20.1 第1课时 勾股定理-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 ©第1课时 勾股定理 基础在线 》知识要点分类练 5.(教材P26练习T3变式)在平面直角坐标系 ● 中，点A的坐标为(0,5)，点P坐标为(3,0)， 知识点1勾股定理的认识 则线段AP= 1.已知a,b,c分别为△ABC的三边，下列说法错 6.(教材P30习题T7变式)在Rt△ABC,∠A, 误的是 ( ) ∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C=90°. A.若∠C=90°，则a2十b2=c2 (1)如果∠A=30°，a=4,则b= C= B.若∠B=90°，则a2十c2=b C.若∠A=90°，则b2十c2=a2 (2)如果∠A=45°，c=6,则a= ,b= D.总有a2+b2=c2 2.如图，直角三角形的三边上分别有一个正方 7.（教材P25练习T1变式)在Rt△ABC中，∠C 形，其中两个正方形的面积分别是25和169， =90°，AB=c,BC=a,AC=b. 则字母B所代表的正方形的面积是( (1)a=40,b=9,求c; A.144 B.194 C.12 D.13 (2)c=34,ab=8:15,求a,b. 25 169 第2题图 第3题图 3.(大同期中)勾股定理在人们的生活中应用广 泛，它的证明也是多种多样.下列能用如图所 示的图形面积验证勾股定理的等式是( ) A.(a+b)-4Xjab+e 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15,AC =20,CD是高 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 (1)求AB的长； C.(a+b)2=(b-a)2+4ab (2)求△ABC的面积； D.a2+82-2ab=(a-b)2 (3)求CD的长. 知识点2利用勾股定理进行计算 4.求出下列直角三角形中未知边的长度. y 第二十章18 易错点斜边不确定时忽略分类讨论而致错 (I)设BD=x,用含x的代数式表示CD,则 9.若直角三角形的两边长分别为a,b,且满足 CD- √a2一6a十9十|b-4|=0,则该直角三角形的 (2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建 第三边长为 ) 立方程，并求出x的值 A.5 B.5或/7 C.4 D.√7或4 ②能力在线沙方法规律蜂合练 10.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成 的，若正方形A,B的面积分别为8,20，大直 角三角形的一边长为6，则斜边长m为() 14.(定西期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°. A.8 B.9 C.10 D.27 点D是BC延长线上的点，连接AD, (1)若AC=13,AB=12,AD=15.求CD的长； (2)若AC平分∠BAD,BC=9,CD=15,直 接写出AB的长 D 第10题图 第11题图 11.(吕梁期中)我国古代数学家赵爽巧妙地用 “弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的 数学成就.如图所示的“弦图”是由四个全等 的直角三角形（斜边长为13，一条直角边长 为12)拼成的大正方形，中空部分ABCD是 个小正方形.连接AC,则AC的长为 12.(南通期中)如图，Rt△ABC的斜边AB在x 3 拓展在线》塔优拔尖提升练… 轴上，点A的坐标为（一5,0），点B的坐标为 (5,0),若点C的坐标为(m,4),则m= 15.(教材P31习题T13变式)如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图 中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月 牙”，当AC=6,BC=3时，阴影部分的面积 A B 为 () -5 0 13.如图，在△ABC中，AC=13,BC=14,AB= 15,过点A作AD⊥BC于点D,求BD的长. 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解 题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答 A. 9 C.9π D.9 过程. 19探究在线八年级数学（下）1 √m+√n-I √m-√n-I(Wn-√n-I)(Wn+√n-I) x-y =√n+√n-I. -a2是] :√n+I>√n-I, -2y .√n+I+√n>√m+√n-I. x+2”·(+)=-2 y 1 1 当x=√5+2，y=√5-2时， √n十I-√m√m-√n-I 原式= 2(5-2) 2(W5-2) ∴.√n+I-√n<√m-√n-I. √5+2-(W5-2)√5+2-√5+2 微专题1二次根式的运算及化简求值技巧 1g式-25×号X- =-25-2=-5-2_2-5 4 2 2 6.(1)5√53+√5 (2)原式=√3+6-3+2√3-1=33+2. (2)√28-10√3+√7+4√3 ③)原式=26+号-要-后=后+要 =√25-2×5×5+3+√4+2×2×√5+3 （④原式=35X5v反÷25=155÷2后-号 =√(5-√3)2+√(2+√3) =5-√3+2+3 (5)原式=√12-√27+√3=23-3√3+√3=0. =7. (6)原式=26-√8×多+(3-2)=26-2+1 阶段测评1(19.1-19.3) 1.B2.B3.B4.B5.A6.D =2√6-2√3+1. 7.<3且z18<-万-反9. (7)原式=2-1+3×3-3×2+2=2-1+ 10.y√-x11.6W612.27+16√313.2 3-1+2=√2+3. 14.(1)原式=14√3.(2)原式=6√2. (8)原式=5-2-3+√3+√3=2√3. (3)原式=2-43.