19.1 二次根式及其性质-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

第十九章二次根式 19.1 二次根式及其性质 ©第1课时 二次根式的概念 D基础在线 、知识要点分类练 ②能力在线沙方法规律综合练… ●. 知识点1 二次根式的概念 8.下列各式中，一定是二次根式的是 () 1.下列各式中，一定是二次根式的是 A.√3-π B.√x+2 A.2 B.3 C.√x2+2 D.√-x C.√元 D.√一3 9.(中考·齐齐哈尔)若代数式x一十（一2025）° √x-3 知识点2二次根式有意义的条件 有意义，则实数x的取值范围是 2.（中考·北京)若√3x一3在实数范围内有意 义，则实数x的取值范围是 10.若实数x,y满足y=√x-1十√1一x十2，则 3.(新考向·结论开放)（中考·河南）请写出一 个使√5一x在实数范围内有意义的x的值： 男的值为 11.（荆州期中)摆钟是根据单摆定律制造的，其 4.(教材P3练习T2变式)当x满足什么条件 原理是用摆锤控制其他机件，使钟走得快慢 时，下列各式在实数范围内有意义？ 均匀.摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴 (1)√-x; (2)√2x+6; 答声，并将其所需要的时间记为一个周期T （单位：0，周期公式为=2x径其中1（单 位：m)表示摆锤的长，g=10m/s2.若某摆钟 (3)√x; 1 (4) 的摆锤长为0.4m,则在1分钟内该摆钟发 √4-3x 出滴答声的次数约为 (结果保留整数， 参考数据：π≈3). 知识点3二次根式的实际应用 ③拓展在线》培优拔尖提升练 5.某种正方形合金板材的成本m(元)与它的面 12.已知a满足|2024一a+√a-2025=a. 积心(m)有如下关系：m=2心.试用含m的 (1)由√a-2025有意义，可知a的取值范围 是 式子表示n(n>0),则n= (2)化简：2024-a= 6.(教材P3练习T1变式)若一个长方形的面积 (3)求a-20242的值. 为10cm,它的长与宽的比为5：1，则它的长 为 cm,宽为 cm. 知识点4求二次根式的值 7.(武汉期中)当x=一3时，二次根式√6一x的 值是 1探究在线八年级数学（下） ©第2课时 二次根式的性质 基础在线》 知识要点分类练。 知识点2 a2=a(a≥0) 4.下列运算中，正确的是 知识点1（Wa)2=a(a≥0) A.√W(-2)产=-2 B.√7产=-7 1.计算：(W5)2= C.-√52=-5 D.-√（-3)=3 2.(教材P5习题T4变式)利用a=(Wa)(a≥0)，把 5.若√(x一2)2=2-x,则x的取值范围是( ) 下列非负数分别写成一个非负数的平方的 A.x<2 B.x≤2 形式： C.x≥2 D.全体实数 (1)7= 6.已知二次根式√x的值为4，那么x的值是 (2)2.7= () (3)片 A.4 B.16 C.-4 D.4或-4 (4)x= (x≥0). 7.计算： 3.计算： (1)√(-3)2； (1)(√0.9)2； 2)--3, 2(-√)， (3)√6； (3)(53)2; (4)√(3-π). (4)-(-2√6)2. 易错点运用√a=a(a≥0)时，忽略a≥0 8.计算：W(1-√2)2= 第十九章2 2 能力在线沙方法规律综合练 16.已知实数m满足√(2-m)+√m-4= √m,求m的值. 9.下列等式：①品=名：②《-0=士4： ③√106=0.001；④(-√5)2=25.其中正确 的有 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ③拓展在线 、培优拔尖提升练 10.实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 √(a-4)2+√(a-11)的结果为( 17.阅读下面的解题过程。 05a10 例：若代数式√(a一1)2+√(a-3)的值是2， A.7 B.-7 求a的取值范围. C.2a-15 D.无法确定 解：原式=|a-1+|a-3|, 11.若√a=3,√b=2,且ab<0,则a-b= 当a<1时，原式=(1-a)+(3-a)=4-2a =2,解得a=1(舍去)； 12.比较大小：2√T 3√5. 当1≤a≤3时，原式=(a-1)+(3-a)=2, 13.(教材P5习题T9变式) 符合条件； (1)已知√12n是整数，则整数n的最小值为 当a>3时，原式=(a-1)十(a-3)=2a-4 =2,解得a=3(舍去). (2)已知√12一n是整数，则n的最小正整数 ∴.a的取值范围是l≤a≤3. 值是 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法， 14.如果一个三角形的三边长分别是2,3，m,则 请理解并解答下列问题： 化简√m2-10m+25-|2-2m-7的结果 (1)当2≤a≤5时，化简：√(a-2)2+√(a-5) 是 15.在实数范围内分解因式： (2)若等式√(3-a)2+√(a-7)=4成立， (1)a2-5; 则a的取值范围是 (3)若√(a+1)2+√(a-5)2=8,求a的值. (2)x2-2√7x+7. 3探究在线八年级数学（下）温警提示：清做完后再看答案！ 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 参考答案 基础在线 1.102.B3.D 第十九章二次根式 4.(1)原式=-2√3. (2原式=是。 19.1二次根式及其性质 5.A6.C7.9√2 第1课时二次根式的概念 基础在线 8.(1)原式=35. (2)原式-125.(3)原式= 9. 1.A2.x≥13.3（答案不唯一） 9.①②③ 10.-√/2-a 4.(1)x≤0.(2)x≥-3. 能力在线 (3)x为任意实数，（④x<号 11.C12.A 5.√2m6.5√2√27.3 13.x=-2+5=-2-5148 能力在线 15.(1)原式=0.6.(2)原式=-3b√2a, 8.C9.x>3且x≠202510.√211.50 (3)原式=10abc√2ac. 拓展在线 16.两个阴影部分的面积和为2（√12×√18）=2(2√3 12.(1)a≥2025(2)a-2024 ×3√2)=12√6(cm),则原来大正方形的面积为 (3),|2024-a+√a-2025=a, (30+12√6)cm2. .a-2024+√Ja-2025=a. 拓展在线 .√a-2025=2024..a-2025=20242. 17.2 .a-2024=2025. 18.(1)-5√6=-√25×6=-√150， 第2课时二次根式的性质 基础在线 -6√5=-√36X5=-√/180. 1.5 因为150<180，所以√150<√180， 2.(1)(√7)2(2)（√2.7）2 3() 所以-√150>-√/180， (4)(元) 即-5√6>-6√5. 3.(1)原式=0.9. (2)原式=号 (3)原式=75.(4)原式=-24. 4.C5.B6.D 36=√×2=15. 7.(1)原式=3. (2)原式=-3 1 因为14<15.5<17，所以√14<√15.5<√17， (3)原式=合 (4)原式=元一3. 即<名< 8.√2-1 第2课时 二次根式的除法 能力在线 基础在线 9.A10.A11.-712.< 1.B2.D3.C 13.(1)3(2)314.-3m 4.(1)原式=3. (2)原式=-5√2. 15.(1)原式=(a十√5)(a-√5). (3)原式- 2 (4)原式=2a. (2)原式=(x一√7)2. 16.由题意，得m-4≥0，解得m>≥4. .原等式可化为m-2+√m-4=m. C6B29 整理，得√m-4=2,解得m=8. (2)原式= 拓展在线 &a原武-治 17.(1)3(2)3≤a≤7 (3)原式= 2 （)原式号 (3)√(a+1)下+√(a-5)=8可化为|a+1|+ 9.√7 10.1(答案不唯一) |a-5|=8, 当a<-1时，a十1<0，a-5<0, 11.