期末重难点提升1 四边形&期末重难点提升2 图形与坐标-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

期末 ©期末重难点： 重难点1多边形的内角和与外角和 1.（永州二模)一个五边形的四个内角和为500°， 则它的另一个内角的度数为 () A.40° B.60° C.80 D.90° 2.(衡阳期末)已知一个多边形的内角和比外角 和的3倍还多180° (1)求这个多边形的边数； (2)若这个多边形是正多边形，则该正多边形 一个内角的度数是多少？ 重难点2平行四边形的性质与判定 3.如图，直线m∥n,四边形ABCD为平行四边 形，顶点B恰好落在直线n上，∠A=49°.若 ∠1=18°，则∠2等于 () A.18° B.30° C.31° D.32 D 2 B 第3题图 第4题图 4.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O, 且AB=10,△OCD的周长为23，则平行四边 形ABCD的两条对角线的和是 () A.13 B.26 C.36 D.46 5.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,下列给出的条件中，不能判断四边形 ABCD是平行四边形的是 A.AB=CD,AD=BC B.AD=BC,AD∥BC C.DO=BO,AO=CO D.AB∥CD,AD=BC 105探究在线八年级数学（下）·灯 复习 提升1四边形 6.(益阳期末)如图，在四边形ABCD中，点P在 边AB上，连接CP,交BD于点Q,AD=CP, ∠BQC+∠ADB=180°. (1)求证：四边形ADCP为平行四边形； (2)连接AC,若AB⊥BC,CD=5,BP=3,BC =6,求AC的长. 重难点3中心对称和中心对称图形 7.（中考·济南)下列图形中，既是轴对称图形又 是中心对称图形的是 等边三角形正方形 平行四边形 正五边形 A B C D 8.下列各图中，四边形ABCD是正方形，其中阴 影部分两个三角形成中心对称的是 () 重难点4三角形的中位线 9.(长沙三模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC= 90°，BD为边AC的中线，E为BD上一点，连 接AE,CE,点F为CE的中点，且DE平分 ∠ADF. (1)求证：AE=AD; (2)若DF=2,求BD的长. 重难点5特殊平行四边形的性质与判定 10.(中考·泸州)矩形具有而菱形不具有的性质 是 () A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直D.对角相等 11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB≠ CB,以点A为圆心，BC长为半径作弧，以 点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于 点D,则四边形ABCD为 () A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 A 第11题图 第13题图 12.(湘潭期末)已知菱形ABCD的周长是8， ∠A=60°，则最短对角线的长度为() A.1 B.3 C.2 D.23 13.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,∠ACB=30°，AC+BD=8,则AB的长 为 () A.2√5 B.2√3 C.2 D.3 14.(湘西期中)我国古代数学家刘徽将勾股形 (古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正 方形和两对全等的三角形.如图所示，已知 ∠A=90°，正方形ADOF的边长是2，CF= 4,则BD的长为 A.6 B.42 C.8 D.10 15.如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点 M,N分别在AD及其延长线上，CM∥BN, 连接BM,CN. (1)求证：四边形BMCN是平行四边形； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形BMCN 是菱形？判断并说明理由 16.如图，在正方形ABCD中，AB=2,对角线 AC与BD相交于点O,点E在线段AO上 (与端点不重合)，线段EB绕点E逆时针旋 转90°到EF的位置，点F恰好落在线段CD 上，FH⊥AC,垂足为点H. (1)求证：△OBE≌△HEF; (2)若OE=1,求CF的值. 