精品解析：陕西靖边县靖边中学2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试卷

靖边中学2024级2025~2026学年度第一学期期末考试试卷 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第二章~第三章，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，则（ ） A. B. C. 16 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算． 【详解】，则， 则是公比为2的等比数列， ∴， 故选：D． 2. 两平行直线，之间的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两平行直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】由题意可知可以化为， 所以两平行直线，之间的距离. 故选：B. 3. 若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，进而结合的关系可得，即可求解离心率. 【详解】椭圆的短轴长是焦距的倍， ，即， 则，即，则， 椭圆的离心率为. 故选：B. 4. 已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程. 【详解】∵，， ∴两圆方程相减得，，化简得. 故选：B. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由简单复合函数的求导法则即可求解. 【详解】解：令， 所以 即 所以， 故选：D 6. 已知数列中，，，则数列前项的和为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推关系先求出数列的前几项，可归纳出数列是周期数列，进而可求得前项的和. 【详解】因为，， 所以，，， ，， 所以数列是是周期为4的周期数列， 且， 所以前项的和． 故选：C． 7. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导函数，再应用单调递增导函数大于等于0，再构造函数求函数最小值，列不等式求参数范围即可. 【详解】函数定义域为，， 因为函数在定义域内单调递增，所以, 所以在恒成立，所以 设， 所以单调递减；单调递增； 所以， 所以. 故选：A. 8. 为了促进科技探究学习与竞技的巧妙融合，在实践中激发创新意识和研究精神，某市举办青少年机器人设计大赛．在比赛中有一个追逐项目，如图，在平面直角坐标系中，直线为竞技区与安全区的分界线，机器人甲在点处，机器人乙在竞技区内的点处，点在第一象限，且直线的倾斜角为．已知机器人甲的速度是机器人乙的3倍，机器人甲、乙可以向任意方向直线前进，机器人甲、乙同时出发，若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则线段长度的最大值是（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】设长得到点坐标，设两机器人相遇点，由速度关系得到等量关系，求得点的轨迹方程，由题意得到圆与直线相切，由点到直线的距离等于半径得到等量关系，解得参数的值，再验证结果即可. 【详解】设，因为在第一象限，且直线的倾斜角为，所以， 设机器人甲在点处追上机器人乙，由机器人甲的速度是机器人乙的3倍，得， 所以，化简可得， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则圆在竞技区（含直线）内，即直线与圆相切或相离， 又点到直线的距离， 所以，解得或， 当时，在安全区，不满足要求， 所以，即长度的最大值是2. 故选：B. 【点睛】思路点睛，本题是点的轨迹方程以及直线与圆相切的综合运用，本题通过速度得到路程的关系，找到两个机器人相遇点的轨迹方程是解题关键，由在竞技区（含直线）内机器人甲一定能追上机器人乙，说明交点不能超过直线，即相切. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则（ ） A. 双曲线的实轴长为8 B. 双曲线的虚轴长为3 C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线的斜率为 【答案】AD 【解析】 【分析】由曲线方程得到，从而知道曲线的实轴、虚轴长和离心率及渐近线的斜率. 【详解】由得双曲线中， ∴， ∴实轴，虚轴，故A选项正确，B选项错误； 离心率，故C选项错误； 渐近线方程，则斜率为，故故D选项正确. 故选：AD 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数运算法则计算导函数与二阶导函数，根据题目所给定义可确定选项. 【详解】A.定义域为，，，故A正确. B.定义域为，，，故B正确. C.定义域，，，故C正确. D.定义域为，，， 当时，，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知数列的首项为1，且，数列的前n项积为，且不等式对都成立，则（ ） A. B. 数列的前n项和为 C. D. 实数k的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由已知递推关系可构造出等比数列，从而求出数列的通项公式；对于B，由数列的通项公式，再利用分组求和即可求出数列的前n项和；对于C，先写出数列的通项公式，再得到其前项积的表达式，即可判断C选项；对于D，由已知可得得，令，利用作商法分析数列的单调性，由此可判断D选项. 【详解】由，得，又， 所以数列是首项为2，公比为4的等比数列， 所以，即，故A正确； 数列的前n项和为，故B错误； 因为，所以，故C错误； 由，得，令， 所以，， ，所以数列单调递减， 当时，的最大值为， 所以，即实数k的最小值为，故D正确， 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】对函数求导，结合导数的定义求目标式的值. 【详解】由题设，根据导数的概念知. 故答案为：6 13. 已知等差数列的前项和为，且，，则取得最小值时，____________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得以及，即可求解. 【详解】由可得，其中公差， 由可得， 因此， 根据等差数列的性质得： 当时，；当时，. 因此当时，取得最小值， 故答案为：. 14. 已知抛物线的准线交轴于点，过点作直线交于A，B两点，且，则直线的斜率是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点，设出点坐标，结合韦达定理和向量公式，并求出点，代入韦达定理得到的式子求解作答. 【详解】抛物线的准线为，所以， 显然直线的斜率存在，设其方程为，， 由得， 则由，可得且，（*）， 因为，所以，得， 代入（*），解得或 将其分别代入，可得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，过点且斜率为1的直线交圆于，两点. （1）求线段的中垂线方程； （2）求弦的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线的斜率，结合过圆心，待定系数法进行求解； （2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求出答案. 