1.6.1 菱形的性质-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

1.6 ©1.6.1 ①基础在线 > :知识要点分类练 ● 知识点1菱形的定义 1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD= BC,添加一个条件使四边形ABCD是菱形， 那么所添加的条件可以是 (写出一个即可). 6 第1题图 第2题图 知识点2菱形的性质 2.我国传统建筑中常应用菱形窗户，其设计美 观、大气.如图，该菱形窗户边框AB的长为 1m,则该菱形窗户的周长为 () A.1m B.2 m C.3 m D.4m 3.(教材P35例1变式)（株洲期中）菱形的两条 对角线的长分别为6和8，则它的面积是( A.24 B.48 C.12 D.18 4.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别是AC, CD的中点，AB=8,则EF的长为 () A.4 B.6 C.8 D.不确定 第4题图 第5题图 5.(中考·常州)如图，在菱形ABCD中，AC,BD 是对角线，AB=5.若∠ABD=30°，则AC的 长是 () A.4 B.5 C.6 D.10 6.如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基 本形状是一个菱形ABCD,中间通过螺杆连 接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边 菱形 菱形的性质 长不变).当∠BCA=26°时，∠ADC的度数为 () D 手柄 A.26° B.52°C.128° D.154° 7.如图，在菱形ABCD中，已知∠ABC=120°， 若菱形ABCD的周长为16，则BD的长度为 () A.4 B.5 C.6 D.7 6 第7题图 第8题图 8.如图，在菱形ABCD中，点F是BD与AC的 交点，AE⊥BC,垂足为点E,若AB=10,BD =16,则EF的长为 () A.4 B.5 C.6 D.7 9.(中考·泸州)如图，在菱形ABCD中，E,F分 别是边AB,BC上的点，且AE=CF.求证：AF =CE. D 易错点未分类讨论导致漏解 10.四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6, 对角线AC与BD相交于点O,点E在AC上. 若OE=√3，则CE的长为 第1章24 ②能力在线》 方法规律综合练 11.如图，在菱形ABCD中，E为对角线AC上一 点，且CD=CE,若∠ABC=100°，则∠CDE () A.75°B.70° C.65 D.60° 第11题图 第12题图 12.如图，在菱形ABCD中，AB的中垂线交对角 线BD于点F,点E为垂足，连接CF,若 ∠DCF=a,则∠BFC的度数为 () A.3a B.60°-1 a C60-号a D.60+号8 13.(中考·巴中)如图，四边形ABCD是菱形， 对角线AC,BD相交于点O,AO=4,BO=3, DH⊥AB于点H,则DH的长为 第13题图 第14题图 14.(中考·辽宁)如图，在菱形ABCD中，对角 线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12, 点E在线段OA上，AE=2,点F在线段OC 上，OF=1,连接BE,点G为BE的中点，连 接FG,则FG的长为 15.（永州期中)已知：如图，在菱形ABCD中，AC 为对角线，E是AC上的点，连接BE,DE. (1)求证：BE=DE; (2)若BE⊥DE,∠BAD=60°，AB=4,求CE 的长 25探究在线八年级数学（下）·X灯 3 拓展在线》培代拔尖提升练 …0 16.如图①，在平行四边形ABCD中，过点A作 AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为点E,F,AE, AF分别交BD于点G,H. (1)若∠ABC+∠ADC=130°，则∠EAF的 度数为 (2)如图②，若四边形ABCD是菱形，延长 AF,BC相交于点P, ①求证：AG=AH; ②当BG=GH时，求证：PF=√3DF D 图① 图②又，多边形的外角和是360°， ,AB=AC,∴.FE=FD 360° 。2 六180文m-2=9,解得m=1. (2)由(1)知，EF为△ABC的中位线，.EF∥AB. .∠EFC=∠BAC=24°. 经检验，n=11是该方程的解。 ,点F是AC的中点，∠ADC=90°， .这个多边形的边数是11. ∴.FD=AF.∴.∠ADF=∠DAF=24 14.,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O, .