江西省南昌市南昌中学教育集团2025-2026学年第一学期期末测试八年级数学试卷

南昌中学教育集团2025-2026学年第一学期期末测试八年级数学试卷 命题人：胡华龙 审题人：章驰 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的选项） 1.以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ D ）． ( 微云人工智能 ) ( 纳米 AI ) ( ChatGPT ) ( DeepSeek )A. A B C D 2.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ B ）． A.x(x－1)=x2－x B.x2－2x+1=(x－1)2 C.x2+3x－4=x(x+3)－4 D.y(y+1)=y2+y 3.下列运算正确的是（ C ）． A.x2+x2=x4 B.x3·x2=x6 C.2x4÷x2=2x2 D.(3x)2=6x2 4.五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中．如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（∠A，∠B，∠C，∠D，∠E）的度数必须相等。设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为（ B ）． A.40° B.36° C.35° D.30° ( （第6题） ) ( （第5题） ) ( （第4题） ) 5.如图，点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE，且∠BDA=∠A，∠A:∠C=5:3，则∠CBE的度数为（ A ）． A.80° B.60° C.70° D.85° 6.如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，BC=5，P为BC上一动点，将△ABP，△ACP分别沿AB，AC向外翻折，得到△ABD，△ACE，连接DE，当△ADE面积的最小值为8时，则△ABC的面积为（ D ）． A.5 B.6 C.8 D.10 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.要使分式有意义，则x的取值范围为 x≠1 ． 8.“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，已知梅花花粉的直径约为0.000023米．数据“0.000023”用科学记数法表示为 2.3×10-5 ． 9.分解因式： 3(2x+y)(2x－y) ． 10. 计算： －4 ． 11.如图，D是BC上一点，AD平分∠BAC，AB=8，AC=6，若S△ABD=m， ( （第11题） )则S△ACD= （用m的代数式表示）． 12.已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为 1，3或4 ． 3、 解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.计算：（1）； （2）(x－3y)(x+y)． 解：（1）原式=－1+1－9 ……………………………………………………………2分 =－9 …………………………………………………………………3分 （2）原式=x2+xy－3xy－3y2………………………………………………………5分 =x2－2xy－3y2 ……………………………………………………………6分 14.如图，点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，AC=DF，∠ACB=∠DFE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若AB=8，CD=2，求CE的长． 解：（1）证明：∵， ( （第14题） )∴∠A=∠FDE，………………………………………………………1分 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（ASA）；……………………………………………3分 （2）解：由（1）知△ABC≌△DEF， ∴DE=AB=8，…………………………………………………………………4分 ∵CD=2， ∴CE=DE－CD=8－2=6．………………………………………………………6分 15.在等腰△ABC中， AB=CB ，将△ABC沿射线AB方向平移至△BEF的位置．请仅用无刻度直尺按下列要求作图. （1）在图①中，作出BF的中点M； （2）在图②中，作出AC 的中点N． ( 图 ② ) ( 图 ① ) 解：（1）如图所示，点M即为所求； ………………………………………………3分 （2）如图所示，点N即为所求；…………………………………………………6分 16.先化简再求值：，其中． 解： …………………………………………………………2分 …………………………………………………………………………4分 ∵ ∴原式．………………………………………………6分 17.先化简，再从-2，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 解： …………………………………………………………………2分 ．……………………………………………………………………………4分 ∵且， ∴且． 当时，原式．………………………………………………6分 4、 解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完，接着又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元． （1）求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元； （2）如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每个熊猫毛绒玩具的售价至少是多少元？ 解：（1）设第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是元，则第二批熊猫毛绒玩具每个的进价是元， 根据题意得： ， … …………………………2分 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 答：第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是 25 元；…………………………5分 （2）解：设每个熊猫毛绒玩具的售价为元，根据题意得： ……………………………7分 解得：． 