新课标·新情境·新题型-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

©新课标·新 堡型①条件或结论开放 1.（中考·德阳)△ABC在平面直角坐标系中， 已知A(1,0),B(3,0),如果△ABC的面积为 1,那么点C的坐标可以是 .(只需写出一个即可) 2.(中考·广东)如图，CD是Rt△ABC斜边AB 上的中线，过点A,C分别作AE∥DC,CE∥ AB,AE与CE相交于点E.现有以下命题： 命题1：若连接BE交CA于点F,则S△cs= 2SACEF 命题2：若连接ED,则ED⊥AC; 命题3：若连接ED,则ED=BC. 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例. 113探究在线八年级数学（下）·灯 清境·新题型 堡型②跨学科 3.检测游泳池的水质，要求三次检验的PH的平 均值不小于7.2，且不大于7.8.已知第一次 PH检测值为7.4，第二次PH检测值在7.0 至7.9之间（包含7.0和7.9），若该游泳池检测 合格，则第三次PH检测值x的范围是() A.7.2≤x≤8.1 B.7.1≤x≤8.0 C.7.2≤x≤8.0 D.7.1≤x≤8.1 类型3情境题 4.(中考·苏州)随着人工智能的快速发展，初中 生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现 出多样化趋势.某研究性学习小组采用简单随 机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用 AI大模型辅助学习的时间（用x表示，单位： min)进行了抽样调查，把所得的数据分组整 理，并绘制成频数分布直方图. 抽取的学生一周使用AI大模型 辅助学习时间频率分布表 组别 时间x(min) 频率 A 20≤x<40 0.16 B 40≤x<60 0.24 C 60≤x<80 0.30 D 80≤≤x<100 0.20 E 100≤x≤120 0.10 合计 1 抽取的学生一周使用A大模型 辅助学习时间频数分布直方图 频数 15 15 12 10 5 0 20406080100120时间/min 根据提供的信息回答问题： (1)请把频数分布直方图补充完整（画图后标 注相应数据)； (2)调查所得数据的中位数落在 组（填组别）； (3)该校九年级共有750名学生，根据抽样调 查结果，估计该校九年级学生一周使用AI大模 型辅助学习的时间不少于60min的学生人数， 类型④回归教材 5.(教材P14例5原题)（株洲期中）如图，在平行 四边形ABCD的边AB,DC上分别取点E, F,使得3AE=AB,3CF=CD,连接AF,CE. 求证：四边形AECF是平行四边形. 类型生活文化 6.(中考·齐齐哈尔)社会规则营造良好的社会 秩序，我们要了解并遵守社会规则.下列标志 是中心对称图形的是 B 类型⑥新定义 7.(长沙阶段练习)在平面直角坐标系xOy中， 对于点P(x,y),定义一种变换T:将点P(x, y)变换为P。（xo,yo),其变换规则为 =ax十6'其中a,b为常数.我们则称 yo=bx-ay, P(xyo)是P(x,y)的“T变点” (1)已知点(8，-1)是点(1,2)的“T变点”. ①求6b一a的算术平方根； ②已知点A(m,2m一1)经过变换T后得到点 B,再将点B先向左平移1个单位长度，再向 上平移5个单位长度得到点C,若点C落在坐 标轴上，求点A的坐标； (2)约定：如果一个点的纵坐标比横坐标的 2倍还多4，我们就称这个点为“美点”，已知点 (1,k)是点(1,1)的“T变点”，若点M(a,b)就 是一个“美点”，且M(a,b)是N的“T变点”， 求点N的坐标. 新课标·新情境·新题型114 类型⑦项目式学习 8.