期末复习106 17.(长沙二模)如图，菱形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,过点D作DE∥AC,且DE =AC,连接CE. (I)求证：四边形OCED为矩形； (2)若DE=4,AB=5,求菱形ABCD的面积. 18.(永州期中)【问题情境】 如图①，在矩形ABCD中，E是边AB上一 点，过点D作DF⊥CE,过点D作DG⊥DF, 过点A作AG⊥DG,且AG=CF. 107探究在线八年级数学（下）·灯 【基础探究】(1)如图①，求证：AD=CD: 【深入探究】(2)如图②，当点E在BA的延长 线上时，其他条件不变，请写出AH,FH,CF 之间的数量关系，并证明； 【拓展迁移】(3)如图③，在(2)的条件下，连接 BH,HD,当点E在BA的延长线上的位置 发生改变时，判断∠BHD的大小是否发生变 化，请说明理由 H 图① 图② 图③ ©期末重难点提； 重难点1平面直角坐标系内点的坐标 1.(衡阳阶段练习)在平面直角坐标系中，点M (3,◆)在第四象限，则◆可能是 A.0 B.-8C.5 D.4 2.(永州期末)坐标思想是法国数学家笛卡尔创 立的，在平面直角坐标系中，A点的坐标为 （一2,4)，下列结论正确的是 () A.到x轴的距离为2B.到y轴的距离为2 C.A点在第三象限D.A点在第四象限 3.(株洲期未)如图，在平面直角坐标系中，平行 四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标分别是 A(0,0),B(3,0),D(2,4),则顶点C的坐标是 ( A.(5,4) B.(5,2) R C.(2,7) O(A) D.(2,6) 4.(中考·甘南)若点P(3m+1,2-m)在x轴 上，则点P的坐标是 重难点2利用平面直角坐标系或方位刻画物 体间的位置 5.(长沙期末)长征精神永远是中国人民锐意进 取、不断进步的精神力量.在学习第2章时，爱 动脑筋的自强同学绘制了如图所示的红军长 征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为 (2,2),表示吴起镇会师的点的坐标为(3,3)， 则表示瑞金位置的点的坐标为 吴起镇会师 会守会师S 过草地 爬雪山 四渡赤水 字道义会议影 瑞金 湘江战役 6.如图，甲、乙二人同时从A地出发，甲沿北偏 东50°方向行走200m后到达B地，然后立即 向正东方向行走200m,二人恰好在C地相 升2图形与坐标 遇，若乙中途未改变方向，则乙的行走方向为 () A.北偏东30° F北 B.北偏东40° C.北偏东70 东 D.无法确定 重难点3轴对称和平移的坐标表示 7.（株洲期末)对于点A(3,4)与点B(一3,4)，下 列说法错误的是 () A.将点A向左平移6个单位长度可以得到点B B.线段AB的长度为6 C.点A与点B关于y轴对称 D.点A与点B关于x轴对称 8.(长沙阶段练习)已知点M(a,b)与将它向下平 移5个单位长度后的像关于x轴对称，则b的 值为 () A-5B号C8 D.5 9.(郴州期末)如图，△ABC的顶点坐标分别为 是A(-5,-3),B(-4,-6),C(-3,-1). (1)作△ABC关于x轴的轴对称图形 △A1B1C1,并写出像点A1的坐标； (2)将△ABC向右平移4个单位长度，再向上 平移3个单位长度，作出平移后的像△A2B2C2, 并写出点C2的坐标. y 6 5 4 -7-6-5-4-3-2-10 123456x 期末复习108答：花店在这10天中出现该种花作废处理情形的为4天. 频数 16 (2)①当n=14时，y=10n-80=10×14-80=60, 答：当n=14时，该花店这天的利润为60元. 4 ②当n<16时，70=10n一80，解得n=15. 60708090100分数 当m=15时，有2天，心0=方 21 (3),80≤x<90小组的频率为0.4， ,∴.80≤x<90分数段对应扇形的圆心角的度数为360°× 答：该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率 0.4=144°. 为员 4.6总体的平均数与方差的估计 拓展在线 基础在线 14.(1)1-28%-38%=34%, 1.B2.2.4 ∴该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比为 3.