答：每个熊猫毛绒玩具的售价至少是 35 元．……………………………8分 19.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作 △ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）①试说明：△ABD≌△ACE； ②若∠BAC=90°，求∠BCE的度数． （2）设∠BAC=α，∠BCE=β，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 解：（1）①∵， ∴，即：，………2分 在△ABD和△ACE中， ， ( （第 19 题） )∴△ABD≌△ACE（SAS）；……………………………3分 ②∵，， ∴，………………………………………………4分 由①知，△ABD≌△ACE， ∴， ∴；……………………6分 （2）． …………………………………………………8分 20.阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ； A.提取公因式  B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式  D.两数差的完全平方公式 （2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为 ； （3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解； （4） 证明：若n为正整数，则代数式n(n+1)(n+2)(n+3)+1的值一定是某个整数的平方． 解：（1）解：观察做题过程，得该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C；……………………………………………………………………………1分 （2），………………………………………………………………………3分 （3）设． ．…………………………………………………………………………5分 （4） ， 令， 原式 ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方．…………………8分 5、 解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： ( 图 ① 图 ② 图 ③ ) （1）图②中阴影部分的正方形的边长是 ． （2）用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积： 方法一： ；方法二： ． 尝试写出代数式(a+b)2，(a－b)2与ab之间的等量关系： ． （3）根据（2）中的等量关系，解决问题：若x+y=10，xy=16，求x－y的值； （4）【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式，根据图③，写出一个代数恒等式： ． 解：（1）a－b；………………………………………………………………………………………1分 （2）方法一：阴影部分是边长为a－b的正方形，则其面积为(a－b)2；……………………2分 方法二：阴影部分面积是边长为a+b的大正方形面积减去四个长为a，宽为b的长方形面积，则其面积为(a+b)2－4ab； ……………………………………………………………3分 故答案为：(a－b)2；(a+b)2－4ab；(a－b)2=(a+b)2－4ab； ………………………………4分 （3）∵，， ∴， ∴；………………………………………………………………………………7分 （4）解：方法一：正方体棱长为，则其体积为， 方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，则其体积为， ∴．…………………………………………………………9分 22.小华学习多项式时研究了多项式的值为0的问题，发现当mx+n=0或px+q=0时，多项式(mx+n)(px+q)值为0，并把使得A的值为0的x的值称为多项式A的零点．如：多项式x+1的零点为-1，多项式(x+1)(x-1)的零点为-1和1． （1）多项式2x-5的零点为_____； （2）已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点； （3）小华继续研究，及等，发现这些多项式有两个零点，且两个零点的和为2，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项是“2系多项式”，求多项式M． 解：（1）………………………………………………………………………………………2分 （2）根据题意，把代入B得， 解得，， …………………………………………………………………………3分 把代入B得， ∴，， ∴， 令， 解得， ∴多项式B的另一个零点为；…………………………………………………5分 （3）∵， ∴多项式M的一个零点为3， ……………………………………………………6分 则另一个零点为， ∴， ∴， …………………………………………………………………………7分 ∴， 又∵，即 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．………………………………………………………………9分 6、 解答题（本大题共1小题，共12分） 23.在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN=60°， ∠BDC=120°，BD=CD，探究：当M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系． ( 图 ③ ) ( 图 ② ) ( 图 ① ) （1）如图①所示，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系是 ，此时= ；不必证明) （2）如图②所示，当点M，N在边AB，AC上，且DM≠DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （3）如图③所示，当点M，N在边AB，CA的延长线上时，猜想BM，NC，MN之间的数量关系并加以证明； （4）在（3）问的条件下，若此时AN=x，则Q= ．