∠DFC=∠ADF+∠DAF=48°. .BO=DO,AO=CO. ∴∠EFD=∠DFC+∠EFC=72°. .AF=CE,..AF-OA=CE-OC...FO=EO. .FE=FD, :∠FOD=∠EOB,∴.△FOD≌△EOB(SAS). ∴.DF=BE.即BE=DF ∠PED=∠EDF=合(18O-∠EFD)=5 15.(1)如图，△A1B1C1为所求作的三角形. 拓展在线 13.(1)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC 与BD长度之和.证明如下： 点H,G分别为AD,CD的中点，HG-号AC “点E,F分别为AB,BC的中点，∴EF=号AC (2)四边形BC1B1C是平行四边形.理由如下： ∴HG=EF=号AC,同理HE=GF=分BD, 由作图知，点B与点B1,点C与点C1分别关于点O成中 ∴瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长为HG十EF十HE 心对称， ..OB=OB,OC=OCI. +GF-2AC+AC+BD+BD-AC+BD. .四边形BCB1C是平行四边形. (2)瓦里尼翁平行四边形EFGH中，∠HEF的度数为 16.(1):四边形ABCD是平行四边形， 35°或145° ∴.AB=CD,AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF. 1.5矩形 ∠1=∠2，∴.∠AEB=∠CFD. 1.5.1矩形的性质 ∠ABE=∠CDF, 基础在线 在△ABE和△CDF中， ∠AEB=∠CFD, 1.矩有一个角是直角的平行四边形是矩形 AB-CD 2.B3.C .△ABE≌△CDF(AAS).,.BE=DF 4.,四边形ABCD和四边形ECGF都是矩形， (2)△ABE≌△CDF,∴AE=CF. .AD=BC,∠D=90°=∠ECG. ∠1=∠2，.AE∥CF 点B,C,G在一条直线上，且点C是BG的中点， .四边形AECF是平行四边形. ..CG=BC=AD. 1.4三角形的中位线定理 又：点E恰好在AG上，∴.∠AED=∠CEG. 基础在线 ∴.△AED≌△GEC.∴.AE=GE. 1.A2.B3.C4.A5.C6.C7.B 5.B6.A 8.点D,E分别是边AB,BC的中点，DE=10, 7.,四边形ABCD是矩形， ∴.AC=2DE=20. ,在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点F是边AC的中点， .AC-BD,OA-AC,OD-BD. BF=2AC=10, .OA=OD.∴.∠CAD=∠BDA. DE∥AC,∠CAD=∠EDA.∠BDA=∠EDA. 能力在线 8.C 9.c10.C1.2 能力在线 12.(1)证明：，点E,F分别是BC,AC的中点， 9.C10.D11.1012.33 EF为△ABC的中位线.∴EF=AB. 13.(1)作图如图所示. (2)四边形ABCD是矩形， :点F是AC的中点，∠ADC=90,FD=号AC ∴∠BAD=∠ABC=90°，OC=OB OA-OD. 探究在线·八年 由作图知，AE平分∠BAD,∴∠BAE=号∠BAD=45 .BC=2BF,AE-2AF. N2∠D=∠AFC=∠ABC+∠BAE,∠ABC=∠D, .∠AEB=90°-∠BAE=45°=∠BAE. ∠ABC=∠BAE..AF=BF ..AB=BE. .AE=BC..四边形ABEC是矩形 OC=BE,∴.OB=AB=OA. 能力在线 .△AB0是等边三角形.∴∠BAO=60°. .∠EAO=∠BAO-∠BAE=60°-45°=15. 7B&C9.D108 拓展在线 11.(1)证明：点O是AC的中点，.OA=OC. 14.(1)证明：：四边形ABCD是矩形， ,OD=OB,.四边形ABCD是平行四边形. ∴.AB∥CD,AD=BC,BD=AC. :∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形. ∴∠FAE=∠CDE. (2)2-=BO+OC+BC-(BO+AB+AO),AO= ,点E是AD的中点，AE=DE. OC, ∠FAE-∠CDE, ..-=BC-AB=b-a=2. 在△FAE和△CDE中，AE=DE, 四边形ABCD是矩形， ∠FEA=∠CED, ∴.AB=CD=a,AD=BC=b. ∴.△FAE≌△CDE(ASA)..CD=FA. ∴.a+a+b+b=28.∴a+b=14. 又CD∥AF, b-a=2, a=6, .四边形ACDF是平行四边形.AC=DF. 解得 a+b=14, b=8. .AC=BD,.BD=DF. ∠ABC=90°，.AC=√a+6=10. (2):四边形ABCD是矩形， 拓展在线 ∴.∠BCD=∠CDE=90° 12.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ,CF平分∠BCD,∴∠DCE=45. ∴.AB∥DC.