19.3 第2课时 二次根式的混合运算-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

©第2课时二 基础在线》知识要点分类臻 知识点1二次根式的混合运算 1.计算：(1)√6×√12-√⑧= (2)√2(1十√2)= (38√骨-6÷8- 2.计算： (1)(中考·甘肃)12-√6×1 (2)(√5+2)(W5-1); (3)(√5×√10-2√2)÷√2. 知识点2二次根式与乘法公式 3.(中考·河北)计算：（√10+√6）（√10-√6）= A.2 B.4 C.6 D.8 4.计算：(1)(3+2)= (2)(√2-1)2= 5.计算： (1)(2√3-1)2； (2)(5-2)2-(3-1)(3+1). 次根式的混合运算 易错点错用运算法则计算 6.(黄石期未)小甲同学计算V亚÷(+2)】 3 时，想起分配律，于是他按分配律完成了下列 计算： 解：原式=2÷+2÷2 3 =厘x后+亚 2√3 =11. 小甲同学的解法正确吗？若不正确，请给出正 确的解答过程。 能力在线》方法规律缝合族…。 7.(温州期未)若算式(2+2√2)※(1+√2)的结 果是有理数，则※表示的运算符号是( A.+ B.- C.× D.÷ 8.(沧州期末)如图是一个程序框图，若输人x= 72,则输出y的值为 ( ) 输人x≥0→园-瓦×(W2+列一输人y A.15+76 B.9+5√6 C.9-5√6 D.56 第十九章10 9.(保定期末)如图，点A,B,C,D在数轴上，则 可以近似表示√2×√18一√24÷2√2的运算 结果的点是 () 。1,”。一 A.点A B.点B C.点C D.点D 10.计算：（√/10-3）2026×（√10+3）2027= 11.(内江阶段练习)若6一√5的整数部分是a,小数 部分是b,则a2一b的值是 12.(安阳期末)如图，从一个大正 方形中裁去两个面积分别为 x2和y2的小正方形，已知x= √5一2，y=√5十2，则留下的阴 影部分的面积为 13.计算： )s÷5-侵×厘-26： (2)(4+2√3)·(5-1)2+√5(-1). 14.(教材P16习题T7变式)已知x=√5+1，y= √5-1，求下列各式的值： (1)x2-2xy+y2; (2)x2-y2; (3)义+」 x y 11探究在线八年级数学（下） 3 拓展在线》培优拔尖提升练 ● 15.(新考向·解题方法型阅读理解题)下面是李 老师在黑板上给出的例题及其解答过程. 化简洞十 2 解：原式= 2xg-1)-2x8-P-5-1. (W3+1)(W3-1)(w3)2-1 请根据上述方法完成下列题目： ①)化简2的结果是 (2)计算：(1+ 1 1 2+1+√2√4+√3 +…十 1 )×(√50+1)； √50+√49 (3)比较√n+1-√n与n-√n-1的大小. (n为正整数且大于1)温警提示：清做完后再看答案！ 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 参考答案 基础在线 1.102.B3.D 第十九章二次根式 4.(1)原式=-2√3. (2原式=是。 19.1二次根式及其性质 5.A6.C7.9√2 第1课时二次根式的概念 基础在线 8.(1)原式=35. (2)原式-125.(3)原式= 9. 1.A2.x≥13.3（答案不唯一） 9.①②③ 10.-√/2-a 4.(1)x≤0.(2)x≥-3. 能力在线 (3)x为任意实数，（④x<号 11.C12.A 5.√2m6.5√2√27.3 13.x=-2+5=-2-5148 能力在线 15.(1)原式=0.6.(2)原式=-3b√2a, 8.C9.x>3且x≠202510.√211.50 (3)原式=10abc√2ac. 拓展在线 16.两个阴影部分的面积和为2（√12×√18）=2(2√3 12.(1)a≥2025(2)a-2024 ×3√2)=12√6(cm),则原来大正方形的面积为 (3),|2024-a+√a-2025=a, (30+12√6)cm2. .a-2024+√Ja-2025=a. 拓展在线 .√a-2025=2024..a-2025=20242. 17.2 .a-2024=2025. 18.(1)-5√6=-√25×6=-√150， 第2课时二次根式的性质 基础在线 -6√5=-√36X5=-√/180. 