(用含有x，L的式子表示) 解：（1）BM＋NC＝MN ，；…………………………………………………………………2分 （2）（1）问的两个结论仍然成立，…………………………………………………………3分 证明：如图②，在AC的延长线上截取CP＝BM，连接DP， 在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°． ∵∠BDC＝120°，BD＝CD， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠DBM＝∠DCP＝90°． ( 图 ② )在△DBM与△DCP中，， ∴△DBM≌△DCP（SAS），………………………………………………………………4分 ∴∠BDM＝∠CDP，DM＝DP． ∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°， ∴∠PDN＝∠CDP＋∠CDN＝∠BDM＋∠CDN＝120°－60°＝60°． 在△DMN与△DPN中，， ∴△DMN≌△DPN（SAS）， ∴MN＝PN＝NC＋CP＝NC＋BM，…………………………………………………………5分 ∴Q＝AM＋MN＋AN＝(AM＋BM)＋(NC＋AN)＝AB＋AC＝2AB． ∵L＝AB＋AC＋BC＝3AB， ∴；……………………………………………………………………………………6分 （3）CN＝BM＋MN， …………………………………………………………………………7分 证明：如图②，在NC上截取CH＝BM，连接DH， 由（2）知，∠ABD＝∠ACD＝90°， ∴∠MBD＝180°－90°＝90°． 在△DBM和△DCH中，， ∴△DBM≌△DCH（SAS），………………………………………8分 ∴∠BDM＝∠CDH，DM＝DH． ( 图 ③ )∵∠MDN＝∠BDM＋∠BDN＝∠CDH＋∠BDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠NDH＝60°． 在△MDN和△HDN中，， ∴△MDN≌△HDN（SAS），………………………………………9分 ∴MN＝HN． ∵CN＝HN＋CH，CH＝BM， ∴CN＝MN＋BM；……………………………………………………10分 （4）．……………………………………………………12分 学科网（北京）股份有限公司 $▣▣ 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 南昌中学教育集团2025-2026学年第一学期 期末测试八年级数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 注意事项 1 答题前请将姓名、班级、考场、 准考证号填写清楚。 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填 (正面潮上，切勿贴出虚线方框 涂，修改时用橡皮擦干净。 必须在题号对应的答题区域内作 答，超出答题区域书写无效。 正确填涂 缺考标记 单选题 1[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 6[A][B][c][D] 填空题 个 8 a 11 12. 解答题 13 14. B 15.(1) (2) F B 图① 图② 16. 17. 囚囚■ 囚囚■ ■ ■ 9 9 ■ 20.(1) (2) 1 1 21.(1) (2)方法一： 方法二： 等量关系： I 1 囚■囚 22.(1) 囚■囚 ©园 ⑦阁 ①阁 O c N (I) 心 ■ ■南昌中学教育集团2025-2026学年第一学期期末测试八年级数学试卷 命题人：胡华龙审题人：章驰 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的选项） 1.以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是(D DeepSeek ChatGPT 纳米AI 微云人工智能 A B 0 D 2.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是(B). A.x(x-1)=x2-x B.x2-2x+1=(x-1)2 C.x2+3x-4=x(x+3)-4 Dy(y叶1)y2+y 3.下列运算正确的是(C). A.x2+x2=x4 B.x3.x2=x6 C.2x4÷x2=2x2 D.(3x)2=6x2 4五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中.如图是一个用于设计的标准正五 角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（∠A,∠B,∠C,∠D,∠E)的度数必须相等。设计师需 要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为(B) A.40° B.36 C.35 D.30° B (第4题) (第5题) (第6题) 5.如图，点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE,且∠BDA=∠A,∠A:∠C=5:3,则∠CBE的度 数为(A). A.80° B.60° C.70° D.85° 6.如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，BC=5,P为BC上一动点，将△ABP,△ACP分别沿AB,AC向 外翻折，得到△ABD,△ACE,连接DE,当△ADE面积的最小值为8时，则△ABC的面积为(D). A.5 B.6 C.8 D.10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.要使分式，有意义，则x的取值范围为L· x-1 8.“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，己知梅花花粉的直径约为0.000023米.数据“0.000023”用科 学记数法表示为23×103. 9.分解因式：12x2-3y2=3(2x+2x-y 10.计算：（-4)2025×0.252024=-4. 11.