4.5.1 频数与频率-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

4.5 数据的频数分布 ©4.5.1频数与频率 1 7.小明抛硬币的过程见下表，阅读并回答问题： 基础在线 :知识要点分类练 抛掷总次数 10 50 500 5000 知识点1频数 出现正面的次数 3 24 258 2498 1.(衡阳期末)Lost time is never found again(岁 出现正面的频率 0.30.48 0.516 0.4996 月既往，一去不回).在这句谚语的所有英文字 (1)从表中可知，当抛完10次时出现正面3次， 母中，字母“”出现的频数是 () 出现正面的频率为0.3，那么小明抛完10次，得 A.5 B.4 C.3 D.2 到7次反面时，出现反面的频率是 2(益阳期未)已知一组数据：，8，号 (2)当他抛完5000次时，出现反面的次数是 ,出现反面的频率是 0.4141141114…(每两个4之间的1的个数 (3)通过上述我们可以知道，出现正面的频数 依次增加).在这组数据中，有理数出现的频数 是 ( 和出现反面的频数之和等于 出现正面的频率和出现反面的频率之和等于 A.1 B.2 C.3 D.4 知识点2频率 知识点4利用频率计算平均数 3.(郴州期末)某校500名学生参加艺术考试，成 8.某校数学组20名数学教师的年龄如下： 绩在70~85分的有120人，则这个分数段的 22,22,22,25,25,25,27,27,27,27, 频率是 ( ) 27,27,30,30,30,30,30,32,32,32. A.0.2 B.0.12 C.0.24 D.0.25 (1)请你分别写出各数在数据组中出现的频数 4.（常德期末)“少年强，则国强；强国有我，请党 和频率； 放心.”这句话中，“国”字出现的频率是( (2)用频率计算加权平均数的方法计算他们的 A.7 B号 D.是 平均年龄， 5.对某班学生在家做家务的时间进行调查后，将 所得数据分成4组，第一组的频率为0.15，第 二组和第三组的频率之和为0.75，则第四组 的频率为 () A.0.35 B.0.30 C.0.20 D.0.10 知识点3频数与频率 6.对某班一次考试成绩进行统计，其中一组的频数 是7，频率是0.2，那么该班级的人数是( A.7人 B.14人C.35人D.70人 第4章94 能力在线沙方法规律综合练 利润为80元。 ①当n=14时，问该花店这天的利润为多少元？ 9.(郴州期末)在一次学生安全知识竞赛中，将八(1) ②求该花店这10天中日利润为70元的日需 班50名学生的成绩分为5组，第一组到第四组的 求量的频率. 频率之和为0.8，则第五组的频数是 A.8 B.10 C.20 D.40 10.在某市青少年航空航天模型锦标赛中，各年 龄组的参赛人数情况如图所示.若小明所在 年龄组的频率为38%，则小明所在的年龄组 是 () +参赛人数 20 19 12 14 8 5 0 13岁14岁15岁16岁年龄组 A.13岁B.14岁 C.15岁 D.16岁 ③拓展在线》培优拔尖提升练 11.经调查某村共有银行储户若干户，其中存款 14.阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往 额在2万~3万元的储户的频率是0.2，而存 往能改变人的一生，每年的4月23日被联合 款额为其余情况的储户的频数之和为40，则 国教科文组织确定为“世界读书日”.某校倡 该村存款额在2万~3万元的银行储户有 导学生读书，下面的表格是学生阅读课外书 户 籍情况统计表，右图是该校初中三个年级学生 12.已知一组数据包含四个数24,36,48,60，前三 人数分布的扇形统计图，其中八年级学生人数 个数的频率分别是，日，日，求这组数据的平 为204人，请你根据图表中提供的信息，回答下 列问题： 均数. 图书种类 频数 频率 科普常识 840 b 七年级 九年级 名人传记 816 0.34 28% 38% 中外名著 a 0.25 八年级 13.