQ=100. 答：两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航 (25 行2小时两船相距100海里. 17.过点A作AD⊥BC于点D,如图②，设CD=x,则 11..在△BDC中，CB=1千米，CD=0.8千米，BD= AD2=b-x2=c2-(a-x)2, 0.6千米，BC=1,CD2+BD=0.82+0.62=1, 整理，得a2+b=c2+2ax, .CD+BD=BC.∴.△BDC是直角三角形. 2ax>0,∴.a2+b>c2; ∴.∠CDB=90°. 如图③，同理可得a+<c2 ,A,D,B在同一条直线上， ∴.∠ADC=180°-∠CDB=90°. △ADC是直角三角形. :A,B这两个取水点之间的距离为2.1千米， (∠ACB<90°) (∠ACB>90°) BD=0.6千米， 图② 图③ .AD=AB-BD=2.1-0.6=1.5(千米). 单元综合复习（二）勾股定理 在Rt△ADC中，AD=1.5千米，CD=0.8千米， 热门考点突破 由勾股定理，得 1.D2.C3.A4.A5.A6.D7.B8.√3-1 AC=√AD十CD=√/1.52+0.8=1.7（千米. 9.如图，过点A作AE⊥BC于点E, 答：原来的路线AC的长为1.7千米. ,AC=AB=25,BC=4, 拓展在线 BE-CE-BC-2. 12.2√13 微专题3利用勾股定理解决最短路径问题 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE=√AB一BE =4. 1.B2.33 .DE=CE+CD=2+5=7, 3.(1)1300 在Rt△AED中，由勾股定理，得AD=√AE十DE (2)如图，作点A关于直线MN的 北 对称点A',连接A'B交MN于点 C 十→东 =√65. P,则点P即为所求. 10.11411.45°12.南偏东50° 13.(1),AB⊥BC,.∠B=90° 此时PA'=PA, .PA十PB=PA'+PB,即PA+PB的最小值为A'B 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 的长. AC=√JAB2+BC=√92+122=15(km). 由题意知，A'D=AD=200米，∠ACB=90°， 答：无人机飞行路径AC的长为15km. (2)证明：，AD2=172=289,CD2+AC=82+15 .A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900(米). =289,.AD=CD2+AC. 在Rt△A'BC中，∠ACB=90°， ∴.△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°. .A'B2=A'C2+BC=9002+12002=2250000. ∴AC⊥CD. A'B>0,.AB=1500米. 核心素养提升 即PA+PB的最小值为1500米 4.B5.1306.13π 14.(1)√10元 2 阶段测评2(20.1一20.2) 1 1 1 1.C2.C3.A4.A5.B6.C7.B (2)s+s+s,+s+s+S+…+s+Sm 859g.3610.51.4012.号 13.135 1 1 99+√100 14.∠ABC=135°，∴.∠ABD=45. +++ 2 2 年级数学（下）一 19