如图，D是BC上一点，AD平分∠BAC,AB=8,AC=6,若S4BD, 则SMc=三m(用m的f代数式表示). D (第11题) 4 知：x是整数，M三x,N=足，设y=+N,则所有符合要求的y的正整数值为1,3 x+1 M 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 18计第：()(-)+-3.14°-（学： (2)(x-3y)x+): 解：（1)原式=-1+1-9...... .2分 =-9… 。。■。。。。。▣。▣e▣▣▣。▣。▣。。。。。。。g。。■。。■▣▣。。▣g▣eggg。。。 (2)原式2什y-3y-3y2..................5分 -x2-2y-3y2..6分 14.如图，点E,C,D,A在同一条直线上，AB∥DF,AC=DF,∠ACB=∠DFE. B (1)求证：△ABC≌△DEF: (2)若AB=8,CD=2,求CE的长. 解：(1)证明：，AB∥DF, C D ∴，∠A=∠FDE, 分 (第14题) ∠A=∠FDE 在△ABC和△DEF中 AC=DF ∠ACB=∠DFE ∴.△ABC≌△DEF(ASA): 3分 (2)解：由(1)知△ABC≌△DEF, DE=AB-8,4分 ,CD=2, ∴.CE=DE-CD-8-2-6. 6分 15.在等腰△ABC中，AB=CB,将△ABC沿射线AB方向平移至△BEF的位置.请仅用无刻度直尺按 列要求作图 (1)在图①中，作出BF的中点M; (2)在图②中，作出AC的中点N. A B E B E 图① 图② 解：(1)如图所示，点M即为所求： 3分 (2)如图所示，点N即为所求： .6分 16.先化简再求值：(+3Xx-)-2r2+3)+K-,其中x= 解：(x+3)(x-3)-2(x2+3+(x-1) =x2-9-2x2-6+x2-2x+1... .2分 =-2.x-14 .4分 1 x= 2 原式=-2x-14=-2×14=-15.6分 2 17.先化简Q-3)÷2x+,再从-2,1,2中选取一个合适的数作为x的值代入求值. x+22x+4 解：-3)÷-2x+1 x+2 2x+4 =*+2-32(x+2) x+2 (x-1)2 .2分 =-1.2(x+2) x+2(x-1)2 、2 x-1 .4分 ,x-1≠0且x+2≠0， .x≠1且x≠-2. 当x=2时，原式= 2 =2 2-1 6分 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完，接着 又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元. (1)求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元： (2)如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每个熊猫毛绒玩 具的售价至少是多少元？ 解：(1)设第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是x元，则第二批熊猫毛绒玩具每个的进价是(x+5)元， 根据题意得： 45002500 x+5 x ×1.5，.2分 解得：x=25, 经检验，x=25是原分式方程的解 答：第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是25元；5分 (2)解：设每个熊猫毛绒玩具的售价为y元，根据题意得： 2500 25 ×1+1.5)y≥(2500+4500)×0+25%）7分 解得：y≥35. 答：每个熊猫毛绒玩具的售价至少是35元............8分 19.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上一点（不与点B,C重合），以AD为一边在AD的右侧作 △ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. (1)①试说明：△ABD≌△ACE: ②若∠BAC=90°，求∠BCE的度数. (2)设∠BAC=a,∠BCE=B,则a,B之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论， 解：(1)①.∠DAE=∠BAC, ·∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即：∠BAD=∠CAE,.2分 在△ABD和△ACE中， A AB=AC E ∠BAD=∠CAE, AD=AE B D .△ABD≌△ACE(SAS);3分 (第19题) ②.AB=AC,∠BAC=90, .∠B=∠ACB=45,.4分 由①知，△ABD≌△ACE, ∴.∠ACE=∠B=45°， .∠BCE=∠ACB+∠ACE=45+45=90:6分 (2)C+B=180..8分 20阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下 面是某同学用换元法对多项式(d-2a-1)(a2-2a+3)+4进行因式分解的过程， 解：设a2-2a=A 原式=(A-1)(A+3)+4（第一步) =A2+2A+1(第二步) =(A+1)2(第三步) =(a2-2a+1)2（第四步) 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式 的最后结果为 (3)请你模仿以上方法对多项式(x2-4x-3)(x2-4x+11)+49进行因式分解： (4)证明：若n为正整数，则代数式n(什1)什2)+3)十1的值一定是某个整数的平方. 解：(1)解：观察做题过程，得该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C; ……1分 (2)(a-1)4, 3分 (3)设x2-4x=A. (x2-4x-3)(x2-4x+11)+49 =(A-3)(A+11)+49 =A2+8A+16 =(A+4)2 =(x2-4x+4)2 =(x-2). .5分 (4)n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(m+3)(2+3n+2+1, 令A=n2+31, 原式=A(A+2)+1 =A2+2A+1 =(4+1)2 =(m2+3n+1)2 ,n为正整数， ∴.n2+3n+1为正整数， .代数式n(n+1)(n+2)(n+3)+1的值一定是某个整数的平方.....8分 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.