20.1 第3课时 利用勾股定理作图&微专题2 利用勾股定理解决折叠问题-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

©第3课时利 ①基础在线沙物识要点会类然· 知识点1利用勾股定理在数轴上表示数 1.(珠海期中)如图，点C在数轴上表示的数为 2,过点C作数轴的垂线段BC,且BC=1,以原 点O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴的负半 轴于点A,则点A表示的数是 A 0 -4-3-2-10123 A.-√5 B.-√6 C.-√7 D.-2√2 2.(教材P28“探究”变式)甲同学用如图方法作 出点C,在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2,AB =3,且点O,A,C在同一数轴上，OB=OC. 0 A -5-4-3-2-1012345 (1)甲同学所作的点C表示的数是 (2)仿照甲同学的做法，请你在如图所示的数 轴上作出表示-√10的点D. 5-4-3-2-1012345 知识点2勾股定理与网格 3.如图，在4×4的网格图中，小正方形的边长为1， 则图中用字母表示的四条线段中长度为√I0的 线段是 D 第3题图 第4题图 用勾股定理作图 4.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A 为圆心，AB长为半径画弧，交网格线于点D, 则ED的长为 () A.5 B.√2 C.3 D.无法确定 5.（广元期末)如图，在由边长为1的小正方形构 成的5×5的网格中，每个小正方形的顶点叫 作格点，△ABC的顶点在格点上 (1)请在指定网格中画出△ABC,使BC= √J17,AC=2W2; (2)求△ABC的面积. 知识点3勾股定理与图形的计算 6.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OB 落在x轴上，顶点A落在第一象限.若OA= AB=5,OB=8,则点A的坐标是 () A.(8,5) B.(4,5) C.(4,3) D.(3,4) B D 第6题图 第7题图 7.为了比较√29与√13+2的大小，我们可以构 造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°， BC=5,点D在BC上且CD=3,AC=2.通过 计算可得√29√I3+2.(填“>”“<”或 “=”) 第二十章22 ②能力在线》 方法规律综合练 8.(潍坊阶段练习)如图，在边长为1的小正方形 网格中，△ABC的位置如图所示，则点A到线 段BC的距离为 () A.3 B36 C.2 D.32 2 2 第8题图 第9题图 9.如图，AB=BC=CD=DE=EF,∠CBA= ∠DCA=∠EDA=∠FEA=90°，以点A为圆 心，AF长为半径作弧与数轴交于点P.若点A 表示的数为0，点B表示的数为1，则点P表 示的数为 10.(学科内融合)（青岛期中）如图所示，边长为 1的正方形ABCD的一顶点A在数轴上，以 点A为圆心，分别以AB,AC长为半径画弧， 且与数轴分别相交于点E,点F(点E,F都在 点A右侧).若点F表示的数为√2一2，则点 E表示的数为 D E F米 第10题图 第11题图 11.(中考·广安)如图，在△ABC中，按以下步 骤作图：(1)以点A为圆心，AC长为半径画 弧，交BC于点D;(2)分别以点C和点D为 圆心，大于CD长为半径画弧，两弧相交于 点F;(3)画射线AF交BC于点E.若∠C= 2∠B,BC=23,BD=13,则AE的长为· 12.(永州期中)如图，有一张直角三角形纸片，两 直角边AC=6,BC=8.现将直角边AC沿直 线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE 23探究在线八年级数学（下） 重合，则CD的长等于 y D 13.(教材P32习题T14变式)（亳州期中）如图， △ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，点C在边DE上， EC:CD=1:2,AE=3,求BC的长.（提示：连 接BD) ③拓展在线沙”培代拔尖提升练 14.（中考·东营)如图所示，正方形ABCD的边 长为2，其面积标记为S,以CD为斜边作等 腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条 直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S2,…按照此规律继续作下去，则S2o2s的 值为 微专题2利用勾明 类型①利用对称性和方程思想求折叠中 线段的长 1.如图，有一张直角三角形纸片，∠C=90°，AC =4,BC=3,将斜边AB翻折，使点B落在直 角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD, 则BD的长为 B.1.5 c. D.3 D E 第1题图 第2题图 2.