(中考·云南)请你根据下列素材，完成有关任务 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参 加体育锻炼，增强身体素质 购买2个篮球与购买3个排球需要的费 素材一 用相等； 素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元； 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球 素材三 和排球均需购买，且购买排球的个数不超 过购买篮球个数的2倍. 请完成下列任务： 任务一 每个篮球、每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案。 类型⑧综合与实践 9.（中考·连云港节选)综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边 AB,BC上分别取点E,F,且AE=BF,AF交 DE于点O.连接AC,过点F作FG⊥AC,垂 足为点G,连接GD,GE,DE交AC于点P, GE交AF于点Q. 【活动猜想】(1)GD与GE的数量关系是 ,位置关系是 115探究在线八年级数学（下）· 【探索发现】(2)证明(1)中的结论； 【实践应用】(3)若AD=3,AE=1,求QF的长 G10.A11.B12.C13.C14.A (2)AH+FH=CF.证明如下： 15.(1)证明：CM∥BN,.∠DBN=∠DCM. DF⊥CE,DG⊥DF,AG⊥DG, 点D是边BC的中点，，BD=CD .四边形DGHF是矩形. ,∠BDN=∠CDM,'.△BDN≌△CDM(ASA) 同(1)理可得△ADG≌△CDF, .DN=DM.∴.四边形BMCN是平行四边形 ..CF=AG,DF=DG. (2)当△ABC满足AB=AC时，四边形BMCN是菱形 .四边形DGHF是正方形..FH=GH. 理由如下： ∴.AH+FH=AH+GH=AG=CF 由(1)可知，四边形BMCN是平行四边形， (3)∠BHD的大小不发生变化.理由如下： AB=AC,点D是边BC的中点， 过点B作BP⊥CE于点P,在HC上截取PQ=PC,连接 ∴.AD⊥BC.∴.MN⊥BC BQ,如图③，∴∠BPC=∠BPQ=90°，BC=BQ. .平行四边形BMCN是菱形 由(2)得△ADG≌△CDF, 16.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .AD=CD.∴.矩形ABCD是正方形. ∴.AC⊥BD.∴.∠BOE=90° 又四边形DGHF是正方形， FH⊥AC,∴∠EHF=90°=∠BOE. .BC=CD=BQ=AB,∠BCD=90°，∠FHD=∠GHD .∠BEO+∠OBE=90° 易证△BPC≌△CFD..CP=DF=FH=PQ. 由旋转，得BE=EF,∠BEF=90°， 又，CF=FH十AH, ∴.∠BEO+∠FEH=90°..∠OBE=∠FEH. .HQ=CH-CQ=CH-2FH=CF-FH=AH. ∴.△OBE≌△HEF(AAS). 又AB=BQ,BH=BH,.△ABH≌△QBH(SSS) (2).△OBE≌△HEF,.OE=FH=1. ∴.∠AHB=∠BHQ 四边形ABCD是正方形， 又，∠FHD=∠GHD, ∴.∠BCD=90°，∠ACD=号∠BCD=45. ∴.∠BHD=∠BHQ+∠FHD=90 :∠FHE=90°，∴∠HFC=45°. ∴∠HFC=∠FCH..CH=FH=1. .CF=√FH+CH=√2. 17.(1)证明：四边形ABCD是菱形， 图③ ∴ACLBD,A0=0C=AC∴∠D0C=90 期末重难点提升2图形与坐标 1.B2.B3.A4.(7,0)5.(6,-3)6.C7.D8.C DE/AC.DE-AC.DE-OC.DE/C. 9.(1)如图，△A1B1C1为所作，A1(一5,3) (2)如图，△A2B2C2为所求，C2(1,2). ∴.四边形OCED为平行四边形. 又：∠DOC=90°，.平行四边形OCED为矩形. (2):四边形OCED为矩形，DE=4, .CO=DE=4,∠COD=90° ,四边形ABCD是菱形， 56x .CD=AB=5,BD=2DO,AC=2CO=2DE=8. 