(1)这100名学生平均每人植树的棵数为0×(4×30+ 34% 5×22+6×25+8×15+10×8)=5.8(棵) (2).144÷0.06=2400, (2)由样本平均数估计总体平均数，该校1000名学生平 .a=2400×0.25=600,b=840÷2400=0.35. 均每人植树5.8棵，共植树约5.8×1000=5800（棵）. (3)全校学生总人数为204÷34%=600， 4.A .该校学生平均每人读课外书2400÷600=4（本）. 5.(1)x甲=(5.1+5.0+4.5+4.9+5.1+5.3+5.2+4.9+ 4.5.2频数直方图 5.1+4.9)÷10=5(kg). 基础在线 编=0×[(5.1-5)2+(5.0-5)2+(4.5-52+(4.9-5)2 1.B2B30 4.A5.A6.36 +(5.1-5)2+(5.3-5)2+(5.2-5)2+(4.9-5)2+(5.1 7.(1)1412 -5)2+(4.9-5)2]=0.044. (2)频数 xz=(5.5+4.8+5.0+5.2+4.9+5.2+4.5+4.8+5.1 16 +5.0)÷10=5(kg) 元=0×[(5.5-5)2+(4.8-52+(5.0-52+(5.2-5)2 60708090100成绩x/分 +(4.9-5)2+(5.2-5)2+(4.5-5)2+(4.8-5)2+(5.1 能力在线 -5)2+(5.0-5)2]=0.068 8.B9.D (2)因为采用甲、乙种植技术种植的西瓜质量的平均数相 10.(1)频数分布表、频数分布直方图如图所示. 同，<吃， 频数分布表 所以采用甲种植技术种植的西瓜质量更稳定，所以推广甲 种植技术较好 80<x 85<x 90<x 95<x 成绩分组 能力在线 ≤85 ≤90 ≤95 ≤100 6.B 画记 正 正 正T 7.(1)1661665 频数 4 6 7 3 (2)由于A区域种植亩产量的方差小于B区域，产量较为 频数分布直方图 稳定，所以小文只从平均数分析是片面的 频数 拓展在线 8.(1)由折线统计图知，甲的数据从小到大排列为40,40， 45,46,54;乙的数据从小到大排列为38,42,43,48,49， 80859095100成绩分 所以甲样本的中位数为45，平均数为45； 乙样本的中位数为43，平均数为44. (2)①90.5 (2)甲樱桃园樱桃的产量为200×99%×45=8910(kg). ②成绩在90<x≤95的人数最多（答案不唯一） 乙樱桃园樱桃的产量为200×99%×44=8712(kg). 拓展在线 11.(1)120.4 (3)甲样本的方差为行×[(40-45)2+(45-45)2+ (2)补全频数分布直方图如图. (5445)2+(46-45)2+(40-45)2]=26.4, 24 探究在线·八年 乙样本的方差为号×[(43-4)2+(38-44)2+ 2.设每鱼的总数为x,根据题意，得2-品，解得x=40, (49-44)2+(42-44)2+(48-44)2]=16.4, 答：估算池塘中鲫鱼的总数为400只. 因为16.4<26.4， 3.(1)根据题意，得60=12 x m 所以乙樱桃园的樱桃产量比较稳定. 4.7统计的简单应用 (2当=240时，代人2-是得a=4 基础在线 (3)可能原因：白鹭迁徙导致种群变动；标记的白鹭聚集或 1.D2.B3.D4.C5.B 躲避人类；抽样时未随机捕捉.（答案不唯一） 能力在线 6.C 41)根揭题意，得1290-品，解得=150。 答：估算夏季末松鼠总数为1500只. 7.(1)31% (2)y=11.84x-23859.66. (2)差错率为1500,1200×100%=25%. 1200 其中k的实际意义为2018一2024年我国发明专利申请授 (3)注意事项：需确保标记期间无出生/死亡/迁移，若种群 权数年均增长约11.84万个. 变动剧烈，估算结果不可靠 当x=2025时，y=11.84×2025-23859.66=116.34≈ 5.(1根据题意，得20-0解得=750。 116.3(万个)， 答：估算鲫鱼总数为750只 预测我国2025年发明专利申请授权数为116.3万个. (2)不可靠的原因：重捕样本含50条外来鲤鱼，导致分母 拓展在线 扩大，从而鲫鱼总数的估算值不可靠. 8.(1)174.5169 期末重难点提升1四边形 (2)估计臂展大于或等于170cm的男生人数为240× 1.A =108(人). 2.(1)设这个多边形的边数是n, (3)当x=185时，y=1.2×185-40=182, 由题意，得(n-2)×180°=360°×3+180°，解得n=9. ∴.