如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C=90°， AC=12,BC=10,D是BC的中点，E是AC 上一动点，将△CDE沿DE折叠到△C'DE, 连接AC'.当△AEC是直角三角形时，CE的 长为 3.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边 CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE, 延长EF交BC于点G,连接AG. (1)求证：△ABG≌△AFG; (2)求BG的长. ---------------D G 设定理解决折叠问题 类型②利用折叠探究线段之间的数量关系 4.如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使 点C与点A重合，折痕交AD于点E,交BC 于点F,连接CE. (1)求证：AE=AF=CE=CF; (2)设AE=a,ED=b,DC=c,请写出a,b,c 三者之间的数量关系式. 类型③折叠中的最值问题 5.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3,AD=5, 折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，折 痕为PQ,当点A'在BC边上移动时，折痕的 端点P,Q也随之移动，若限定P,Q分别在 AB,AD边上移动，则点A'B的最小值和最大 值分别为 () A.1和3 B.1和4 C.2和3 D.2和4 A 0 C D 第5题图 第6题图 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=3, 点D在边BC上.将△ACD沿AD折叠，使点 C落在点C处，连接BC,则BC的最小值为 第二十章241 √m+√n-I √m-√n-I(Wn-√n-I)(Wn+√n-I) x-y =√n+√n-I. -a2是] :√n+I>√n-I, -2y .√n+I+√n>√m+√n-I. x+2”·(+)=-2 y 1 1 当x=√5+2，y=√5-2时， √n十I-√m√m-√n-I 原式= 2(5-2) 2(W5-2) ∴.√n+I-√n<√m-√n-I. √5+2-(W5-2)√5+2-√5+2 微专题1二次根式的运算及化简求值技巧 1g式-25×号X- =-25-2=-5-2_2-5 4 2 2 6.(1)5√53+√5 (2)原式=√3+6-3+2√3-1=33+2. (2)√28-10√3+√7+4√3 ③)原式=26+号-要-后=后+要 =√25-2×5×5+3+√4+2×2×√5+3 （④原式=35X5v反÷25=155÷2后-号 =√(5-√3)2+√(2+√3) =5-√3+2+3 (5)原式=√12-√27+√3=23-3√3+√3=0. =7. (6)原式=26-√8×多+(3-2)=26-2+1 阶段测评1(19.1-19.3) 1.B2.B3.B4.B5.A6.D =2√6-2√3+1. 7.<3且z18<-万-反9. (7)原式=2-1+3×3-3×2+2=2-1+ 10.y√-x11.6W612.27+16√313.2 3-1+2=√2+3. 14.(1)原式=14√3.(2)原式=6√2. (8)原式=5-2-3+√3+√3=2√3. (3)原式=2-43.(4)原式=-3. (9)原式=25+5-25=35-25=3-25. 15.(1)x=2-√3，y=2+√3. 5 5 (2)由(1)得x+y=2-√3+2+√3=4，xy=(2 2+1 (10)原式=2-1)W2+1 +3-3√2+22=√2+ √3)(2+√3)=1， :.x-zy+y=(x+y)2-2xy-zy=(x+y)2- 1+3-3√2+2√2=4. 3xy=42-3×1=13. 2.原式=2(a2-3)-a2+2a+6 =2a2-6-a2+2a+6 16.a(6侵-21）)-(3√号-3v)=6×9 =a2+2a. 2X3V2-3×5+3X22=36-6,2-6+62 当a=√2-1时， 3 原式=(2-1)+2（√2-1） =2√6. =3-2√2+2√2-2 (2)设“■”处的数字为a, =1. 则原式-（√月-2）-(3√层-3w) 3.:a=√5+2，b=√5-2， .a+b=√5+2+√5-2=2√5， -ay5-5=0,解得a=2. 2 a-b=√5+2-√5+2=4， 故原题中“■”表示的数是2. ab=(W5+2)(√5-2)=1. 17.(1)a+(n-1)Wb (1)a2-b=(a+b)(a-b)=2√5×4=8√5. (2)猜想：S+1-S.=(2n-1)b+2a6. (2)a2+b+ab=(a+b)2-ab=20-1=19. 