1.5 因为150<180，所以√150<√180， 2.(1)(√7)2(2)（√2.7）2 3() 所以-√150>-√/180， (4)(元) 即-5√6>-6√5. 3.(1)原式=0.9. (2)原式=号 (3)原式=75.(4)原式=-24. 4.C5.B6.D 36=√×2=15. 7.(1)原式=3. (2)原式=-3 1 因为14<15.5<17，所以√14<√15.5<√17， (3)原式=合 (4)原式=元一3. 即<名< 8.√2-1 第2课时 二次根式的除法 能力在线 基础在线 9.A10.A11.-712.< 1.B2.D3.C 13.(1)3(2)314.-3m 4.(1)原式=3. (2)原式=-5√2. 15.(1)原式=(a十√5)(a-√5). (3)原式- 2 (4)原式=2a. (2)原式=(x一√7)2. 16.由题意，得m-4≥0，解得m>≥4. .原等式可化为m-2+√m-4=m. C6B29 整理，得√m-4=2,解得m=8. (2)原式= 拓展在线 &a原武-治 17.(1)3(2)3≤a≤7 (3)原式= 2 （)原式号 (3)√(a+1)下+√(a-5)=8可化为|a+1|+ 9.√7 10.1(答案不唯一) |a-5|=8, 当a<-1时，a十1<0，a-5<0, 11.(1)原式= 2 (2)原式=号而. ∴.-(a十1)-(a-5)=8,∴.a=-2,符合题意； 当-1≤a≤5时，a+1≥0，a-5≤0， (4)原式=√3. (3)原式=4x√2y. ∴.(a十1)-(a-5)=8,无解，不符合题意； -27 ≠二27 当a>5时，a+1>0,a-5>0, 12.不正确.√-3 √-3 ∴a十1十a-5=8,∴a=6,符合题意. 综上所述，a=一2或6. ==3 正确的解答过程为√写-√厚 一探究在线· 能力在线 点A,点C所对应的数分别为一2√2，√2. 13.10000 1.3号 15.216.1.22517.①②③ (2)AB=√⑧=2√2，BC=√2，∴.AC=3√2， 由题意知，分原点O在点C的右边及点C的左边 18.(1)原式=√2.(2)原式=2y. 两种情况求解： (3原式=吕爪. ①当原点0在点C的右边，且C0=√50=5√2时， 拓展在线 点C所对应的数为一5√2，点B所对应的数为 -6√2，点A所对应的数为一8√2， .P=(-8w2)+(-62)+(-52)=-192. (2)第n(n≥1且n为整数)个等式为√n一n+1 n ②当原点O在点C的左边，且C0=√50=5√2时， 点C所对应的数为5√2，点B所对应的数为4√2， ”√m+:等式右边化简成最简二次根式为 点A所对应的数为2√2， R+ .P=5√2+4√2+2√2=11W2, 综上所述，P的值为-19√2或11√2. (3)73 第2课时二次根式的混合运算 19.3二次根式的加法与减法 基础在线 第1课时 二次根式的加减 基础在线 1.(1)42 (2)2+2(3)图 2 1.B2.A3.04.(1W5 (2)8,√/32 2.(1)原式=√3.(2)原式=3+√5.(3)原式=3. 5.D6.(1)0(2)3√57.(5√5+2√10) 3.B4.(1)7+4√3(2)3-2√2 8.(1)原式=6√m.(2)原式=3√2. 5.(1)原式=12-4√3+1=13-4√3. (3)原式=√2+5√3. (2)原式=5-4√5+4-(3-1)=5-4√5+4-2= 9.不能在这块木板上截出两个面积分别是12dm和 7-45. 27dm2的正方形木板.理由如下： 6.不正确.正确解答过程为 √2+√/27=23+33=5√3， 53=/75,8=64,.53>8. 亚÷(+2）-÷(2+) 故不能在这块木板上截出两个面积分别是12dm V厘÷11g5=25×,12=24 12 和27dm的正方形木板. 11311 能力在线 能力在线 10.B1.0412.213.55 7.D8.B9.C10.√10+311.6√5-512.2 13.(1)原式=6-2√6.(2)原式=7-√3. 14,原式=-号3-5+45-5≈4.62. 14.运用整体的思想，x十y=2√5，x一y=2,xy=4. (1)x2-2xy十y2=(x-y)2=4. 