∴.∠BAE=∠CFE. △CDE是等腰直角三角形.∴.CD=DE. 点E是边BC的中点，∴.BE=CE ,点E是AD的中点， ∠BAE=∠CFE, CD-DE-AD-BC-3. 在△ABE和△FCE中， ∠AEB=∠FEC, 1.5.2矩形的判定 BE-CE, 基础在线 .∴.△ABE≌△FCE(AAS). 1.如图，连接AC交BD于点O, (2)四边形ABFC是矩形.理由如下： ,四边形ABCD是平行四边形， :四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC. ..OB-OD,AO-OC. :△ABE≌△FCE,AB=FC,AE=FEAE=AE .'BE=FD, ..OB+EB=OD+FD...OE=OF. AE=2AD∴AF=AD=BC .四边形AECF是平行四边形. AB∥DC,AB=FC,.四边形ABFC是平行四边形. AE⊥EC,∴.四边形AECF是矩形， :AF=BC,.四边形ABFC是矩形. 2.D 1.6菱形 3.AE⊥CD,CF⊥AB,∴∠AEC=∠AFC=90. 1.6.1菱形的性质 在□ABCD中，AB∥CD, 基础在线 .∠EAF=180°-∠AEC=90°， 1.AB=AD(答案不唯一) ∴.∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°. 2.D3.A4.A5.B6.C7.A8.C .四边形AECF为矩形. 9..四边形ABCD是菱形，.AB=BC 4.C5.B .AE=CF,..AB-AE=BC-CF,BE=BF. 6..四边形ABCD是平行四边形， BF=BE, ∴AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠D. 在△ABF和△CBE中，∠B=∠B, .CE=CD,..AB=CE. BA=BC, ∴四边形ABEC是平行四边形. ∴.△ABF≌△CBE(SAS)..AF=CE. 级数学（下）·X灯 15 10.4W3或2√3 AB⊥AC,∴.∠BAC=∠ACD=90° 能力在线 点E,F分别是边BC,AD的中点， 1.B12.D13.014.V AE=合BC=BC,CF=号AD=AR 15.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， .'AD-BC,.'.AE-EC-CF=AF. .CB=CD,∠BCE=∠DCE. .四边形AECF是菱形.AC⊥EF. .CE=CE,∴.△BCE≌△DCE(SAS). 4.OA=OC(答案不唯一) ∴.BE=DE. 5.B (2)如图，连接BD交AC于点O, 6..AB=5,OA=4,OB=3, .四边形ABCD是菱形，AB=4, .0B2+0A2=32+42=25,AB2=52=25. ..AB=AD,AO=OC,OB=OD= ∴.OB2+OA2=AB2. 合BD,ACLBD, .∠AOB=90°.∴.AC⊥BD. 四边形ABCD是平行四边形，∴.口ABCD是菱形， :∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形. 7.D ∴.BD=AB=4,OB=OD=2,OC=OA=√AB2-OB2= 能力在线 23. 8.D9.D10.B11.A .BE⊥DE,.OE=OB=OD=2. 12.(1)证明：：△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转 ∴.CE=OC-OE=23-2. 60°而得， 拓展在线 .△BEC≌△BAD,∠ABE=60°. 16.(1)65 ∴.AB=BE,∠EBC=∠ABD,BC=BD,AD=EC. (2)证明：①，四边形ABCD是菱形， AB⊥BC,.∠ABC=90° .AB=AD,AB∥CD,AD∥BC ∠EBC=30°=∠ABD. .∠ABD=∠ADB. .∠DBE=∠ABE-∠ABD=30°=∠CBE. .AE⊥BC,AF⊥CD,.AE⊥AD,AF⊥AB. BE=BE,△BDE≌△BCE(SAS). .∠DAG=∠BAH=90°. (2)四边形ABED是菱形.理由如下： ∴.∠AHB=90°-∠ABD=90°-∠ADB=∠AGD. 由(1)可知，AB=BE,CE=AD, ..AH=AG. .'BE=CE,.'.AB=BE=CE=AD. ②BG=GH, ,△BDE≌△BCE,∴.DE=CE. .点G是Rt△ABH斜边BH的中点. .AB=BE=DE=AD..四边形ABED是菱形 .AG=BG=GH.由①知AH=AG, 拓展在线 .AG=AH=GH..△AGH是等边三角形 13.(1)证明：：点B,点D关于AC所在直线对称， ∴.∠AHG=60°..∠ABH=30°.∴.∠ABC=60°. .OD=OB,AC⊥BD. AF⊥AB,∴.∠BAP=90°.∴.∠APB=30°. :AB∥CD,∴.∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC. .△AOB≌△COD(AAS).∴.AB=CD. ∴PC=2FC.∴PF=√PC-F=√3CF. .四边形ABCD是平行四边形. 如图，连接AC,,∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD, 又AC⊥BD,四边形ABCD是菱形. .△ADC是等边三角形 (2),四边形ABCD是菱形，AD=CD=BC=5. .AFCD,.'.CF=DF..'PF=3 DF. 由题意，得DE⊥CE, .DE=√CD2-CE=V52-32=4. ,BE=BC+CE=5+3=8, ∴.BD=√DE+BE=4W5. 1.6.2菱形的判定 基础在线 :ACLBD,号BDX-号-BCXDE. 1.B2.4 :.0C-BCX DE-5X4-5. 3.四边形ABCD是平行四边形， BD 45 .AD=BC,AB∥CD. 即线段OC的长为√5. 16 探究在线·八 1.7正方形 2.(1)证明：EF是线段AC的垂直平分线， 基础在线 ,∴.AF=CF,AE=CE,EF⊥AC 1.D2.B3.B4.C5.25 .△ACF是等腰三角形..∠AFO=∠CFO. 6.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ,四边形ABCD是平行四边形， .AB=CB,∠ABD=∠CBD. ∴.AD∥BC.∴.∠AFO=∠CEO. 又，BE=BE,∴.△ABE≌△CBE(SAS). ./CFO=∠CEO..CE=CF. (2)四边形ABCD是正方形， ∴.AF=CF=CE=AE..四边形AECF是菱形. .∠BAD=90°，∠ADB=45° (2)AC⊥AB,∠B=30°， .'DE-DA, .∠ACB=90°-∠B=60°，即∠OCE=60. ∴∠DAE=∠DBA=号×180°-45)=67.5 四边形AECF是菱形，AE=3, .CE=AE=3,EF⊥AC,S菱形AECF=4 SAOCE· ∴.∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°. 在Rt△OCE中，∠OEC=90°-∠OCE=30°， 7.A 8.'∠BAC=90°，DE⊥AB,DF⊥AC, 0c=cE=号，0E=VCE-0C-3 2 ∴∠BAC=∠AED=∠AFD=90. S5m=45amE=4×号00.0E=-2×是×3Y9- 1 3 ∴.四边形AEDF是矩形. 2 :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, 9y5.即四边形AECF的面积为9y 2 2 .DE=DF..四边形AEDF是正方形 3.(1)证明：，四边形ABCD是菱形， 9.①②或①③ .AB∥CD..∠AFE=∠DCE. 能力在线 点E是AD的中点，AE=DE. 10.A11.4128 在△AFE和△DCE中， 13.(1)如图，四边形EGFH即为所求正方形. ∠AFE=∠DCE, (2)证明：，四边形ABCD是正方形， ∠AEF=∠DEC, .AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C LAE=DE, =∠D. .△AFE≌△DCE(AAS)..AF=CD. 由作图可知，AE=DH=CF=BG, (2)BD⊥DF.理由如下： ∴.AG=BF=CH=DE 四边形ABCD是菱形，.AB=AD=CD. .△AEG≌△BGF≌△CFH≌△DHE. .AF=CD,..AB=AD=AF. .EG=GF=FH=EH,∠AGE=∠BFG ∴.∠ABD=∠ADB,∠ADF=∠AFD. .四边形EGFH是菱形. ∴∠BDP=∠ADB+∠ADF=号×I80°=90 :∠BFG+∠BGF=90°，.∠AGE+∠BGF=90. ∴.BD⊥DF ∠EGF=90°..四边形EGFH为正方形. (3)60° 拓展在线 4.(1)证明：过点E作EM⊥BC于点M, 14.C EN⊥CD于点N, 微专题2特殊平行四边形的性质与判定 :四边形ABCD是正方形，AC是对角线， 1.①或② ∴.∠ECN=∠ECM=45°. (1)选择①AB∥CD, 又.EN⊥CD,EM⊥BC, 证明：，AD∥BC,AB∥CD,∴.四边形ABCD是平行四边形. .EN=EM..四边形EMCN是正方形 ∠ABC=90°，，四边形ABCD是矩形. ∴.∠NEM=∠DEF=90°..∠DEN=∠FEM. 选择②证明略， ∠DNE=∠FME=90°， (2)四边形ABCD是矩形， 在△DEN和△FEM中，〈EN=EM, ∴.∠ABC=90°，BD=AC. N∠DEN=∠FEM, .△DEN≌△FEM(ASA). ZACB-30",AB-3,AB-7AC. .ED=EF. ∴.AC=2AB=6..BD=6. (2)2 年级数学（下）·X灯