在Rt△CD0中，DO=√CD2-CO=3, .BD=2DO=6. ∴菱形ABCD的面积为号ACX BD=-号×8X6=24, 期末重难点提升3一次函数 18.(1)证明：：四边形ABCD是矩形， 1.x≠72.C3.C4.B5.A6.B .∠ADC=90. 7.y=x十1（答案不唯一） 又，DF⊥CE,DG⊥DF,AG⊥DG, 8.(1D直线CD的表达式为y=-是x+3。 ∴.∠GDF=∠G=∠DFC=90° (2)点A,D关于y轴对称，.A(-4,0). .∠ADC=∠GDF.∴.∠GDA=∠FDC. OB=3OC,.OB=3×3=9.∴.点B(0,9). 又.AG=CF,∠G=∠DFC, ∴.△ADG≌△CDF(AAS)..AD=CD. “直线AB的表达式为y=?z十9， 探究在线·八 3 y=- 4x+3, x=-2, 箱线图如图所示， 联立 解得 身高/cm 9 x+9, 172 点E的坐标为(-2，号)： 1 16 .S四边形A0CE=S△AB0一S△BCE= ×4x9-是×9-3》× 2 八(1)班八(2)班 2=18-6=12. 基于四分位数或箱线图，可以发现八(1)班身高的中位数 9.A 与八(2)班的相差不大，但八(1)班身高的分散程度明显比 10.(1)y与x的函数关系式为y=50-x. 八(2)班的要小。 (2)w=(63-55)x+(42-36)(50-x)=2x+300, 综上可知，八(1)班选取的礼仪队队员的身高比八(2)班要 .地关于x的函数关系式为w=2x十300. 整齐. (3)根据题意，得55x十36(50-x)≤2000， 9.C10.C 解得<10吕。 11.(1)120.08 补全频数分布直方图如图所示. x为正整数，1≤x≤10. +频数 2>0,w随x的增大而增大. 20 16 6 ∴.当x=10时，w值最大，最大=2×10+300=320,50 12 10… 10=40(箱). 8上6 答：购进果汁饮料10箱、碳酸饮料40箱才能获利最多， 051015202530月均用水量h 最大利润是320元. (2)该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数 11.(1)903960 的百分比为0.12十0.24+0.32=0.68=68%， (2)由图象可知，C点的纵坐标为3960一60×50=960， (3)该小区月均用水量超过20t的家庭大约有1000× ∴C(50,960). (0.08+0.04)=120(户). 当18≤t≤50时，设y=kt+b,把B(18,0),C(50,960)代 新课标·新情境·新题型 入，得 1.(2,1)(答案不唯一) 118k+b=0, (k=30, 解得 2.(任选2个命题证明即可)命题1是真 50k+b=960, 6=-540. 命题.证明如下： .y=30t-540. 连接DE,交AC于点O,如图所示 (3)当18≤1≤50时，令30t-540=450,解得=33； :CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， 当t>50时，60t=3960-450,解得t=58.5. 综上：当甲出发33min或58.5min时，两人之间的路程 .CD-DA-DB-ZAB. 为450m. AE∥DC,CE∥AB, 期末重难点提升4数据分析 .四边形ADCE是平行四边形 1.B2.B3.15 DA=DC,.四边形ADCE是菱形 4.(1)7.5822% ∴.AC⊥DE,且OA=OC,OE=OD. (2)八年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，因为 点D为AB的中点， 八年级的学生成绩的中位数和众数都高于七年级.（合理 ∴D0是△ABC的中位线，则OD=2BC 即可) 5.A6.B7.36 -CF.BC,SAcEr-CF.OE, ∴SACFB= 1 8.四分位数如下表： 则SACFB=2 SACEF· 最小值、四分位数和最大值 命题2是真命题.