1.5.1 矩形的性质-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

1.5 ©1.5.1 ①基础在线 > 知识要点分类练 知识点1矩形的定义 1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： 先裁出两对符合规格的铝合金窗料（如图①）， 使AB=CD,EF=GH,然后摆放成如图②四 边形，将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）， 调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗 框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗 框是 形，依据的数学原理是 AB C D E F G▣H 图① 图② 图③ 图④ 知识点2矩形的四个角都是直角 2.(郴州期中)如图，L∥m,矩形ABCD的顶点B 在直线m上，则∠a= A.10° B.20 C.30° D.40° 0 B 第2题图 第3题图 3.(中考·内蒙古)如图，ABCD是一个矩形草 坪，对角线AC,BD相交于点O,点H是BC 边的中点，连接OH,且OH=20m,AD= 30m,则该草坪的面积为 () A.2400m B.1800m2 C.1200m2 D.600m2 4.如图，在矩形ABCD和矩形ECGF中，点B, C,G在一条直线上，且点C是BG的中点，连 接AG,与CD恰好交于点E,求证：AE=GE. 矩形 矩形的性质 为 知识点3矩形的对角线相等 5.(娄底期中)如图，在矩形ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,若OA=2,则BD的长为 () A.2 B.4 C.6 D.8 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,如果∠ADB=25°，那么∠AOB的度 数为 () 0 A.50° B.45° C.40° D.35° 7.如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DE∥ AC,交BA的延长线于点E.求证：∠BDA= ∠EDA. 第1章20 知识点4矩形的轴对称性 8.下列说法中，正确的有 () ①平行四边形和矩形都是中心对称图形； ②矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③矩形是轴对称图形，连接两组对边中点的线 段是它的对称轴； ④矩形具有平行四边形的所有性质。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ②能力在线》方法规律综合练… 9.如图，点E在矩形ABCD的边BC的延长线 上，连接AC,DE,BE=AC,若∠E=70°，则 ∠ACB的度数是 A.30° B.35° C.40° D.45° 第9题图 第10题图 10.如图，在矩形ABCD中，M为AD上一点，且 BM⊥CM,点P,Q分别为BM,CM的中点， 连接AP,PQ,DQ.若AP=4,DQ=3,则四 边形APQD的周长为 () A.24B.12 C.17 D.22 11.（中考·徐州)如图，点E,F,G,H分别为矩 形ABCD各边的中点.若AB=3,BC=4,则 四边形EFGH的周长为 H 第11题图 第12题图 12.如图，∠BOD=60°，BO=DO,点A在OB 上，四边形ABCD是矩形，且AB=3,连接 AC,BD交于点E,连接OE,则OE= 13.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与 BD相交于点O, 21探究在线八年级数学（下）·灯 (1)尺规作图：作∠BAD的平分线，交BD于 点F,交BC于点E;(保留作图痕迹，不写作法) (2)若OC=BE,求∠EAO的度数. ③拓展在线》培优拔尖提升练…。 14.(教材P28练习T3变式)如图，在矩形ABCD 中，点E是AD的中点，延长CE,BA相交于 点F,连接AC,BD,DF. (1)求证：BD=DF; (2)当CF平分∠BCD,且BC=6时，求CD 的长.又，多边形的外角和是360°， ,AB=AC,∴.FE=FD 360° 。2 六180文m-2=9,解得m=1. (2)由(1)知，EF为△ABC的中位线，.EF∥AB. .∠EFC=∠BAC=24°. 经检验，n=11是该方程的解。 ,点F是AC的中点，∠ADC=90°， .这个多边形的边数是11. ∴.FD=AF.∴.∠ADF=∠DAF=24 14.,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O, .∠DFC=∠ADF+∠DAF=48°. .BO=DO,AO=CO. ∴∠EFD=∠DFC+∠EFC=72°. .AF=CE,..AF-OA=CE-OC...FO=EO. .FE=FD, :∠FOD=∠EOB,∴.△FOD≌△EOB(SAS). ∴.DF=BE.即BE=DF ∠PED=∠EDF=合(18O-∠EFD)=5 15.(1)如图，△A1B1C1为所求作的三角形. 拓展在线 13.(1)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC 与BD长度之和.证明如下： 点H,G分别为AD,CD的中点，HG-号AC “点E,F分别为AB,BC的中点，∴EF=号AC (2)四边形BC1B1C是平行四边形.理由如下： ∴HG=EF=号AC,同理HE=GF=分BD, 由作图知，点B与点B1,点C与点C1分别关于点O成中 ∴瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长为HG十EF十HE 心对称， ..OB=OB,OC=OCI. +GF-2AC+AC+BD+BD-AC+BD. .