某花店每天购进16支某种花，然后出售，如 其他 144 0.06 果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废 (1)求该校八年级学生的人数占全校学生总 处理.该花店记录了10天该种花的日需求量 人数的百分比； (n为正整数，单位：支)，统计如下表： (2)求表中a,b的值； (3)求该校学生平均每人读多少本课外书. 日需求量n 13 14 15 16 12 18 天数 2 (1)求该花店在这10天中出现该种花作废处 理情形的天数； (2)当n<16时，日利润y(单位：元)关于n的 函数表达式为y=10n-80;当n≥16时，日 95探究在线八年级数学（下）·灯第2课时中位数与众数 2=号×[14-15)2+(14-15)2+(15-15)2+(15 基础在线 1.B2.D3.94.B5.66.1007.C8.20 15)+(16-15)2+(16-15)]=号. 能力在线 吃<s年，乙台阶上行走会比较舒服. 9.C10.A11.A12.B (3)为使游客在台阶上行走比较舒服，需使方差尽可能 13.(1)= 小，最理想应为0，同时不能改变台阶数量和台阶总体高 (2)乙组总人数为2十9+6十3=20（人）， 度，故可使每个台阶高度均为15cm(原平均数)，使得方 '.乙组学生的平均成绩为(7×2+8×9+9×6+10×3) 差为0. ÷20=8.5(分) 微专题11平均数、中位数、众数、方差的有关计算 (3)8 1.C 拓展在线 2.(1)141314 14.(1)7.58(2)乙 (2)建议多进A型号扫地机器人· (3)虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但甲 理由：A型号扫地机器人销量的平均数、中位数均比B型 组成绩的众数小于乙组的众数，说明乙组优秀学生多于 号大 甲组，因此从众数的角度看，乙组成绩比甲组好， 3.(1)s2=8.2,即a=8.2 ∴.不能仅凭甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高， 甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定， 就认为甲组成绩比乙组成绩好，即小西的观点比较片面. (2)获奖分数线的平均数为89.6， 4.2方差 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲有4次 基础在线 达到获奖分数线的平均数，而乙只有1次，所以甲获奖的 1.A2.A3.B4.D5.A 可能性更大，故选甲参加更合适。 6.乙市这五天最高气温的平均数是号×(36+38+38+37+ (3)选甲更合适.理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲 36)=37(℃)， 呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能 乙市这五天最高气温的方差是 的角度考虑，选甲更合适， 4.3数据分类 号×[(36-37)+(38-37)+(38-37)2+(37-37)2+ 基础在线 (36-37)2]=0.8, 1.B2.2503.24 ,5.2>0.8,.甲市这五天的最高气温波动较大 能力在线 答：乙市这五天最高气温的方差为0.8，甲市这五天的最 4.B 高气温波动较大. 5.数据排序为105,110,120,125,135,140.分组列表如下： 能力在线 第一组 第二组 组内 7.A8.C9.C10.C 分组 离差平方和离差平方和离差平方和 11.(1)858070 第1个间隔 0 570 570 (2)七年级学生掌握春节文化知识较好， 第2个间隔 12.5 250 262.5 理由：七年级和八年级的平均数相同，但七年级的中位数 第3个间隔 116.67 116.67 233.54 大于八年级的中位数，所以七年级学生掌握春节文化知 识较好.（合理即可） 第4个间隔 250 12.5 262.5 拓展在线 第5个间隔 570 0 570 12.