证明如下： 班级 最小值 m25 mso mis 最大值 由命题1的证明已证四边形ADCE是菱形， 八(1)班 166 167 168 170 171 .ED⊥AC 八(2)班 164 165.5 169 170 171 命题3是真命题.证明如下： 由命题1已证四边形ADCE是平行四边形， 年级数学（下）·灯 25 ..CE-AD 任务二：设购买篮球a个，则购买排球(60一a)个，总的费 .'AD=DB,..CE=DB. 用为心元，根据题意，得 CE∥AB,.四边形BCED是平行四边形. 60-a≤2a, .20≤a<60且a为整数 .'ED=BC. a<60, 3.A .w=150a+100(60-a)=50a+6000. 41)抽取的学生人数为品-50， 50>0,.随a的增大而增大， ∴.当a=20时，w有最小值，为7000元，此时60一a=40. D组人数：50-8-12-15-5=10（人）.补图如图所示. 答：购买篮球20个，排球40个时，最节省费用. 抽取的学生一周使用A大模型 辅助学习时间频数分布直方图 9.(1)相等垂直 15数 15 (2)证明：过点G作GM⊥BC于点M,过 12 10f 10 点G作NT⊥GM分别交AB,CD于点 8 T,N. :四边形ABCD是正方形， 020406080100120时间/min .∠ACB=45°，∠B=∠BCD=90°. (2)C ∴.∠TGM=∠B=∠GMB=∠GMC=∠BCD=∠NGM (3)0.3+0.2+0.1=0.6,750×0.6=450(人). =90° 答：该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间 .四边形TBMG为矩形，四边形GMCN为正方形 不少于60min的学生人数约为450人. .GN=GM=MC=CN=BT,∠CNT=∠BTG=90°，BM 5.:四边形ABCD是平行四边形， =GT.∴.∠DNG=∠GTE=90° .AB∥CD,AB=CD. .DC-CN=BC-CM,DN=BM=GT. AE-AB.CF-CD,AE-CF. FG⊥AC,∠ACB=45°， 又：AE∥CF, .∠ACB=∠CFG=45°..CG=GF. .四边形AECF是平行四边形 .CM=MF...GN=GM=MC=CN=BT=MF 6.D .'AE=BF,.'.AB-AE-BT=BC-BF-MF. 7.(1)点(8，-1)是点(1,2)的“T变点”， .ET=NG..Rt△DNG≌Rt△GTE. 18=a+2b, .DG=GE,∠NDG=∠EGT. 解得a=2,b=3. (-1=b-2a, 又.'∠NDG+∠NGD=90°， ①6b-a=6×3-2=16, .∠EGT+∠NGD=90°. .6b-a的算术平方根为4. .∠DGE=90°..DG⊥GE ②xB=2m+3(2m-1)=8m-3,y=3m-2(2m-1)= (3)在△DAE和△ABF中，.'AD=AB,∠DAE=∠ABF 2-m, =90°，AE=BF, .B(8m-3,2-m)..C(8m-4,7-m). .△DAE≌△ABF(SAS). :点C在坐标轴上，.8m-4=0或7-m=0. ∠ADE=∠BAF,AF=DE. m=号或7，A(合0）或，13 .∠ADE+∠DEA=∠BAF+∠DEA=9O. .∠AOE=90°..AF I DE. (2):点(1，)是点(1,1)的“T变点”，∴.a十b=1. 在Rt△DAE中，AD=3,AE=1, :点M(a,b)就是一个“美点”， ∴.b=2a+4..a=-1,b=2. .DE=√AE+AD=√+3=√10， 设N(x,y),:M(a,b)是N的“T变点”， 由等面积法，得宁A0·DE=合AE·AD, 1-1=-x+2y, 解得x=1,y=0. (2=2x十y, 即A0XV0-1X3,A0=3Y@ 10 .N(1,0). 在Rt△OAE中， 8.任务一：设每个篮球x元，每个排球y元，根据题意，得 12x=3y, /x=150, 10 解得 (2x+5y=800, y=100. 