1.5.2 矩形的判定-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

©1.5.2 ① 基础在线 目知识要点分类练。 知识点1有一个角是直角的平行四边形是 矩形 1.(郴州期末)如图，已知四边形ABCD是平行 四边形，连接对角线BD并延长使得BE= FD,且AE⊥EC.证明：四边形AECF是矩形. B 知识点2三个角是直角的四边形是矩形 2.下列各图中，是矩形的是 ) B D 3.如图，在□ABCD中，AE⊥CD于点E,CFI AB于点F,求证：四边形AECF是矩形， 矩形的判定 知识点3对角线相等的平行四边形是矩形 4.如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度 分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是 直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在 绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组 对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致. 这种检查方法用到的数学依据是 () A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.三个角都是直角的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相平分的四边形是矩形 5.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要 添加的条件是 () A.∠ABD=∠CBDB.AC=BD C.AC⊥BD D.AB-BC 6.如图，在平行四边形ABCD中，AB=3,BC 7,延长DC至点E,使CE=DC.连接AE,交 BC于点F,连接AC,BE,∠AFC=2∠D.求 证：四边形ABEC是矩形. 第1章22 2能力在线》 方法规律综合练 7.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8,BC= 6,AC=10,则BD= () A.9 B.10 C.11 D.12 ④E ⊙D 第7题图 第8题图 8.某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若 把每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这 四个点为顶点组成的四边形是矩形的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.如图，直线AB∥CD,EG平分∠AEF,EH⊥1 GE,且平移EH恰好到GF.下列结论中： ①EH平分∠BEF;②EG=HF;③FH平分 ∠EFD;④∠GFH=90°.一定正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A A D 第9题图 第10题图 10.(永州期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，BA=5,BC=13,D是斜边BC上的一个 动点，过点D分别作DM⊥AB于点M,DN ⊥AC于点N,连接MN,则线段MN长的最 小值为 11.(教材P31习题T3变式)（中考·云南）如 图，在△ABC中，∠ABC=90°，点O是AC 的中点.延长BO至点D,使OD=OB.连接 AD,CD,记AB=a,BC=b,△AOB的周长 为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的 周长为l3. (1)求证：四边形ABCD是矩形； 23探究在线八年级数学（下）·X灯 (2)若l2一11=2，l3=28,求AC的长. ③拓展在线》培优拔尖提升练 12.(衡阳期末)如图，在□ABCD中，点E是边 BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长 线于点F.连接AC,BF, (1)求证：△ABE≌△FCE; (2)当AE=2AD时，请判断四边形ABFC 的形状，并说明理由，又，多边形的外角和是360°， ,AB=AC,∴.FE=FD 360° 。2 六180文m-2=9,解得m=1. (2)由(1)知，EF为△ABC的中位线，.EF∥AB. .∠EFC=∠BAC=24°. 经检验，n=11是该方程的解。 ,点F是AC的中点，∠ADC=90°， .这个多边形的边数是11. ∴.FD=AF.∴.∠ADF=∠DAF=24 14.,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O, .∠DFC=∠ADF+∠DAF=48°. .BO=DO,AO=CO. ∴∠EFD=∠DFC+∠EFC=72°. .AF=CE,..AF-OA=CE-OC...FO=EO. .FE=FD, :∠FOD=∠EOB,∴.△FOD≌△EOB(SAS). ∴.DF=BE.即BE=DF ∠PED=∠EDF=合(18O-∠EFD)=5 15.(1)如图，△A1B1C1为所求作的三角形. 拓展在线 13.(1)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC 与BD长度之和.证明如下： 点H,G分别为AD,CD的中点，HG-号AC “点E,F分别为AB,BC的中点，∴EF=号AC (2)四边形BC1B1C是平行四边形.理由如下： ∴HG=EF=号AC,同理HE=GF=分BD, 由作图知，点B与点B1,点C与点C1分别关于点O成中 ∴瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长为HG十EF十HE 心对称， ..OB=OB,OC=OCI. +GF-2AC+AC+BD+BD-AC+BD. .