证明：Sn+1-S.=(a十nw6)2-[a+(n-1)b] 4.由题意可知，x2-9≥0,9-x2≥0，x十3≠0， =[a+n8+a+(n-1)/B]La+n6-a-(n-1)B] 解得x=3, “y=9+Y9-2+29-g+9-9+2 =[2a+(2n-1)Wb]Wb=(2n-1)b+2a√6. x+3 3+3 (3)当a=1,b=3时， T=i十2+6十…十to=S2-S1+S-S2+S4- S…+S1-S0=S1-S,=(1十50W/3)°-1=7500+ √x+y·√x-y=√(x+y)(x-y)=√x-y 1003. 单元综合复习（一）二次根式 31 热门考点突破 1.D2.B3.A4.a5.5 18 一探究在线· 6.B7.A8.C9.C10.A11.-62 第2课时勾股定理的实际应用 12.(1)原式=5√3-3√6+4√6-6√3=(5-6)√3+ 基础在线 1.D2.C3.A4.2.45.2 (-3+4)√6=√6-√3. 6.在Rt△BCD中，由勾股定理，得 (2)原式=[(23)”-(3√2)2]÷√3=(12-18)÷ BC=√/CD-BD=√/102-62=8(m), √5=-6÷3=-2√3 ∴.AB=BC+AC=8+2.5=10.5(m). (3)原式=9-5-(3-2√5+1)=4-(4-2√3)= .电线杆的高度AB为10.5m. 4-4+2√3=2√3. 能力在线 (0原式-如√品× 6 7.A8.A9.B10.0.511.17 =-3a =-36. 12.由题意，得AD:CD=1:2.4=5:12,AD:BD= 13.D14.1920w6 1:1.6=5:8,AC=13m, 设AD=5x,则CD=12x, 15.(1)第n个等式是/1 2n-了=n一1(n是正整 n2 在Rt△ACD中，由勾股定理，得(5x)2+(12x)2= 132, 数).证明如下： 解得x1=1,x2=一1（舍去）. V1-2n-T /m-(2n-1) (n-1)产_n-1 .AD=5,CD=12. n n n ,AD:BD=5:8,.BD=8. (2)N 199 2×100-1 100-1 .BC=CD-BD=12-8=4(m). 10000 1002 100 故改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为4m. 99 100 13.(1)由题意，得∠ABD=90°，设AB=x,则AD= x+2, 核心素养提升 又BD=8,在Rt△ABD中，AB2+BD=AD, 16.C ∴.x2+82=(x十2)2，解得x=15. 第二十章勾股定理 答：旗杆AB的长为15m. 20.1勾股定理及其应用 (2)由(1)得AD=17m,延长BA至点 A 第1课时勾股定理 A',使AA'=4,连接A'D,则A'B=A'A 基础在线 +AB=4+15=19(m). 1.D2.A3.A4.5125.√34 在Rt△A'BD中，A'D=√AB+BD 6.(1)4√38(2)3√23√2 =√192+82=5√/17≈20.6(m), 7.(1):∠C=90°，a=40,b=9, 则绳子至少要加长20.6-17=3.6(m). ∴.c=√a+6=√402+92=41. 答：绳子至少要加长3.6m (2)a:b=8:15,∴.设a=8x(x>0),则b=15x. 拓展在线 ∠C=90°， 14.13 c=√a2+6=√(8x)2+(15x)=17x. 第3课时利用勾股定理作图 又c=34,∴.17x=34,解得x=2, 基础在线 .a=16,b=30. 1.A 8.(1)由勾股定理，得AB=√AC+BC=25, 2.(1)√/13 (2)如图，取OE=3,EF=1.点D即为所求作的点. (2)△ABC的面积为2 BCXAC=-150. (3)由三角形的面积公式，得 0 2 ABXCD=-150,则CD=2X150-12. 5-43-2-1012345 25 3.AD 4.A 9.B 5.(1)如图所示 能力在线 10.A11.7√212.±3 (2)S△ABc=2X4- ×21-×2 13.(1)14-x (2)由勾股定理，得AD2=AB2-BD=AC-CD, x2-2×4×1=8-1-2-2=8. 即152-x2=132-(14-x)2,解得x=9. 6.C7.< 14.(1).∠ABC=90°， 能力在线 .BC=√AC-AB=√132-12=5. 8.D9.-√510.-111.1212.3 BD=√JAD-AB=√/152-12=9， 13.连接BD, .CD=BD-BC=9-5=4. :△ADE是等腰直角三角形， AE=3, (2)AB的长为18. .AD=AE=3,∠E=∠ADE= 拓展在线 45°. 15.D 年级数学（下）一 ∴.DE=√AD+AE=3√2. ∴.设AB=3x,BC=4x,CA=5x. ,EC:CD=1:2,∴.EC=√2，CD=2√2. AB2+BC=(3x)2+(4x)2=25x2,CA2=(5.x)2 ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC =25x. =∠DAE=90°， ∴AB2+BC=CA..