(1)原式= 2 (2)原式=号而. ∴.-(a十1)-(a-5)=8,∴.a=-2,符合题意； 当-1≤a≤5时，a+1≥0，a-5≤0， (4)原式=√3. (3)原式=4x√2y. ∴.(a十1)-(a-5)=8,无解，不符合题意； -27 ≠二27 当a>5时，a+1>0,a-5>0, 12.不正确.√-3 √-3 ∴a十1十a-5=8,∴a=6,符合题意. 综上所述，a=一2或6. ==3 正确的解答过程为√写-√厚 一探究在线· 能力在线 点A,点C所对应的数分别为一2√2，√2. 13.10000 1.3号 15.216.1.22517.①②③ (2)AB=√⑧=2√2，BC=√2，∴.AC=3√2， 由题意知，分原点O在点C的右边及点C的左边 18.(1)原式=√2.(2)原式=2y. 两种情况求解： (3原式=吕爪. ①当原点0在点C的右边，且C0=√50=5√2时， 拓展在线 点C所对应的数为一5√2，点B所对应的数为 -6√2，点A所对应的数为一8√2， .P=(-8w2)+(-62)+(-52)=-192. (2)第n(n≥1且n为整数)个等式为√n一n+1 n ②当原点O在点C的左边，且C0=√50=5√2时， 点C所对应的数为5√2，点B所对应的数为4√2， ”√m+:等式右边化简成最简二次根式为 点A所对应的数为2√2， R+ .P=5√2+4√2+2√2=11W2, 综上所述，P的值为-19√2或11√2. (3)73 第2课时二次根式的混合运算 19.3二次根式的加法与减法 基础在线 第1课时 二次根式的加减 基础在线 1.(1)42 (2)2+2(3)图 2 1.B2.A3.04.(1W5 (2)8,√/32 2.(1)原式=√3.(2)原式=3+√5.(3)原式=3. 5.D6.(1)0(2)3√57.(5√5+2√10) 3.B4.(1)7+4√3(2)3-2√2 8.(1)原式=6√m.(2)原式=3√2. 5.(1)原式=12-4√3+1=13-4√3. (3)原式=√2+5√3. (2)原式=5-4√5+4-(3-1)=5-4√5+4-2= 9.不能在这块木板上截出两个面积分别是12dm和 7-45. 27dm2的正方形木板.理由如下： 6.不正确.正确解答过程为 √2+√/27=23+33=5√3， 53=/75,8=64,.53>8. 亚÷(+2）-÷(2+) 故不能在这块木板上截出两个面积分别是12dm V厘÷11g5=25×,12=24 12 和27dm的正方形木板. 11311 能力在线 能力在线 10.B1.0412.213.55 7.D8.B9.C10.√10+311.6√5-512.2 13.(1)原式=6-2√6.(2)原式=7-√3. 14,原式=-号3-5+45-5≈4.62. 14.运用整体的思想，x十y=2√5，x一y=2,xy=4. (1)x2-2xy十y2=(x-y)2=4. 15.1)2+(-327)=-√写×27=25 (2)x2-y2=(x+y)(x-y)=4√5 -3=3. (2)淇淇的说法正确.理由如下： (3)￥+号=-2+2 y xy “+(-2√)+(-})+6 (x-2+2=3. xy 拓展在线 =厘-2厚-g@+6 15.(1)2+1 (2)原式 2-1 √3-√2 L(w2+1)(2-1)(W3+√2)(W3-√2) =2√3-√6-√3+√6 十…十 /50-√49 ×(√50+1) =3, (50+√49)（√50-√49）J x的值为3. √48=43， (+++®-×v面+1 ∴x的值能与√48合并. =(W2-1+√3-√2+…+√50-√49)×（√50+1） 淇淇的说法正确。 =(√50-1)×（√50+1）=50-1=49. 拓展在线 1 (3). n+I+√m 16.(1)由题意知，若以B为原点，则点A所对应的数为0 √n十I-√n(√n+I-√m)(√n+I+n) 一√⑧=-2√2，点C所对应的数为0+√2=√2， =√n十I+√n. 年级数学（下）一 17