1.6.2 菱形的判定-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

©1.6.2 ① 基础在线 > 目知识要点分类练…。 知识点1四条边都相等的四边形是菱形 1.要检测一个四边形是不是菱形，下列方案可行 的是 () A.任选两个角，测量它们的角度 B.测量四条边的长度 C.测量两条对角线的长度 D.测量两条对角线交点到四个顶点的长度 2.如图，在四边形ABCD中，AB =4,当AD=BC=DC= 时，四边形ABCD是菱形， 3.如图，在□ABCD中，AB⊥AC,点E,F分别 是边BC,AD的中点，连接AE,CF,EF.求证： AC⊥EF. 知识点2对角线互相垂直的平行四边形是 菱形 4.(岳阳期末)如图，四边形ABCD的对角线 AC,BD交于点O.AC⊥BD,OB=OD,请你 添加一个适当的条件： ,使四边形ABCD是菱形（只填一种情 况即可). 菱形的判定 5.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，四边形ABCD是 菱形，延长CA到点E,延长 AC到，点F,使AE=CF,连接 B EB.BF.FD.DE. 求证：四边形EBFD是菱形. 证明：连接BD,交AC于点O, ,四边形ABCD是菱形， ∴.OB=OD,OA=OC,① AE=CF,② 四边形EBFD是平行四边形. EF⊥BD,∴四边形EBFD是菱形 若以上解答过程正确，则①，②分别为() A.AB-BC,BE=BF B.AC⊥BD,OE=OF C.AB∥DC,OE=OF D.AD∥BC,BD=AC 6.(教材P37例3变式)（中考·长春）如图， □ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB =5,OA=4,OB=3.求证：☐ABCD是菱形. 易错点菱形的判定方法掌握不牢而出错 7.已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交 于点O,AC⊥BD,∠ABO=∠CBO,再添加一 个条件使四边形ABCD是菱形，添加条件不 正确的是 () A.AB-AD B.AB∥CD C.OB-OD D.AD-CD 第1章26 ②能力在线 方法规律综合练 8.(中考·内江)按如下步骤作四边形ABCD: (1)画∠EAF;(2)以点A为圆心，1个单位长 度为半径画弧，分别交AE,AF于点B,D; (3)分别以点B和点D为圆心，1个单位长度 为半径画弧，两弧交于点C;(4)连接BC,DC, BD.若∠A=40°，则∠BDC的度数是() A.64° B.66 C.68° D.70° D B 第8题图 第9题图 9.如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O, 点E为AD的中点，若∠AOE=∠OAE=25°， 则∠BDC= () A.50 B.55° C.60° D.65 10.（中考·德阳)如图，点E,F,G,H分别是四 边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，如 果BD=AC,四边形EFGH的面积为24，且 HF=6,则GH= ( A.4 B.5 C.8 D.10 H 第10题图 第11题图 11.如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O 作EF⊥AC,交BC边于点E,交AD边于点 F,分别连接AE,CF.若AB=√3，∠DCF= 30°，则EF的长为 () A.2 B.3 c D.3 12.如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋 转60°而得，且AB⊥BC,BE=CE,连接DE. (1)求证：△BDE≌△BCE; 27探究在线八年级数学（下）·灯 (2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由， 3 拓展在线》培代拔尖提升练 13.(中考·大庆)如图，在四边形ABCD中，AB ∥CD,对角线AC与BD相交于点O.点B, 点D关于AC所在直线对称. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)过点D作BC的垂线交BC的延长线于 点E.若CE=3,AD=5,求线段OC的长.10.4W3或2√3 AB⊥AC,∴.∠BAC=∠ACD=90° 能力在线 点E,F分别是边BC,AD的中点， 1.B12.D13.014.V AE=合BC=BC,CF=号AD=AR 15.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， .'AD-BC,.'.AE-EC-CF=AF. .CB=CD,∠BCE=∠DCE. .四边形AECF是菱形.AC⊥EF. .CE=CE,∴.△BCE≌△DCE(SAS). 4.OA=OC(答案不唯一) ∴.BE=DE. 5.B (2)如图，连接BD交AC于点O, 6..AB=5,OA=4,OB=3, .四边形ABCD是菱形，AB=4, .0B2+0A2=32+42=25,AB2=52=25. ..AB=AD,AO=OC,OB=OD= ∴.OB2+OA2=AB2. 合BD,ACLBD, .∠AOB=90°.∴.AC⊥BD. 四边形ABCD是平行四边形，∴.口ABCD是菱形， :∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形. 7.D ∴.BD=AB=4,OB=OD=2,OC=OA=√AB2-OB2= 能力在线 23. 8.D9.D10.B11.A .BE⊥DE,.OE=OB=OD=2. 12.(1)证明：：△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转 ∴.CE=OC-OE=23-2. 60°而得， 拓展在线 .△BEC≌△BAD,∠ABE=60°. 16.