△ABC是直角三角形. ∴.AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE. (2)由(1)可知，∠B=90°.根据题意，得 ,'.△ACE≌△ABD(SAS). 3x十4x十5x=36,解得x=3. ∴.AB=9cm,BC=12cm. ∴.CE=BD=√2，∠E=∠ADB=45°. 当运动了3秒时，PB=9-1×3=6(cm),BQ=2X ∴.∠BDC=∠ADB+∠ADE=90. 3=6(cm). .BC=√CD+BD=√(22)+(2)=√I0. 拓展在线 △BPQ的面积为=18(cm). 1 14.(1)60614850 14.220 (2)证明：，a=2n,b=n-1,c=n2+1, 微专题2利用勾股定理解决折叠问题 ∴.a2=(2n)2=4n2,b=(n2-1)2=n-2n2+1, 1.C2或5 c2=(n2+1)2=n+2n2+1. .a2+b2=4n2+n-2n2+1=n+2n2+1=c2. 3.(1)证明：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD, ,n为正整数，且n≥3， ∠D=∠B=∠C=90°. .不论n为何值，a,b,c都是勾股数组。 ,将△ADE沿AE折叠至△AFE, 拓展在线 ∴.AD=AF,DE=FE,∠D=∠AFE=90 15.(1)延长AP交格点于点M,连接 ∴.AB=AF,∠B=∠AFG=90°. BM, 又，AG=AG,.Rt△ABG≌Rt△AFG(HL). 则PM=BM=√+2=√5，PB= (2),△ABG≌△AFG,∴.BG=FG. 设BG=FG=x,则GC=6一x. √/1+32=√/10， .E为CD的中点，∴.CE=DE=EF=3..EG=3十x .'PM+BM=PB2 .在Rt△CG中，3十(6-x)2=(3十x)2,解得x=2. .△PMB是等腰直角三角形，且∠PMB=90. ∴.BG=2 .∠MPB=∠MBP=45°. ∴.∠APB=180°-∠MPB=135. 4.(1)证明：由题意知，AF=CF,AE=CE,∠AFE= ∠CFE. (2)45° 第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用 四边形ABCD是长方形， ∴.AD∥BC.∴.∠AEF=∠CFE. 基础在线 ∴∠AFE=∠AEF.∴.AE=AF. 1.A2.63.正南 ..AE=AF=CE=CF. 4.过点C作CE⊥AB于点E. (2)由题意知，AE=CE=a. 在△ABC中， 由∠D=90°知，ED+DC=CE,即b2+c2=a2. .'AC=24 cm,CB=18 cm,AB=30 cm, .AC+CB2=242+182=900,AB2= 5.A6.3√2-3 302=900. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 ∴.AC+BC=AB2 第1课时勾股定理的逆定理 .△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°. 基础在线 1.BAC 2.B 3.B 4.D :Saw=7AC.BC=2CE·AB, 5.(1),a2+b=72+242=625,c2=252=625, .AC·BC=CE·AB,即24×18=CEX30, .a2+b2=c2 ∴由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形. CE=24X18=14.4(cm. 30 (2a>b>c,8+=1+(）广-1+品-0。 ∴.点C到AB的距离为14.4cm. 5.A e-()-9. 6.在Rt△ABC中，AB=BC=4, ..AC=AB2 +BC=32. .b2+c2≠a2. .CD=6,AD=2,..CD2=36=AD2+AC ∴.由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形 6.52+122=132,.AC+AB2=BC. ∴.△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°. ∴△ABC是直角三角形. Sm=号×4X4=8,Sm=号×4E×2=4E. 1 ∴Sm=合AB·AC=合BC·ADAD- 131 SAABC SAACD=SARO+SANCO SAAOD SAACO= 7.A8.C SARCO-SANOD=8-4V2. 能力在线 .△BOC与△AOD的面积相差8-4√2 9.B10.C11.(35,12,37)12.10150° 能力在线 13.(1)证明：AB:BC:CA=3:4:5, 7.D8.D9.135 一探究在线· 10.(1)R轮船沿西北方向航行.