(1)将甲、乙两台阶高度值从小到大排列如下： 对比所有分组的总离差平方和发现，当按第3个间隔分组 甲：10,12,15,17,18,18；乙：14,14,15,15,16,16. 时，组内离差平方和最小，因此，按组内离差平方和最小的 甲的中位数是16，平均数是15； 分法为{105,110,120}与{125,135,140} 乙的中位数是15，平均数是15. 拓展在线 故两台阶高度的平均数相同，中位数不同， 6.将5个数据分成3组，样本量只有“1,2,2”“1,1,3”两种分 (2)m=6×[(10-15)2+(12-15)2+(15-15)2+ 组方式，首先将数据按从小到大排序：2,3,4,8,10（排序后 更易判断“相近性”). (17-15)2+(18-15)2+(18-15)2]=28 3 枚举所有合理的分组，优先考虑组内数据相差不大的分组. 探究在线·八年 通过计算，根据组内离差平方和最小的原则，其分组方式 阶段测评5(4.1~4.4) 为{2,3,4}，{8}，{10}的组内离差平方和最小. 1.C2.B3.B4.B5.A6.B 4.4四分位数与箱线图 7.《爱我中华》8.39.510.>11.106 基础在线 12.4×30%+3×40%+2×30%=3(分). 1.A2.D3.A 答：参赛选手甲的这道菜肴的综合成绩为3分。 4.(1)把这组数据从小到大排列：6,7,15,36,39,40,41,42， 13.,=3+5+7=5,=6+8+10=8, 43,47,49 3 3 这组数据的第一四分位数是15，第二四分位数是40，第三 云=日×3+5+6+7+8+10)=65. 四分位数是43. 组间离差平方和S号=3×(5一6.5)2十3×(8-6.5)2= (2)把这组数据从小到大排列：8,12,15,18,20,22,25,28， 13.5. 31,35. 14.利用四分位数、箱线图分析如下： 这组数据的第一四分位数是15，第二四分位数是21，第三 单穗质量g 四分位数是28. )60 T254 -250 240 (3)把这组数据从小到大排列：3,7,9,11,15,18,20,23， 230 232 220 226.5 218 26,28,32,36. 210 215 200 197.5 201.5 这组数据的第一四分位数是10，第二四分位数是19，第三 190 180 四分位数是27 170 160 ÷161 -162 5.B 甲型玉米种子 乙型玉米种子 6.将甲种农作物的高度数据从小到大排列：8,8,9,9,10,11， 可以发现：甲型玉米种子单穗质量的中位数比乙型玉米 12,12,13,14. 种子的稍小，且甲型玉米种子的单穗质量比乙型玉米种 第一四分位数是9，第三四分位数是12. 子的波动大.综上可知，乙型玉米种子的产量更好 所以甲种农作物的高度数据的第三四分位数减去第一四 15.(1)406070 分位数的差是12-9=3. (2)乙同学成绩的平均数是70+50+70+40+70=60， 5 将乙种农作物的高度数据从小到大排列：7,7,8,9,9,11， 11,12,12,13. 乙同学成绩的方差是号×[3×(70-60)2十(50-60)2+ 第一四分位数是8，第三四分位数是12. (40-60)2]=160. 所以乙种农作物的高度数据的第三四分位数减去第一四 (3)因为甲、乙同学成绩的平均数相同，乙同学成绩的方 分位数的差是12-8=4. 差小于甲同学成绩的方差，所以乙同学的成绩更稳定. 4>3,.乙种农作物的高度数据比较分散。 4.5数据的频数分布 能力在线 4.5.1频数与频率 7.78.B9.C 基础在线 10.由两个班级的成绩箱线图可知，A班的第三四分位数与 1.C2.C3.C4.A5.D6.C B班的中位数一致，均为120；B班的第一四分位数大于 A班的第一四分位数，B班的最低分也大于A班的最低 7.(1)0.7(2)25020.5004(3)抛掷总次数1 8.(1)如下表： 分，所以B班的平均分较高. 拓展在线 年龄 22 25 27 30 32 11.