四边形BCB1C是平行四边形. (2)瓦里尼翁平行四边形EFGH中，∠HEF的度数为 16.(1):四边形ABCD是平行四边形， 35°或145° ∴.AB=CD,AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF. 1.5矩形 ∠1=∠2，∴.∠AEB=∠CFD. 1.5.1矩形的性质 ∠ABE=∠CDF, 基础在线 在△ABE和△CDF中， ∠AEB=∠CFD, 1.矩有一个角是直角的平行四边形是矩形 AB-CD 2.B3.C .△ABE≌△CDF(AAS).,.BE=DF 4.,四边形ABCD和四边形ECGF都是矩形， (2)△ABE≌△CDF,∴AE=CF. .AD=BC,∠D=90°=∠ECG. ∠1=∠2，.AE∥CF 点B,C,G在一条直线上，且点C是BG的中点， .四边形AECF是平行四边形. ..CG=BC=AD. 1.4三角形的中位线定理 又：点E恰好在AG上，∴.∠AED=∠CEG. 基础在线 ∴.△AED≌△GEC.∴.AE=GE. 1.A2.B3.C4.A5.C6.C7.B 5.B6.A 8.点D,E分别是边AB,BC的中点，DE=10, 7.,四边形ABCD是矩形， ∴.AC=2DE=20. ,在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点F是边AC的中点， .AC-BD,OA-AC,OD-BD. BF=2AC=10, .OA=OD.∴.∠CAD=∠BDA. DE∥AC,∠CAD=∠EDA.∠BDA=∠EDA. 能力在线 8.C 9.c10.C1.2 能力在线 12.(1)证明：，点E,F分别是BC,AC的中点， 9.C10.D11.1012.33 EF为△ABC的中位线.∴EF=AB. 13.(1)作图如图所示. (2)四边形ABCD是矩形， :点F是AC的中点，∠ADC=90,FD=号AC ∴∠BAD=∠ABC=90°，OC=OB OA-OD. 探究在线·八年 由作图知，AE平分∠BAD,∴∠BAE=号∠BAD=45 .BC=2BF,AE-2AF. N2∠D=∠AFC=∠ABC+∠BAE,∠ABC=∠D, .∠AEB=90°-∠BAE=45°=∠BAE. ∠ABC=∠BAE..AF=BF ..AB=BE. .AE=BC..四边形ABEC是矩形 OC=BE,∴.OB=AB=OA. 能力在线 .△AB0是等边三角形.∴∠BAO=60°. .∠EAO=∠BAO-∠BAE=60°-45°=15. 7B&C9.D108 拓展在线 11.(1)证明：点O是AC的中点，.OA=OC. 14.(1)证明：：四边形ABCD是矩形， ,OD=OB,.四边形ABCD是平行四边形. ∴.AB∥CD,AD=BC,BD=AC. :∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形. ∴∠FAE=∠CDE. (2)2-=BO+OC+BC-(BO+AB+AO),AO= ,点E是AD的中点，AE=DE. OC, ∠FAE-∠CDE, ..-=BC-AB=b-a=2. 在△FAE和△CDE中，AE=DE, 四边形ABCD是矩形， ∠FEA=∠CED, ∴.AB=CD=a,AD=BC=b. ∴.△FAE≌△CDE(ASA)..CD=FA. ∴.a+a+b+b=28.∴a+b=14. 又CD∥AF, b-a=2, a=6, .四边形ACDF是平行四边形.AC=DF. 解得 a+b=14, b=8. .AC=BD,.BD=DF. ∠ABC=90°，.AC=√a+6=10. (2):四边形ABCD是矩形， 拓展在线 ∴.∠BCD=∠CDE=90° 12.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ,CF平分∠BCD,∴∠DCE=45. ∴.AB∥DC.∴.∠BAE=∠CFE. △CDE是等腰直角三角形.∴.CD=DE. 点E是边BC的中点，∴.BE=CE ,点E是AD的中点， ∠BAE=∠CFE, CD-DE-AD-BC-3. 在△ABE和△FCE中， ∠AEB=∠FEC, 1.5.2矩形的判定 BE-CE, 基础在线 .∴.△ABE≌△FCE(AAS). 1.如图，连接AC交BD于点O, (2)四边形ABFC是矩形.理由如下： ,四边形ABCD是平行四边形， :四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC. ..OB-OD,AO-OC. :△ABE≌△FCE,AB=FC,AE=FEAE=AE .'BE=FD, ..OB+EB=OD+FD...OE=OF. AE=2AD∴AF=AD=BC .四边形AECF是平行四边形. AB∥DC,AB=FC,.四边形ABFC是平行四边形. AE⊥EC,∴.四边形AECF是矩形， :AF=BC,.四边形ABFC是矩形. 2.D 1.6菱形 3.AE⊥CD,CF⊥AB,∴∠AEC=∠AFC=90. 1.6.1菱形的性质 在□ABCD中，AB∥CD, 基础在线 .∠EAF=180°-∠AEC=90°， 1.AB=AD(答案不唯一) ∴.∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°. 2.D3.A4.A5.B6.C7.A8.C .四边形AECF为矩形. 9..四边形ABCD是菱形，.AB=BC 4.C5.B .AE=CF,..AB-AE=BC-CF,BE=BF. 6..四边形ABCD是平行四边形， BF=BE, ∴AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠D. 在△ABF和△CBE中，∠B=∠B, .CE=CD,..AB=CE. BA=BC, ∴四边形ABEC是平行四边形. ∴.△ABF≌△CBE(SAS)..AF=CE. 级数学（下）·X灯 15