15.1)2+(-327)=-√写×27=25 (2)x2-y2=(x+y)(x-y)=4√5 -3=3. (2)淇淇的说法正确.理由如下： (3)￥+号=-2+2 y xy “+(-2√)+(-})+6 (x-2+2=3. xy 拓展在线 =厘-2厚-g@+6 15.(1)2+1 (2)原式 2-1 √3-√2 L(w2+1)(2-1)(W3+√2)(W3-√2) =2√3-√6-√3+√6 十…十 /50-√49 ×(√50+1) =3, (50+√49)（√50-√49）J x的值为3. √48=43， (+++®-×v面+1 ∴x的值能与√48合并. =(W2-1+√3-√2+…+√50-√49)×（√50+1） 淇淇的说法正确。 =(√50-1)×（√50+1）=50-1=49. 拓展在线 1 (3). n+I+√m 16.(1)由题意知，若以B为原点，则点A所对应的数为0 √n十I-√n(√n+I-√m)(√n+I+n) 一√⑧=-2√2，点C所对应的数为0+√2=√2， =√n十I+√n. 年级数学（下）一 17 1 √m+√n-I √m-√n-I(Wn-√n-I)(Wn+√n-I) x-y =√n+√n-I. -a2是] :√n+I>√n-I, -2y .√n+I+√n>√m+√n-I. x+2”·(+)=-2 y 1 1 当x=√5+2，y=√5-2时， √n十I-√m√m-√n-I 原式= 2(5-2) 2(W5-2) ∴.√n+I-√n<√m-√n-I. √5+2-(W5-2)√5+2-√5+2 微专题1二次根式的运算及化简求值技巧 1g式-25×号X- =-25-2=-5-2_2-5 4 2 2 6.(1)5√53+√5 (2)原式=√3+6-3+2√3-1=33+2. (2)√28-10√3+√7+4√3 ③)原式=26+号-要-后=后+要 =√25-2×5×5+3+√4+2×2×√5+3 （④原式=35X5v反÷25=155÷2后-号 =√(5-√3)2+√(2+√3) =5-√3+2+3 (5)原式=√12-√27+√3=23-3√3+√3=0. =7. (6)原式=26-√8×多+(3-2)=26-2+1 阶段测评1(19.1-19.3) 1.B2.B3.B4.B5.A6.D =2√6-2√3+1. 7.<3且z18<-万-反9. (7)原式=2-1+3×3-3×2+2=2-1+ 10.y√-x11.6W612.27+16√313.2 3-1+2=√2+3. 14.(1)原式=14√3.(2)原式=6√2. (8)原式=5-2-3+√3+√3=2√3. (3)原式=2-43.(4)原式=-3. (9)原式=25+5-25=35-25=3-25. 15.(1)x=2-√3，y=2+√3. 5 5 (2)由(1)得x+y=2-√3+2+√3=4，xy=(2 2+1 (10)原式=2-1)W2+1 +3-3√2+22=√2+ √3)(2+√3)=1， :.x-zy+y=(x+y)2-2xy-zy=(x+y)2- 1+3-3√2+2√2=4. 3xy=42-3×1=13. 2.原式=2(a2-3)-a2+2a+6 =2a2-6-a2+2a+6 16.a(6侵-21）)-(3√号-3v)=6×9 =a2+2a. 2X3V2-3×5+3X22=36-6,2-6+62 当a=√2-1时， 3 原式=(2-1)+2（√2-1） =2√6. =3-2√2+2√2-2 (2)设“■”处的数字为a, =1. 则原式-（√月-2）-(3√层-3w) 3.:a=√5+2，b=√5-2， .a+b=√5+2+√5-2=2√5， -ay5-5=0,解得a=2. 2 a-b=√5+2-√5+2=4， 故原题中“■”表示的数是2. ab=(W5+2)(√5-2)=1. 17.(1)a+(n-1)Wb (1)a2-b=(a+b)(a-b)=2√5×4=8√5. (2)猜想：S+1-S.=(2n-1)b+2a6. (2)a2+b+ab=(a+b)2-ab=20-1=19. 证明：Sn+1-S.=(a十nw6)2-[a+(n-1)b] 4.由题意可知，x2-9≥0,9-x2≥0，x十3≠0， =[a+n8+a+(n-1)/B]La+n6-a-(n-1)B] 解得x=3, “y=9+Y9-2+29-g+9-9+2 =[2a+(2n-1)Wb]Wb=(2n-1)b+2a√6. x+3 3+3 (3)当a=1,b=3时， T=i十2+6十…十to=S2-S1+S-S2+S4- S…+S1-S0=S1-S,=(1十50W/3)°-1=7500+ √x+y·√x-y=√(x+y)(x-y)=√x-y 1003. 