身高为185cm男生的臂展长度约为182cm. 答：这个多边形的边数是9. 单元综合复习（四）数据分析 (2)正九边形的每一个内角的度数为9-2)×180= 9 热门考点突破 140°. 1.87 3.C4.B5.D 2.(1)7.578 6.(1)证明：：∠BQC=∠PQD,∠BQC+∠ADB=180°， (2)小丽的成绩较好.理由如下： ∴.∠PQD+∠ADB=180°.∴.AD∥CP. 从平均数来看，两人的平均成绩相同，从中位数和众数来 又，AD=CP,.四边形ADCP为平行四边形， 看，小丽的中位数和众数均大于小红的中位数和众数，故 (2):四边形ADCP为平行四边形，∴.CD=AP. 小丽的成绩较好 CD=5,BP=3,..AP=5,AB=8. 3.1024.B5.46.甲地 又AB⊥BC,BC=6, 7.3.1953.9154.44 ∴.在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC=10. 8.409.12010.D11.甲12.10813.B 7.B8.A 核心素养提升 9.(1)证明：：BD为边AC的中线，点D为AC的中点. 14.(1)5083.5144° ,点F为CE的中点， (2)补全频数分布直方图如图所示， .DF是△CAE的中位线。 模具设计成绩的频数 分布直方图 ∴DF∥AE.∠FDE=∠AED. 人数（频数） DE平分∠ADF,∴.∠ADE=∠FDE 5050 15 ∠ADE=∠AED.AE=AD. (2)由(1)知，FD是△CAE的中位线， AB C D 成绩/分 ..AE=2DF=4...AD=AE=4. (3)720 :点D是AC的中点，△ABC是直角三角形， 综合与实践估计池塘中鱼的数量 1.②③①④ ∴BD=合ACBD=AD=4. 级数学（下）·X灯 10.A11.B12.C13.C14.A (2)AH+FH=CF.证明如下： 15.(1)证明：CM∥BN,.∠DBN=∠DCM. DF⊥CE,DG⊥DF,AG⊥DG, 点D是边BC的中点，，BD=CD .四边形DGHF是矩形. ,∠BDN=∠CDM,'.△BDN≌△CDM(ASA) 同(1)理可得△ADG≌△CDF, .DN=DM.∴.四边形BMCN是平行四边形 ..CF=AG,DF=DG. (2)当△ABC满足AB=AC时，四边形BMCN是菱形 .四边形DGHF是正方形..FH=GH. 理由如下： ∴.AH+FH=AH+GH=AG=CF 由(1)可知，四边形BMCN是平行四边形， (3)∠BHD的大小不发生变化.理由如下： AB=AC,点D是边BC的中点， 过点B作BP⊥CE于点P,在HC上截取PQ=PC,连接 ∴.AD⊥BC.∴.MN⊥BC BQ,如图③，∴∠BPC=∠BPQ=90°，BC=BQ. .平行四边形BMCN是菱形 由(2)得△ADG≌△CDF, 16.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .AD=CD.∴.矩形ABCD是正方形. ∴.AC⊥BD.∴.∠BOE=90° 又四边形DGHF是正方形， FH⊥AC,∴∠EHF=90°=∠BOE. .BC=CD=BQ=AB,∠BCD=90°，∠FHD=∠GHD .∠BEO+∠OBE=90° 易证△BPC≌△CFD..CP=DF=FH=PQ. 由旋转，得BE=EF,∠BEF=90°， 又，CF=FH十AH, ∴.∠BEO+∠FEH=90°..∠OBE=∠FEH. .HQ=CH-CQ=CH-2FH=CF-FH=AH. ∴.△OBE≌△HEF(AAS). 又AB=BQ,BH=BH,.△ABH≌△QBH(SSS) (2).△OBE≌△HEF,.OE=FH=1. ∴.∠AHB=∠BHQ 四边形ABCD是正方形， 又，∠FHD=∠GHD, ∴.∠BCD=90°，∠ACD=号∠BCD=45. ∴.∠BHD=∠BHQ+∠FHD=90 :∠FHE=90°，∴∠HFC=45°. ∴∠HFC=∠FCH..CH=FH=1. .CF=√FH+CH=√2. 17.(1)证明：四边形ABCD是菱形， 图③ ∴ACLBD,A0=0C=AC∴∠D0C=90 期末重难点提升2图形与坐标 1.B2.B3.A4.(7,0)5.(6,-3)6.C7.D8.C DE/AC.DE-AC.DE-OC.DE/C. 9.(1)如图，△A1B1C1为所作，A1(一5,3) (2)如图，△A2B2C2为所求，C2(1,2). ∴.四边形OCED为平行四边形. 又：∠DOC=90°，.