(1)65 ∴.AB=BE,∠EBC=∠ABD,BC=BD,AD=EC. (2)证明：①，四边形ABCD是菱形， AB⊥BC,.∠ABC=90° .AB=AD,AB∥CD,AD∥BC ∠EBC=30°=∠ABD. .∠ABD=∠ADB. .∠DBE=∠ABE-∠ABD=30°=∠CBE. .AE⊥BC,AF⊥CD,.AE⊥AD,AF⊥AB. BE=BE,△BDE≌△BCE(SAS). .∠DAG=∠BAH=90°. (2)四边形ABED是菱形.理由如下： ∴.∠AHB=90°-∠ABD=90°-∠ADB=∠AGD. 由(1)可知，AB=BE,CE=AD, ..AH=AG. .'BE=CE,.'.AB=BE=CE=AD. ②BG=GH, ,△BDE≌△BCE,∴.DE=CE. .点G是Rt△ABH斜边BH的中点. .AB=BE=DE=AD..四边形ABED是菱形 .AG=BG=GH.由①知AH=AG, 拓展在线 .AG=AH=GH..△AGH是等边三角形 13.(1)证明：：点B,点D关于AC所在直线对称， ∴.∠AHG=60°..∠ABH=30°.∴.∠ABC=60°. .OD=OB,AC⊥BD. AF⊥AB,∴.∠BAP=90°.∴.∠APB=30°. :AB∥CD,∴.∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC. .△AOB≌△COD(AAS).∴.AB=CD. ∴PC=2FC.∴PF=√PC-F=√3CF. .四边形ABCD是平行四边形. 如图，连接AC,,∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD, 又AC⊥BD,四边形ABCD是菱形. .△ADC是等边三角形 (2),四边形ABCD是菱形，AD=CD=BC=5. .AFCD,.'.CF=DF..'PF=3 DF. 由题意，得DE⊥CE, .DE=√CD2-CE=V52-32=4. ,BE=BC+CE=5+3=8, ∴.BD=√DE+BE=4W5. 1.6.2菱形的判定 基础在线 :ACLBD,号BDX-号-BCXDE. 1.B2.4 :.0C-BCX DE-5X4-5. 3.四边形ABCD是平行四边形， BD 45 .AD=BC,AB∥CD. 即线段OC的长为√5. 16 探究在线·八 1.7正方形 2.(1)证明：EF是线段AC的垂直平分线， 基础在线 ,∴.AF=CF,AE=CE,EF⊥AC 1.D2.B3.B4.C5.25 .△ACF是等腰三角形..∠AFO=∠CFO. 6.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ,四边形ABCD是平行四边形， .AB=CB,∠ABD=∠CBD. ∴.AD∥BC.∴.∠AFO=∠CEO. 又，BE=BE,∴.△ABE≌△CBE(SAS). ./CFO=∠CEO..CE=CF. (2)四边形ABCD是正方形， ∴.AF=CF=CE=AE..四边形AECF是菱形. .∠BAD=90°，∠ADB=45° (2)AC⊥AB,∠B=30°， .'DE-DA, .∠ACB=90°-∠B=60°，即∠OCE=60. ∴∠DAE=∠DBA=号×180°-45)=67.5 四边形AECF是菱形，AE=3, .CE=AE=3,EF⊥AC,S菱形AECF=4 SAOCE· ∴.∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°. 在Rt△OCE中，∠OEC=90°-∠OCE=30°， 7.A 8.'∠BAC=90°，DE⊥AB,DF⊥AC, 0c=cE=号，0E=VCE-0C-3 2 ∴∠BAC=∠AED=∠AFD=90. S5m=45amE=4×号00.0E=-2×是×3Y9- 1 3 ∴.四边形AEDF是矩形. 2 :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, 9y5.即四边形AECF的面积为9y 2 2 .DE=DF..四边形AEDF是正方形 3.(1)证明：，四边形ABCD是菱形， 9.①②或①③ .AB∥CD..∠AFE=∠DCE. 能力在线 点E是AD的中点，AE=DE. 10.A11.4128 在△AFE和△DCE中， 13.(1)如图，四边形EGFH即为所求正方形. ∠AFE=∠DCE, (2)证明：，四边形ABCD是正方形， ∠AEF=∠DEC, .AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C LAE=DE, =∠D. .△AFE≌△DCE(AAS)..AF=CD. 由作图可知，AE=DH=CF=BG, (2)BD⊥DF.理由如下： ∴.AG=BF=CH=DE 四边形ABCD是菱形，.AB=AD=CD. .△AEG≌△BGF≌△CFH≌△DHE. .AF=CD,..AB=AD=AF. .EG=GF=FH=EH,∠AGE=∠BFG ∴.∠ABD=∠ADB,∠ADF=∠AFD. .四边形EGFH是菱形. ∴∠BDP=∠ADB+∠ADF=号×I80°=90 :∠BFG+∠BGF=90°，.∠AGE+∠BGF=90. ∴.BD⊥DF ∠EGF=90°..四边形EGFH为正方形. (3)60° 拓展在线 4.(1)证明：过点E作EM⊥BC于点M, 14.C EN⊥CD于点N, 微专题2特殊平行四边形的性质与判定 :四边形ABCD是正方形，AC是对角线， 1.①或② ∴.∠ECN=∠ECM=45°. (1)选择①AB∥CD, 又.EN⊥CD,EM⊥BC, 证明：，AD∥BC,AB∥CD,∴.四边形ABCD是平行四边形. .EN=EM..四边形EMCN是正方形 ∠ABC=90°，，四边形ABCD是矩形. ∴.∠NEM=∠DEF=90°..∠DEN=∠FEM. 选择②证明略， ∠DNE=∠FME=90°， (2)四边形ABCD是矩形， 在△DEN和△FEM中，〈EN=EM, ∴.∠ABC=90°，BD=AC. N∠DEN=∠FEM, .△DEN≌△FEM(ASA). ZACB-30",AB-3,AB-7AC. .ED=EF. ∴.AC=2AB=6..BD=6. (2)2 年级数学（下）·X灯