由(2)可知，DG=GE,DG⊥GE, 答：每个篮球150元，每个排球100元. ∴.∠GED=45°.∴.△EOQ为等腰直角三角形. 26 探究在线·八年 ∴Q0=OE=10 1 101 AB·DEAB6=3 1 -BC·DF BC-8=4 .QF-AF-AO-OQ=V10-31010_3/10 10 10 5 第1章学情评估 品器-子 1.A2.B3.B4.A5.A6.C7.A8.A9.C 25.(1)证明：连接AC,交BD于点O, 10.C 四边形ABCD是菱形， 11.612.BC=CD(答案不唯一)13.214.40°15.3 ..AO=CO,BO=DO,ACBD. 16.65°17.1018.13 .BE=DF,.'.BE+OB-DF+DO. 19.设这个正多边形的边数是n, ∴.FO=EO.∴.EF与AC垂直且互相平分. 则(n-2)·180°+360°=900°，解得n=5. 四边形AECF是菱形.∠AEF=∠CEF. .这个正多边形的边数是5. 又：∠AED=45°，∴.∠AEC=90°. 20..CE⊥BD,.∠CEB=90°. 菱形AECF是正方形. 四边形ABCD是平行四边形， (2):四边形AECF是正方形，BD=4,BE=3, ∴.∠BCD=∠A=65°. ∴.OD=2,FD=3..EF=10. .DB=DC,∴.∠DBC=∠BCD=65°. ∴.AC=10..OC=5. .∠BCE=90°-∠DBC=90°-65°=25°. ∴.CD=√OD+0C=√22+5=√29， 21..a2+b2+c2+d2=2ac+2bd, ∴菱形ABCD的周长为4CD=4√29. ∴.a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=0. 26.(1)①180°-2a ∴.(a-c)2+(b-d)2=0. @证明：由折叠的性质，得∠BAE=∠BAE,BE=BE, :.a-c=0,b-d=0.:.a=c,6=d. AB=AB', 此四边形为平行四边形 :四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥BE 22.(1)点D位置如图①所示（答案不唯一）. ∴∠BAE=∠AEB.∴.∠BAE=∠AEB. (2)点E位置如图②所示（答案不唯一）. ..AB=BE..'.AB=BE=AB'=B'E. .四边形ABEB为菱形， (2)如图，延长AB交CD于点H, 由折叠的性质，得∠BAE=∠BAE 图① 图② AB=AB', 23.(1).四边形ABCD是矩形， ∠BAE=45°， ∴∠ABC=∠DCB=∠CDA=∠BAD=90°，AB=DC. .∠BAB'=∠BAE+∠B'AE=90°. ∠ABE=∠DCF=90°. △ABB是等腰直角三角形.∠AB'B=45°. (AB=DC, :四边形ABCD是平行四边形， 在△ABE和△DCF中，∠ABE=∠DCF, ∴AB∥CD,AB=AB'=CD=10. BE=CF, ∴∠BAB=∠AHD=90°，∠B'GH=∠ABB=45, '.△ABE≌△DCF(SAS) ∴△BHG是等腰直角三角形.∴BH=HG (2)'△ABE≌△DCF,.∠BAE=∠CDF 又∠CDA=∠BAD=90°， SDABCD=AB.AH=120,.AH=12. ∴.BH=AH-AB'=12-10=2.∴.HG=2. ∠BAE+∠BAD=∠CDF+∠CDA. .∠EAD=∠FDA. ∴.在Rt△BHG中，B'G=√BH+HG=√22+22= 24.(1)证明：DE⊥AB于点E,DF⊥BC, 2W2. ∠BED=∠BFD=90. 第2章学情评估 :∠ABC=90°， 1.D2.C3.A4.D5.D6.A7.B8.A9.C ∴四边形BEDF是矩形 10.B (2)如图，连接BD, 11.712.(-3,-1)13.(a,-b)14.四15.500 ,四边形BEDF是正方形， 16.(-1,3)17.√518.(46,0) ∴.DE=DF 19.如图所示，这个图形像大写字母“A” 级数学（下）·X灯