理由如下： :AD是△ABC的高，∠DAB=∠ABD=45° 由题意知，Q轮船每小时航行20海里，R轮船每小 ∴.AD=BD 时航行15海里， 在Rt△ABD中，AD2+BD=AB2,AB=3√2. .PQ=20×2=40(海里)，PR=15×2=30(海里). .'.AD=BD=3...CD=BD+BC=4. ,它们离开港口两小时后相距50海里，即QR= 在Rt△ACD中，AC=√JAD+CD=√32+4=5. 50海里， 15.(1)√/17√/13 又402+302=502，即PQ+PR2=QR, (2)如图所示，△DEF即为所求 ∴.△PQR为直角三角形，且∠QPR=90° Q轮船沿东北方向航行，可知∠1=45°， DE=√5，DF=5,EF=2√5， .∠2=∠QPR-∠1=45°. .'.DE+EF=DF. R轮船沿西北方向航行. .△DEF为直角三角形 (2)根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航 △DEF的面积为号DE·EF=号×，5X2厅=5. 行2小时后，PQ=20×(2+2)=80(海里)，PR= 16.(1)是.理由如下： 15×(2十2)=60（海里）， ,CD2+DB2=42+32=25,CB2=25, 由(1)得△PQR为直角三角形，且∠QPR=90°， .CD+DB2=CB..△CDB是直角三角形. 根据勾股定理，RQ=802+602=1002, .CDLAB.CD是从小区C到公路最近的路. ∴.RQ=100. 答：两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航 (25 行2小时两船相距100海里. 17.过点A作AD⊥BC于点D,如图②，设CD=x,则 11..在△BDC中，CB=1千米，CD=0.8千米，BD= AD2=b-x2=c2-(a-x)2, 0.6千米，BC=1,CD2+BD=0.82+0.62=1, 整理，得a2+b=c2+2ax, .CD+BD=BC.∴.△BDC是直角三角形. 2ax>0,∴.a2+b>c2; ∴.∠CDB=90°. 如图③，同理可得a+<c2 ,A,D,B在同一条直线上， ∴.∠ADC=180°-∠CDB=90°. △ADC是直角三角形. :A,B这两个取水点之间的距离为2.1千米， (∠ACB<90°) (∠ACB>90°) BD=0.6千米， 图② 图③ .AD=AB-BD=2.1-0.6=1.5(千米). 单元综合复习（二）勾股定理 在Rt△ADC中，AD=1.5千米，CD=0.8千米， 热门考点突破 由勾股定理，得 1.D2.C3.A4.A5.A6.D7.B8.√3-1 AC=√AD十CD=√/1.52+0.8=1.7（千米. 9.如图，过点A作AE⊥BC于点E, 答：原来的路线AC的长为1.7千米. ,AC=AB=25,BC=4, 拓展在线 BE-CE-BC-2. 12.2√13 微专题3利用勾股定理解决最短路径问题 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE=√AB一BE =4. 1.B2.33 .DE=CE+CD=2+5=7, 3.(1)1300 在Rt△AED中，由勾股定理，得AD=√AE十DE (2)如图，作点A关于直线MN的 北 对称点A',连接A'B交MN于点 C 十→东 =√65. P,则点P即为所求. 10.11411.45°12.南偏东50° 13.(1),AB⊥BC,.∠B=90° 此时PA'=PA, .PA十PB=PA'+PB,即PA+PB的最小值为A'B 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 的长. AC=√JAB2+BC=√92+122=15(km). 由题意知，A'D=AD=200米，∠ACB=90°， 答：无人机飞行路径AC的长为15km. (2)证明：，AD2=172=289,CD2+AC=82+15 .A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900(米). =289,.AD=CD2+AC. 在Rt△A'BC中，∠ACB=90°， ∴.△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°. .A'B2=A'C2+BC=9002+12002=2250000. ∴AC⊥CD. A'B>0,.AB=1500米. 核心素养提升 即PA+PB的最小值为1500米 4.B5.1306.13π 14.(1)√10元 2 阶段测评2(20.1一20.2) 1 1 1 1.C2.C3.A4.A5.B6.C7.B (2)s+s+s,+s+s+S+…+s+Sm 859g.3610.51.4012.号 13.135 1 1 99+√100 14.∠ABC=135°，∴.∠ABD=45. +++ 2 2 年级数学（下）一 19