平行四边形OCED为矩形. (2):四边形OCED为矩形，DE=4, .CO=DE=4,∠COD=90° ,四边形ABCD是菱形， 56x .CD=AB=5,BD=2DO,AC=2CO=2DE=8. 在Rt△CD0中，DO=√CD2-CO=3, .BD=2DO=6. ∴菱形ABCD的面积为号ACX BD=-号×8X6=24, 期末重难点提升3一次函数 18.(1)证明：：四边形ABCD是矩形， 1.x≠72.C3.C4.B5.A6.B .∠ADC=90. 7.y=x十1（答案不唯一） 又，DF⊥CE,DG⊥DF,AG⊥DG, 8.(1D直线CD的表达式为y=-是x+3。 ∴.∠GDF=∠G=∠DFC=90° (2)点A,D关于y轴对称，.A(-4,0). .∠ADC=∠GDF.∴.∠GDA=∠FDC. OB=3OC,.OB=3×3=9.∴.点B(0,9). 又.AG=CF,∠G=∠DFC, ∴.△ADG≌△CDF(AAS)..AD=CD. “直线AB的表达式为y=?z十9， 探究在线·八 3 y=- 4x+3, x=-2, 箱线图如图所示， 联立 解得 身高/cm 9 x+9, 172 点E的坐标为(-2，号)： 1 16 .S四边形A0CE=S△AB0一S△BCE= ×4x9-是×9-3》× 2 八(1)班八(2)班 2=18-6=12. 基于四分位数或箱线图，可以发现八(1)班身高的中位数 9.A 与八(2)班的相差不大，但八(1)班身高的分散程度明显比 10.(1)y与x的函数关系式为y=50-x. 八(2)班的要小。 (2)w=(63-55)x+(42-36)(50-x)=2x+300, 综上可知，八(1)班选取的礼仪队队员的身高比八(2)班要 .地关于x的函数关系式为w=2x十300. 整齐. (3)根据题意，得55x十36(50-x)≤2000， 9.C10.C 解得<10吕。 11.(1)120.08 补全频数分布直方图如图所示. x为正整数，1≤x≤10. +频数 2>0,w随x的增大而增大. 20 16 6 ∴.当x=10时，w值最大，最大=2×10+300=320,50 12 10… 10=40(箱). 8上6 答：购进果汁饮料10箱、碳酸饮料40箱才能获利最多， 051015202530月均用水量h 最大利润是320元. (2)该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数 11.(1)903960 的百分比为0.12十0.24+0.32=0.68=68%， (2)由图象可知，C点的纵坐标为3960一60×50=960， (3)该小区月均用水量超过20t的家庭大约有1000× ∴C(50,960). (0.08+0.04)=120(户). 当18≤t≤50时，设y=kt+b,把B(18,0),C(50,960)代 新课标·新情境·新题型 入，得 1.(2,1)(答案不唯一) 118k+b=0, (k=30, 解得 2.(任选2个命题证明即可)命题1是真 50k+b=960, 6=-540. 命题.证明如下： .y=30t-540. 连接DE,交AC于点O,如图所示 (3)当18≤1≤50时，令30t-540=450,解得=33； :CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， 当t>50时，60t=3960-450,解得t=58.5. 综上：当甲出发33min或58.5min时，两人之间的路程 .CD-DA-DB-ZAB. 为450m. AE∥DC,CE∥AB, 期末重难点提升4数据分析 .四边形ADCE是平行四边形 1.B2.B3.15 DA=DC,.四边形ADCE是菱形 4.(1)7.5822% ∴.AC⊥DE,且OA=OC,OE=OD. (2)八年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，因为 点D为AB的中点， 八年级的学生成绩的中位数和众数都高于七年级.（合理 ∴D0是△ABC的中位线，则OD=2BC 即可) 5.A6.B7.36 -CF.BC,SAcEr-CF.OE, ∴SACFB= 1 8.四分位数如下表： 则SACFB=2 SACEF· 最小值、四分位数和最大值 命题2是真命题.证明如下： 班级 最小值 m25 mso mis 最大值 由命题1的证明已证四边形ADCE是菱形， 八(1)班 166 167 168 170 171 .ED⊥AC 八(2)班 164 165.5 169 170 171 命题3是真命题.证明如下： 由命题1已证四边形ADCE是平行四边形， 年级数学（下）·灯 25