(4)原式=-3. (9)原式=25+5-25=35-25=3-25. 15.(1)x=2-√3，y=2+√3. 5 5 (2)由(1)得x+y=2-√3+2+√3=4，xy=(2 2+1 (10)原式=2-1)W2+1 +3-3√2+22=√2+ √3)(2+√3)=1， :.x-zy+y=(x+y)2-2xy-zy=(x+y)2- 1+3-3√2+2√2=4. 3xy=42-3×1=13. 2.原式=2(a2-3)-a2+2a+6 =2a2-6-a2+2a+6 16.a(6侵-21）)-(3√号-3v)=6×9 =a2+2a. 2X3V2-3×5+3X22=36-6,2-6+62 当a=√2-1时， 3 原式=(2-1)+2（√2-1） =2√6. =3-2√2+2√2-2 (2)设“■”处的数字为a, =1. 则原式-（√月-2）-(3√层-3w) 3.:a=√5+2，b=√5-2， .a+b=√5+2+√5-2=2√5， -ay5-5=0,解得a=2. 2 a-b=√5+2-√5+2=4， 故原题中“■”表示的数是2. ab=(W5+2)(√5-2)=1. 17.(1)a+(n-1)Wb (1)a2-b=(a+b)(a-b)=2√5×4=8√5. (2)猜想：S+1-S.=(2n-1)b+2a6. (2)a2+b+ab=(a+b)2-ab=20-1=19. 证明：Sn+1-S.=(a十nw6)2-[a+(n-1)b] 4.由题意可知，x2-9≥0,9-x2≥0，x十3≠0， =[a+n8+a+(n-1)/B]La+n6-a-(n-1)B] 解得x=3, “y=9+Y9-2+29-g+9-9+2 =[2a+(2n-1)Wb]Wb=(2n-1)b+2a√6. x+3 3+3 (3)当a=1,b=3时， T=i十2+6十…十to=S2-S1+S-S2+S4- S…+S1-S0=S1-S,=(1十50W/3)°-1=7500+ √x+y·√x-y=√(x+y)(x-y)=√x-y 1003. 单元综合复习（一）二次根式 31 热门考点突破 1.D2.B3.A4.a5.5 18 一探究在线· 6.B7.A8.C9.C10.A11.-62 第2课时勾股定理的实际应用 12.(1)原式=5√3-3√6+4√6-6√3=(5-6)√3+ 基础在线 1.D2.C3.A4.2.45.2 (-3+4)√6=√6-√3. 6.在Rt△BCD中，由勾股定理，得 (2)原式=[(23)”-(3√2)2]÷√3=(12-18)÷ BC=√/CD-BD=√/102-62=8(m), √5=-6÷3=-2√3 ∴.AB=BC+AC=8+2.5=10.5(m). (3)原式=9-5-(3-2√5+1)=4-(4-2√3)= .电线杆的高度AB为10.5m. 4-4+2√3=2√3. 能力在线 (0原式-如√品× 6 7.A8.A9.B10.0.511.17 =-3a =-36. 12.由题意，得AD:CD=1:2.4=5:12,AD:BD= 13.D14.1920w6 1:1.6=5:8,AC=13m, 设AD=5x,则CD=12x, 15.(1)第n个等式是/1 2n-了=n一1(n是正整 n2 在Rt△ACD中，由勾股定理，得(5x)2+(12x)2= 132, 数).证明如下： 解得x1=1,x2=一1（舍去）. V1-2n-T /m-(2n-1) (n-1)产_n-1 .AD=5,CD=12. n n n ,AD:BD=5:8,.BD=8. (2)N 199 2×100-1 100-1 .BC=CD-BD=12-8=4(m). 10000 1002 100 故改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为4m. 99 100 13.(1)由题意，得∠ABD=90°，设AB=x,则AD= x+2, 核心素养提升 又BD=8,在Rt△ABD中，AB2+BD=AD, 16.C ∴.x2+82=(x十2)2，解得x=15. 第二十章勾股定理 答：旗杆AB的长为15m. 20.1勾股定理及其应用 (2)由(1)得AD=17m,延长BA至点 A 第1课时勾股定理 A',使AA'=4,连接A'D,则A'B=A'A 基础在线 +AB=4+15=19(m). 1.D2.A3.A4.5125.√34 在Rt△A'BD中，A'D=√AB+BD 6.(1)4√38(2)3√23√2 =√192+82=5√/17≈20.6(m), 7.(1):∠C=90°，a=40,b=9, 则绳子至少要加长20.6-17=3.6(m). ∴.c=√a+6=√402+92=41. 答：绳子至少要加长3.6m (2)a:b=8:15,∴.设a=8x(x>0),则b=15x. 拓展在线 ∠C=90°， 14.13 c=√a2+6=√(8x)2+(15x)=17x. 第3课时利用勾股定理作图 又c=34,∴.17x=34,解得x=2, 基础在线 .a=16,b=30. 1.A 8.(1)由勾股定理，得AB=√AC+BC=25, 2.(1)√/13 (2)如图，取OE=3,EF=1.点D即为所求作的点. (2)△ABC的面积为2 BCXAC=-150. (3)由三角形的面积公式，得 0 2 ABXCD=-150,则CD=2X150-12. 5-43-2-1012345 25 3.AD 4.A 9.B 5.(1)如图所示 能力在线 10.A11.7√212.±3 (2)S△ABc=2X4- ×21-×2 13.(1)14-x (2)由勾股定理，得AD2=AB2-BD=AC-CD, x2-2×4×1=8-1-2-2=8. 即152-x2=132-(14-x)2,解得x=9. 6.C7.< 14.(1).∠ABC=90°， 能力在线 .BC=√AC-AB=√132-12=5. 8.D9.-√510.-111.1212.3 BD=√JAD-AB=√/152-12=9， 13.连接BD, .CD=BD-BC=9-5=4. :△ADE是等腰直角三角形， AE=3, (2)AB的长为18. .AD=AE=3,∠E=∠ADE= 拓展在线 45°. 15.D 年级数学（下）一