四边形BCB1C是平行四边形. (2)瓦里尼翁平行四边形EFGH中，∠HEF的度数为 16.(1):四边形ABCD是平行四边形， 35°或145° ∴.AB=CD,AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF. 1.5矩形 ∠1=∠2，∴.∠AEB=∠CFD. 1.5.1矩形的性质 ∠ABE=∠CDF, 基础在线 在△ABE和△CDF中， ∠AEB=∠CFD, 1.矩有一个角是直角的平行四边形是矩形 AB-CD 2.B3.C .△ABE≌△CDF(AAS).,.BE=DF 4.,四边形ABCD和四边形ECGF都是矩形， (2)△ABE≌△CDF,∴AE=CF. .AD=BC,∠D=90°=∠ECG. ∠1=∠2，.AE∥CF 点B,C,G在一条直线上，且点C是BG的中点， .四边形AECF是平行四边形. ..CG=BC=AD. 1.4三角形的中位线定理 又：点E恰好在AG上，∴.∠AED=∠CEG. 基础在线 ∴.△AED≌△GEC.∴.AE=GE. 1.A2.B3.C4.A5.C6.C7.B 5.B6.A 8.点D,E分别是边AB,BC的中点，DE=10, 7.,四边形ABCD是矩形， ∴.AC=2DE=20. ,在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点F是边AC的中点， .AC-BD,OA-AC,OD-BD. BF=2AC=10, .OA=OD.∴.∠CAD=∠BDA. DE∥AC,∠CAD=∠EDA.∠BDA=∠EDA. 能力在线 8.C 9.c10.C1.2 能力在线 12.(1)证明：，点E,F分别是BC,AC的中点， 9.C10.D11.1012.33 EF为△ABC的中位线.∴EF=AB. 13.(1)作图如图所示. (2)四边形ABCD是矩形， :点F是AC的中点，∠ADC=90,FD=号AC ∴∠BAD=∠ABC=90°，OC=OB OA-OD. 探究在线·八年 由作图知，AE平分∠BAD,∴∠BAE=号∠BAD=45 .BC=2BF,AE-2AF. N2∠D=∠AFC=∠ABC+∠BAE,∠ABC=∠D, .∠AEB=90°-∠BAE=45°=∠BAE. ∠ABC=∠BAE..AF=BF ..AB=BE. .AE=BC..四边形ABEC是矩形 OC=BE,∴.OB=AB=OA. 能力在线 .△AB0是等边三角形.∴∠BAO=60°. .∠EAO=∠BAO-∠BAE=60°-45°=15. 7B&C9.D108 拓展在线 11.(1)证明：点O是AC的中点，.OA=OC. 14.(1)证明：：四边形ABCD是矩形， ,OD=OB,.四边形ABCD是平行四边形. ∴.AB∥CD,AD=BC,BD=AC. :∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形. ∴∠FAE=∠CDE. (2)2-=BO+OC+BC-(BO+AB+AO),AO= ,点E是AD的中点，AE=DE. OC, ∠FAE-∠CDE, ..-=BC-AB=b-a=2. 在△FAE和△CDE中，AE=DE, 四边形ABCD是矩形， ∠FEA=∠CED, ∴.AB=CD=a,AD=BC=b. ∴.△FAE≌△CDE(ASA)..CD=FA. ∴.a+a+b+b=28.∴a+b=14. 又CD∥AF, b-a=2, a=6, .四边形ACDF是平行四边形.AC=DF. 解得 a+b=14, b=8. .AC=BD,.BD=DF. ∠ABC=90°，.AC=√a+6=10. (2):四边形ABCD是矩形， 拓展在线 ∴.∠BCD=∠CDE=90° 12.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ,CF平分∠BCD,∴∠DCE=45. ∴.AB∥DC.∴.∠BAE=∠CFE. △CDE是等腰直角三角形.∴.CD=DE. 点E是边BC的中点，∴.BE=CE ,点E是AD的中点， ∠BAE=∠CFE, CD-DE-AD-BC-3. 在△ABE和△FCE中， ∠AEB=∠FEC, 1.5.2矩形的判定 BE-CE, 基础在线 .∴.△ABE≌△FCE(AAS). 1.如图，连接AC交BD于点O, (2)四边形ABFC是矩形.理由如下： ,四边形ABCD是平行四边形， :四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC. ..OB-OD,AO-OC. :△ABE≌△FCE,AB=FC,AE=FEAE=AE .'BE=FD, ..OB+EB=OD+FD...OE=OF. AE=2AD∴AF=AD=BC .四边形AECF是平行四边形. AB∥DC,AB=FC,.四边形ABFC是平行四边形. AE⊥EC,∴.四边形AECF是矩形， :AF=BC,.四边形ABFC是矩形. 2.D 1.6菱形 3.AE⊥CD,CF⊥AB,∴∠AEC=∠AFC=90. 1.6.1菱形的性质 在□ABCD中，AB∥CD, 基础在线 .∠EAF=180°-∠AEC=90°， 1.AB=AD(答案不唯一) ∴.∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°. 2.D3.A4.A5.B6.C7.A8.C .四边形AECF为矩形. 9..四边形ABCD是菱形，.AB=BC 4.C5.B .AE=CF,..AB-AE=BC-CF,BE=BF. 6..四边形ABCD是平行四边形， BF=BE, ∴AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠D. 在△ABF和△CBE中，∠B=∠B, .CE=CD,..AB=CE. BA=BC, ∴四边形ABEC是平行四边形. ∴.△ABF≌△CBE(SAS)..AF=CE. 级数学（下）·X灯 15