(1)A部门数据的第一四分位数是由小到大排列的第4 频数 3 3 6 5 3 个数，为40，中位数为45，第三四分位数是由小到大排列 频率 0.150.15 0.3 0.25 0.15 的第12个数，为55；同样，B部门数据的第一四分位数是 (2)他们的平均年龄为22×0.15+25×0.15+27×0.3十 38,中位数为45，第三四分位数是55.绘制箱线图如图， 30×0.25+32×0.15=27.45(岁). A部门 3540455560 能力在线 B部门 9.B10.B11.10 3038455565 25303540455055606570 12.1-日6=是 (2)从箱线图看，A部门第一四分位数到中位数距离近， 低业务量员工较集中；B部门箱子更长，数据分布更分散， 平均数是24×号+36×日+48×日+60×是=45. 且第三四分位数到最大值距离远，高业务量员工更分散。 13.(1)1+1+2=4(天) 级数学（下）·X灯 23 答：花店在这10天中出现该种花作废处理情形的为4天. 频数 16 (2)①当n=14时，y=10n-80=10×14-80=60, 答：当n=14时，该花店这天的利润为60元. 4 ②当n<16时，70=10n一80，解得n=15. 60708090100分数 当m=15时，有2天，心0=方 21 (3),80≤x<90小组的频率为0.4， ,∴.80≤x<90分数段对应扇形的圆心角的度数为360°× 答：该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率 0.4=144°. 为员 4.6总体的平均数与方差的估计 拓展在线 基础在线 14.(1)1-28%-38%=34%, 1.B2.2.4 ∴该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比为 3.(1)这100名学生平均每人植树的棵数为0×(4×30+ 34% 5×22+6×25+8×15+10×8)=5.8(棵) (2).144÷0.06=2400, (2)由样本平均数估计总体平均数，该校1000名学生平 .a=2400×0.25=600,b=840÷2400=0.35. 均每人植树5.8棵，共植树约5.8×1000=5800（棵）. (3)全校学生总人数为204÷34%=600， 4.A .该校学生平均每人读课外书2400÷600=4（本）. 5.(1)x甲=(5.1+5.0+4.5+4.9+5.1+5.3+5.2+4.9+ 4.5.2频数直方图 5.1+4.9)÷10=5(kg). 基础在线 编=0×[(5.1-5)2+(5.0-5)2+(4.5-52+(4.9-5)2 1.B2B30 4.A5.A6.36 +(5.1-5)2+(5.3-5)2+(5.2-5)2+(4.9-5)2+(5.1 7.(1)1412 -5)2+(4.9-5)2]=0.044. (2)频数 xz=(5.5+4.8+5.0+5.2+4.9+5.2+4.5+4.8+5.1 16 +5.0)÷10=5(kg) 元=0×[(5.5-5)2+(4.8-52+(5.0-52+(5.2-5)2 60708090100成绩x/分 +(4.9-5)2+(5.2-5)2+(4.5-5)2+(4.8-5)2+(5.1 能力在线 -5)2+(5.0-5)2]=0.068 8.B9.D (2)因为采用甲、乙种植技术种植的西瓜质量的平均数相 10.(1)频数分布表、频数分布直方图如图所示. 同，<吃， 频数分布表 所以采用甲种植技术种植的西瓜质量更稳定，所以推广甲 种植技术较好 80<x 85<x 90<x 95<x 成绩分组 能力在线 ≤85 ≤90 ≤95 ≤100 6.B 画记 正 正 正T 7.(1)1661665 频数 4 6 7 3 (2)由于A区域种植亩产量的方差小于B区域，产量较为 频数分布直方图 稳定，所以小文只从平均数分析是片面的 频数 拓展在线 8.(1)由折线统计图知，甲的数据从小到大排列为40,40， 45,46,54;乙的数据从小到大排列为38,42,43,48,49， 80859095100成绩分 所以甲样本的中位数为45，平均数为45； 乙样本的中位数为43，平均数为44. (2)①90.5 (2)甲樱桃园樱桃的产量为200×99%×45=8910(kg). ②成绩在90<x≤95的人数最多（答案不唯一） 乙樱桃园樱桃的产量为200×99%×44=8712(kg). 拓展在线 11.(1)120.4 (3)甲样本的方差为行×[(40-45)2+(45-45)2+ (2)补全频数分布直方图如图. (5445)2+(46-45)2+(40-45)2]=26.4, 24 探究在线·八年 乙样本的方差为号×[(43-4)2+(38-44)2+ 2.设每鱼的总数为x,根据题意，得2-品，解得x=40, (49-44)2+(42-44)2+(48-44)2]=16.4, 答：估算池塘中鲫鱼的总数为400只. 因为16.4<26.4， 3.(1)根据题意，得60=12 x m 所以乙樱桃园的樱桃产量比较稳定. 4.7统计的简单应用 (2当=240时，代人2-是得a=4 基础在线 (3)可能原因：白鹭迁徙导致种群变动；标记的白鹭聚集或 1.D2.B3.D4.C5.B 躲避人类；抽样时未随机捕捉.（答案不唯一） 能力在线 6.C 41)根揭题意，得1290-品，解得=150。 答：估算夏季末松鼠总数为1500只. 7.(1)31% (2)y=11.84x-23859.66. (2)差错率为1500,1200×100%=25%. 1200 其中k的实际意义为2018一2024年我国发明专利申请授 (3)注意事项：需确保标记期间无出生/死亡/迁移，若种群 权数年均增长约11.84万个. 变动剧烈，估算结果不可靠 当x=2025时，y=11.84×2025-23859.66=116.34≈ 5.(1根据题意，得20-0解得=750。 116.3(万个)， 答：估算鲫鱼总数为750只 预测我国2025年发明专利申请授权数为116.3万个. (2)不可靠的原因：重捕样本含50条外来鲤鱼，导致分母 拓展在线 扩大，从而鲫鱼总数的估算值不可靠. 8.(1)174.5169 期末重难点提升1四边形 (2)估计臂展大于或等于170cm的男生人数为240× 1.A =108(人). 2.(1)设这个多边形的边数是n, (3)当x=185时，y=1.2×185-40=182, 由题意，得(n-2)×180°=360°×3+180°，解得n=9. ∴.身高为185cm男生的臂展长度约为182cm. 答：这个多边形的边数是9. 单元综合复习（四）数据分析 (2)正九边形的每一个内角的度数为9-2)×180= 9 热门考点突破 140°. 1.87 3.C4.B5.D 2.(1)7.578 6.(1)证明：：∠BQC=∠PQD,∠BQC+∠ADB=180°， (2)小丽的成绩较好.理由如下： ∴.∠PQD+∠ADB=180°.∴.AD∥CP. 从平均数来看，两人的平均成绩相同，从中位数和众数来 又，AD=CP,.四边形ADCP为平行四边形， 看，小丽的中位数和众数均大于小红的中位数和众数，故 (2):四边形ADCP为平行四边形，∴.CD=AP. 小丽的成绩较好 CD=5,BP=3,..AP=5,AB=8. 3.1024.B5.46.甲地 又AB⊥BC,BC=6, 7.3.1953.9154.44 ∴.在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC=10. 8.409.12010.D11.甲12.10813.B 7.B8.A 核心素养提升 9.(1)证明：：BD为边AC的中线，点D为AC的中点. 14.(1)5083.5144° ,点F为CE的中点， (2)补全频数分布直方图如图所示， .DF是△CAE的中位线。 模具设计成绩的频数 分布直方图 ∴DF∥AE.∠FDE=∠AED. 人数（频数） DE平分∠ADF,∴.∠ADE=∠FDE 5050 15 ∠ADE=∠AED.AE=AD. (2)由(1)知，FD是△CAE的中位线， AB C D 成绩/分 ..AE=2DF=4...AD=AE=4. (3)720 :点D是AC的中点，△ABC是直角三角形， 综合与实践估计池塘中鱼的数量 1.②③①④ ∴BD=合ACBD=AD=4. 级数学（下）·X灯