【小问1详解】 由直线的斜率为1，得线段的中垂线的斜率为， 又过圆心，则的方程为， 所以线段的中垂线方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，将代入得， 解得，可得直线的方程为， 的圆心为，半径为4， 圆心到直线距离为， 所以. 16. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行． （1）求的值； （2）求函数在区间上的极值与最值． 【答案】（1） （2）极小值为，极大值为，最大值为12，最小值为． 【解析】 【分析】（1）由导函数求得函数在切线的斜率，由直线平行得到的值； （2）将的值代入原函数，求出导函数，令导函数为0，求得极值点.然后求出函数的极值和端点的函数值，从而得到函数的极值和最值. 【小问1详解】 由，得，． 所以． 因为函数的图象在点处的切线与直线平行， 所以，即，解得． 【小问2详解】 由（1），得， 令，解得，或． 当变化时，的变化情况如下表所示： 1 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 因此，当时，有极小值，且极小值为，当时，有极大值，且极大值为． 又，所以函数在区间上的最大值为12，最小值为． 17. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得出是首项为3，公差为5的等差数列，根据等差数列通项公式求得，即可求得数列的通项公式； （2）结合（1），根据错位相减法求解即可． 【小问1详解】 由题意知，所以由，得， 所以，又， 所以是首项为3，公差为5的等差数列， 所以，即． 【小问2详解】 由（1）得， 所以①， ②， ①②，得 ， 所以． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点． ①求直线的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②恒过点． 【解析】 【分析】（1）根据焦距和求出和，利用求出，得到椭圆方程； （2）①设，则，计算出； ②设，若直线的斜率为0，得到，与不在轴上矛盾，不合题意，若直线的斜率不为0，设，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由①知，又，所以，列出方程，舍去不合要求的根，求出，所以直线恒过点． 【小问1详解】 由，得，解得， 设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得， 又，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①由题意，得， 设，由在椭圆上，得，即， 所以， 即直线的斜率之积为． ②设， 若直线的斜率为0，则关于轴对称，所以， 又直线的斜率是直线的斜率的3倍，所以，即， 由不在轴上，得，与矛盾， 所以直线的斜率不为0． 设直线的方程为， 由，得， 所以， 且， 由①知，又，所以， 所以，即， 化简，得， 将代入上式并化简，得 即，解得或， 当时，与矛盾，舍去， 当时，满足 所以直线恒过点． 【点睛】处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 19. 已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列的前项和，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用即可求解，再进行检验即可； （2）通过构造新函数，研究其单调性来证明不等式； （3）先根据和的关系求出，再结合前面的结论进行放缩得到，进而结合等比数列求和证明不等式即可. 【小问1详解】 由，得， 因为函数的极值点为0，所以，解得， 此时，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以0是函数的极值点，满足题意，即. 【小问2详解】 令， 则， 因，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得， 即，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则 ， 当且仅当，即或时等号成立，但，所以等号不成立， 所以，即． 【小问3详解】 证明：当时，， 当时，，满足上式， 所以． 由（2）知对，即， 取，则， 所以，即， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖边中学2024级2025~2026学年度第一学期期末考试试卷 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第二章~第三章，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，则（ ） A. B. C. 16 D. 32 2. 两平行直线，之间的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列中，，，则数列前项的和为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知函数在定义域内单调递增，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 为了促进科技探究学习与竞技的巧妙融合，在实践中激发创新意识和研究精神，某市举办青少年机器人设计大赛．在比赛中有一个追逐项目，如图，在平面直角坐标系中，直线为竞技区与安全区的分界线，机器人甲在点处，机器人乙在竞技区内的点处，点在第一象限，且直线的倾斜角为．已知机器人甲的速度是机器人乙的3倍，机器人甲、乙可以向任意方向直线前进，机器人甲、乙同时出发，若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则线段长度的最大值是（ ） A. B. 2 C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则（ ） A. 双曲线的实轴长为8 B. 双曲线的虚轴长为3 C. 双曲线离心率为 D. 双曲线的渐近线的斜率为 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的首项为1，且，数列的前n项积为，且不等式对都成立，则（ ） A. B. 数列的前n项和为 C. D. 实数k最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 已知等差数列的前项和为，且，，则取得最小值时，____________． 14. 已知抛物线的准线交轴于点，过点作直线交于A，B两点，且，则直线的斜率是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，过点且斜率为1的直线交圆于，两点. （1）求线段中垂线方程； （2）求弦的长. 16. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行． （1）求的值； （2）求函数在区间上的极值与最值． 17. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点． ①求直线的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 19. 已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列前项和，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $