20.1 第2课时 勾股定理的实际应用-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

©第2课时 勾引 ①基础在线 > 知识要点分类练… 知识点勾股定理的实际应用 1.如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小 路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一 条近路，已知AB=4米，BC=3米，则走这条 近路AC要走 () A.2米 B.3米 C.4米 D.5米 第1题图 第2题图 2.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米， 两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到 另一棵树的树梢，它至少要飞行 () A.6米 B.8米 C.10米D.12米 3.两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝 北面挖，每分钟挖8cm,另一只朝东面挖，每分 钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距（) A.100 cm B.50 cm C.140 cm D.80 cm 4.(中考·连云港)如图，长为3m的梯子靠在墙 上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m,则 梯子顶端的高度h为 m. 0 -1.8 第4题图 第5题图 5.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定 两端A和B,然后把中点C向上拉升3cm到 点D,则橡皮筋被拉长了cm. 6.(教材P30习题T5变式)如图，在电线杆AB 上的点C处，向地面拉一条10m长的钢缆 CD,地面固定点D到电线杆底部的距离BD 股定理的实际应用 =6m,AB⊥BD于点B,电线杆上的固定点C 到电线杆顶端A的距离为2.5m,求电线杆的 高度AB. ②能力在线》方法规摩综合练 7.(教材P26例2变式)一个门框的尺寸如图所 示，下列长×宽型号（单位：m)的长方形薄木 板能从门框中通过的是 ) A.2.9X2.2 B.2.8×2.3 C.2.7×2.4 D.2.6×2.5 D 42 A B -1m 第7题图 第8题图 8.如图，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A 的最短距离为 ( ) A.13 B.12 C.8 D.5 9.(安阳期末)图①中有一首古诗，根据诗中的描 述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示 意图如图②，其中AB=AB,AB⊥B'C于点 C,BC=0.5尺，B'C=2尺，则AC的长度为 9诗文：波平如镜一湖面，半尺高 处生红莲。亭亭多姿湖中立，突 遭狂风吹一边。离开原处二尺远 花贴湖面像睡莲。 图① 图② A.3尺 B.3.75尺 C.4尺 D.4.25尺 第二十章20 10.(教材P26例3变式)如图，滑竿在机械槽内 运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长 2.5m,顶端A在AC上滑动，量得滑竿下端 B距C点的距离为1.5m,当端点B向右移 动0.5m时，滑竿顶端A下滑 m. 13m m B D 第10题图 第11题图 11.在高5m,长13m的一段台阶上铺上地毯， 台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少是 m. 12.(教材P31习题T9变式)某商场为方便顾客 使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度（坡 的高度与水平宽度的比值)由1：1.6改为 1:2.4(如图).如果改动后电梯的坡面长为 13m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC 的长 13.(新考向·项目式学习)小明学习小组在活动 课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了 如下记录表格： 课题利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 模型 抽象 21 探究在线八年级数学（下） ①绳子紧贴着旗杆AB垂直向下，再把多余的 绳子BC拉直，测得多余的绳子长度为2m 测绘 数据 ②拉直绳子AC,使绳子末端C刚好与地面 上的点D重合，测量旗杆底部点B到绳子 终点D的距离，即BD=8m. 说明 点A,B,D在同一平面上. 请根据表格信息，解答下列问题.（√17≈ 4.12,√15≈3.87) (1)求旗杆AB的长； (2)由于实际需要，现在要把旗杆增高4m, 如果绳子还能拉到点D处，则绳子至少要加 长多少米？（结果保留一位小数）. 3 拓展在线 >培优拔尖提升练 14.（贵港期中)如图，一个圆柱形玻璃杯的高为 10cm,底面周长为10cm,在杯内壁底部的 点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯 外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处， 则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短 路线的长为 cm.(杯壁厚度忽略不计) 蚂蚁A B蜂蜜1 √m+√n-I √m-√n-I(Wn-√n-I)(Wn+√n-I) x-y =√n+√n-I. -a2是] :√n+I>√n-I, -2y .√n+I+√n>√m+√n-I. x+2”·(+)=-2 y 1 1 当x=√5+2，y=√5-2时， √n十I-√m√m-√n-I 原式= 2(5-2) 2(W5-2) ∴.√n+I-√n<√m-√n-I. √5+2-(W5-2)√5+2-√5+2 微专题1二次根式的运算及化简求值技巧 1g式-25×号X- =-25-2=-5-2_2-5 4 2 2 6.(1)5√53+√5 (2)原式=√3+6-3+2√3-1=33+2. (2)√28-10√3+√7+4√3 ③)原式=26+号-要-后=后+要 =√25-2×5×5+3+√4+2×2×√5+3 （④原式=35X5v反÷25=155÷2后-号 =√(5-√3)2+√(2+√3) =5-√3+2+3 (5)原式=√12-√27+√3=23-3√3+√3=0. =7. (6)原式=26-√8×多+(3-2)=26-2+1 阶段测评1(19.1-19.3) 1.B2.B3.B4.B5.A6.D =2√6-2√3+1. 7.<3且z18<-万-反9. (7)原式=2-1+3×3-3×2+2=2-1+ 10.y√-x11.6W612.27+16√313.2 3-1+2=√2+3. 14.(1)原式=14√3.(2)原式=6√2. (8)原式=5-2-3+√3+√3=2√3. (3)原式=2-43.(4)原式=-3. (9)原式=25+5-25=35-25=3-25. 15.(1)x=2-√3，y=2+√3. 5 5 (2)由(1)得x+y=2-√3+2+√3=4，xy=(2 2+1 (10)原式=2-1)W2+1 +3-3√2+22=√2+ √3)(2+√3)=1， :.x-zy+y=(x+y)2-2xy-zy=(x+y)2- 1+3-3√2+2√2=4. 3xy=42-3×1=13. 2.原式=2(a2-3)-a2+2a+6 =2a2-6-a2+2a+6 16.a(6侵-21）)-(3√号-3v)=6×9 =a2+2a. 2X3V2-3×5+3X22=36-6,2-6+62 当a=√2-1时， 3 原式=(2-1)+2（√2-1） =2√6. =3-2√2+2√2-2 (2)设“■”处的数字为a, =1. 则原式-（√月-2）-(3√层-3w) 3.:a=√5+2，b=√5-2， .a+b=√5+2+√5-2=2√5， -ay5-5=0,解得a=2. 2 a-b=√5+2-√5+2=4， 故原题中“■”表示的数是2. ab=(W5+2)(√5-2)=1. 17.(1)a+(n-1)Wb (1)a2-b=(a+b)(a-b)=2√5×4=8√5. (2)猜想：S+1-S.=(2n-1)b+2a6. (2)a2+b+ab=(a+b)2-ab=20-1=19. 证明：Sn+1-S.=(a十nw6)2-[a+(n-1)b] 4.由题意可知，x2-9≥0,9-x2≥0，x十3≠0， =[a+n8+a+(n-1)/B]La+n6-a-(n-1)B] 解得x=3, “y=9+Y9-2+29-g+9-9+2 =[2a+(2n-1)Wb]Wb=(2n-1)b+2a√6. x+3 3+3 (3)当a=1,b=3时， T=i十2+6十…十to=S2-S1+S-S2+S4- S…+S1-S0=S1-S,=(1十50W/3)°-1=7500+ √x+y·√x-y=√(x+y)(x-y)=√x-y 1003. 单元综合复习（一）二次根式 31 热门考点突破 1.D2.B3.A4.a5.5 18 一探究在线· 6.B7.A8.C9.C10.A11.-62 第2课时勾股定理的实际应用 12.(1)原式=5√3-3√6+4√6-6√3=(5-6)√3+ 基础在线 1.D2.C3.A4.2.45.2 (-3+4)√6=√6-√3. 6.在Rt△BCD中，由勾股定理，得 (2)原式=[(23)”-(3√2)2]÷√3=(12-18)÷ BC=√/CD-BD=√/102-62=8(m), √5=-6÷3=-2√3 ∴.AB=BC+AC=8+2.5=10.5(m). (3)原式=9-5-(3-2√5+1)=4-(4-2√3)= .电线杆的高度AB为10.5m. 4-4+2√3=2√3. 能力在线 (0原式-如√品× 6 7.A8.A9.B10.0.511.17 =-3a =-36. 12.由题意，得AD:CD=1:2.4=5:12,AD:BD= 13.D14.1920w6 1:1.6=5:8,AC=13m, 设AD=5x,则CD=12x, 15.(1)第n个等式是/1 2n-了=n一1(n是正整 n2 在Rt△ACD中，由勾股定理，得(5x)2+(12x)2= 132, 数).证明如下： 解得x1=1,x2=一1（舍去）. V1-2n-T /m-(2n-1) (n-1)产_n-1 .AD=5,CD=12. n n n ,AD:BD=5:8,.BD=8. (2)N 199 2×100-1 100-1 .BC=CD-BD=12-8=4(m). 10000 1002 100 故改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为4m. 99 100 13.(1)由题意，得∠ABD=90°，设AB=x,则AD= x+2, 核心素养提升 又BD=8,在Rt△ABD中，AB2+BD=AD, 16.C ∴.x2+82=(x十2)2，解得x=15. 第二十章勾股定理 答：旗杆AB的长为15m. 20.1勾股定理及其应用 (2)由(1)得AD=17m,延长BA至点 A 第1课时勾股定理 A',使AA'=4,连接A'D,则A'B=A'A 基础在线 +AB=4+15=19(m). 1.D2.A3.A4.5125.√34 在Rt△A'BD中，A'D=√AB+BD 6.(1)4√38(2)3√23√2 =√192+82=5√/17≈20.6(m), 7.(1):∠C=90°，a=40,b=9, 则绳子至少要加长20.6-17=3.6(m). ∴.c=√a+6=√402+92=41. 答：绳子至少要加长3.6m (2)a:b=8:15,∴.设a=8x(x>0),则b=15x. 拓展在线 ∠C=90°， 14.13 c=√a2+6=√(8x)2+(15x)=17x. 第3课时利用勾股定理作图 又c=34,∴.17x=34,解得x=2, 基础在线 .a=16,b=30. 1.A 8.(1)由勾股定理，得AB=√AC+BC=25, 2.(1)√/13 (2)如图，取OE=3,EF=1.点D即为所求作的点. (2)△ABC的面积为2 BCXAC=-150. (3)由三角形的面积公式，得 0 2 ABXCD=-150,则CD=2X150-12. 5-43-2-1012345 25 3.AD 4.A 9.B 5.(1)如图所示 能力在线 10.A11.7√212.±3 (2)S△ABc=2X4- ×21-×2 13.(1)14-x (2)由勾股定理，得AD2=AB2-BD=AC-CD, x2-2×4×1=8-1-2-2=8. 即152-x2=132-(14-x)2,解得x=9. 6.C7.< 14.(1).∠ABC=90°， 能力在线 .BC=√AC-AB=√132-12=5. 8.D9.-√510.-111.1212.3 BD=√JAD-AB=√/152-12=9， 13.连接BD, .CD=BD-BC=9-5=4. :△ADE是等腰直角三角形， AE=3, (2)AB的长为18. .AD=AE=3,∠E=∠ADE= 拓展在线 45°. 15.D 年级数学（下）一