单元综合复习（一）二次根式 31 热门考点突破 1.D2.B3.A4.a5.5 18 一探究在线· 6.B7.A8.C9.C10.A11.-62 第2课时勾股定理的实际应用 12.(1)原式=5√3-3√6+4√6-6√3=(5-6)√3+ 基础在线 1.D2.C3.A4.2.45.2 (-3+4)√6=√6-√3. 6.在Rt△BCD中，由勾股定理，得 (2)原式=[(23)”-(3√2)2]÷√3=(12-18)÷ BC=√/CD-BD=√/102-62=8(m), √5=-6÷3=-2√3 ∴.AB=BC+AC=8+2.5=10.5(m). (3)原式=9-5-(3-2√5+1)=4-(4-2√3)= .电线杆的高度AB为10.5m. 4-4+2√3=2√3. 能力在线 (0原式-如√品× 6 7.A8.A9.B10.0.511.17 =-3a =-36. 12.由题意，得AD:CD=1:2.4=5:12,AD:BD= 13.D14.1920w6 1:1.6=5:8,AC=13m, 设AD=5x,则CD=12x, 15.(1)第n个等式是/1 2n-了=n一1(n是正整 n2 在Rt△ACD中，由勾股定理，得(5x)2+(12x)2= 132, 数).证明如下： 解得x1=1,x2=一1（舍去）. V1-2n-T /m-(2n-1) (n-1)产_n-1 .AD=5,CD=12. n n n ,AD:BD=5:8,.BD=8. (2)N 199 2×100-1 100-1 .BC=CD-BD=12-8=4(m). 10000 1002 100 故改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为4m. 99 100 13.(1)由题意，得∠ABD=90°，设AB=x,则AD= x+2, 核心素养提升 又BD=8,在Rt△ABD中，AB2+BD=AD, 16.C ∴.x2+82=(x十2)2，解得x=15. 第二十章勾股定理 答：旗杆AB的长为15m. 20.1勾股定理及其应用 (2)由(1)得AD=17m,延长BA至点 A 第1课时勾股定理 A',使AA'=4,连接A'D,则A'B=A'A 基础在线 +AB=4+15=19(m). 1.D2.A3.A4.5125.√34 在Rt△A'BD中，A'D=√AB+BD 6.(1)4√38(2)3√23√2 =√192+82=5√/17≈20.6(m), 7.(1):∠C=90°，a=40,b=9, 则绳子至少要加长20.6-17=3.6(m). ∴.c=√a+6=√402+92=41. 答：绳子至少要加长3.6m (2)a:b=8:15,∴.设a=8x(x>0),则b=15x. 拓展在线 ∠C=90°， 14.13 c=√a2+6=√(8x)2+(15x)=17x. 第3课时利用勾股定理作图 又c=34,∴.17x=34,解得x=2, 基础在线 .a=16,b=30. 1.A 8.(1)由勾股定理，得AB=√AC+BC=25, 2.(1)√/13 (2)如图，取OE=3,EF=1.点D即为所求作的点. (2)△ABC的面积为2 BCXAC=-150. (3)由三角形的面积公式，得 0 2 ABXCD=-150,则CD=2X150-12. 5-43-2-1012345 25 3.AD 4.A 9.B 5.(1)如图所示 能力在线 10.A11.7√212.±3 (2)S△ABc=2X4- ×21-×2 13.(1)14-x (2)由勾股定理，得AD2=AB2-BD=AC-CD, x2-2×4×1=8-1-2-2=8. 即152-x2=132-(14-x)2,解得x=9. 6.C7.< 14.(1).∠ABC=90°， 能力在线 .BC=√AC-AB=√132-12=5. 8.D9.-√510.-111.1212.3 BD=√JAD-AB=√/152-12=9， 13.连接BD, .CD=BD-BC=9-5=4. :△ADE是等腰直角三角形， AE=3, (2)AB的长为18. .AD=AE=3,∠E=∠ADE= 拓展在线 45°. 15.D 年级数学（下）一