如图①是一个长为2，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形 状拼成一个正方形，请解答下列问题： b b 6 图① 图② 图③ (1)图②中阴影部分的正方形的边长是 (2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积： 方法一： ；方法二： 尝试写出代数式(a+b)2,(a-b)2与ab之间的等量关系： (3)根据(2)中的等量关系，解决问题：若x+y=10,y=16,求x-y的值； (4)【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式，根据 图③，写出一个代数恒等式： 解：(1)-b;1分 (2)方法一：阴影部分是边长为4-b的正方形，则其面积为(a-b):.2分 方法二：阴影部分面积是边长为什b的大正方形面积减去四个长为α，宽为b的长方形面积，则其 面积为(c叶b)2-4ab; 3分 故答案为：(a-b)2:(叶b)2-4ab;(a-b)2=(a+b)2-4ab;.4分 (3),x+y=10,xy=16, ∴.(x-y)=(x+y)2-4xy=102-4×16=36, x-y=±6；. .7分 (4)解：方法一：正方体棱长为a+b,则其体积为(a+b), 方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，则其体积为d+3b+3ab2+b, .(a+b)=a3+32b+3b2+b3...9分 22.小华学习多项式时研究了多项式的值为0的问题，发现当x+0或px+0时，多项式(x+m)(x+q) 值为0，并把使得A的值为0的x的值称为多项式A的零点.如：多项式x+1的零点为-1，多项式(x+1)(x-1) 的零点为-1和1. (1)多项式2x-5的零点为一： (2)已知多项式B=6x-+0)=a-a-0x-号有一个零点为1，求多项式B的另一个零点： ®)小华继续研究x+DG-),x-2)及（心x-)等，发现这些多项式有两个零点，目西 点的和为2，他把这些多项式称为“2系多项式”.若多项M=(2ax+b)(cx-3c)=b.x2-8cx-4a-4(c≠0) 是“2系多项式”，求多项式M. 解：(1) 5 2 .2分 (2)根据腿意，把x=1代入B得B=a-a-少-号0， 解得，a=3, 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。g。。。。。。9g。g。。。。。。5个 把a=3代入B得B=3.x2-2x-1=(x-1)bx+c)=bx2+(c-b)x-c, .b=3,c=1, ∴.B=(x-1)3x+1), 令3x+1=0, 解得=子 “多项式B的另一个零点为3： 5分 (3),'M=(2ar+b)(cx-3c)=(2ar+b)c·(x-3), ∴.多项式M的一个零点为3， 6分 则另一个零点为2-3=-1， .-2a+b=0, ∴.b=2a, …7分 .'M=(2ax+2a)(cx-3c)=2acx2-4acx-6ac, 又，'M=bx2-8cx-4a-4,即M=2ax2-8cx-4a-4 2ac=2a -4ac=-8c' ,c≠0， /a=2 (c=1 ∴.ac=2, .M=4x2-8x-12..9分 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23.在等边△ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,点D为△ABC外一点，且∠MDN=60°， ∠BDC=120°，BD=CD,探究：当M,N分别在直线AB,AC上移动时，BM,NC,MN之间的数量关 系及△AN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系. M B B D D D 图① 图② 图③ (1)如图①所示，当点M,N在边AB,AC上，且DMEDN时，BM,NC,MN之间的数量关系 是 此时=一；不必证明》 (2)如图②所示，当点M,N在边AB,AC上，且DM≠DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？ 写出你的猜想并加以证明： (3)如图③所示，当点M,N在边AB,CA的延长线上时，猜想BMNC,N之间的数量关系并加 以证明； (4)在(3)问的条件下，若此时A=x,则Q= (用含有x,L的式子表示) 解：(1)BM+NC=N, 2 2分 (2)(1)问的两个结论仍然成立， .3分 证明：如图②，在AC的延长线上截取CP=BM,连接DP, 在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°. .∠BDC=120°，BD=CD, ∴.∠DBC=∠DCB=30°， ∴.∠DBM=∠DCP=90°. BM=CP 在△DBM与△DCP中， ∠DBM=∠DCP, BD=CD 图② ∴.△DBM≌△DCP(SAS), ，，,，,，，。，，，。。，， ∴.∠BDM=∠CDP,DM=DP. ,'∠BDC=120°，∠MDNW=60°， ∴.∠PDN=∠CDP+LCDN=∠BDM+∠CDN=120°-60°=60°. DM=DP 在△DN与△DPN中， ∠MDN=∠PDN: DN=DN ∴.△DN≌△DPN(SAS), ..MN=PN=NC+CP=NC+BM, 5分 ∴.Q=AM+N+AN=(AM什B0+(NC+A)=AB+AC=2AB. .'L=AB+AC+BC=3AB, :92 L3 .6分 (3)CN=BM-MN, .7分 证明：如图②，在NC上截取CH=BM,连接DH, 由(2)知，∠ABD=∠ACD=90°， ∴.∠MBD=180°-90°=90°. BD=CD 在△DBM和△DCH中， ∠DBM=∠DCH, BM=CH ∴.△DBM≌△DCH(SAS),.... .8分 ∴.∠BDM=∠CDH,DM=DH. ,'∠MDN=∠BDM+∠BDN=∠CDH+∠BDN=60°，∠BDC=120°， D 图③ ∴.∠NDH=60°. MD=HD 在△MDN和△HDN中， ∠MDN=∠HDN' DN=DN .△MDN≌△HDN(SAS),.9分 ∴.MN=HN. CN=HN+CH,CH=BM, ,∴.CN=N+BM: 10分 (4)0=2x+2L. 3 ………12分南昌中学教育集团2025-2026学年第一学期期末测试八年级数学试卷 命题人：胡华龙审题人：章驰 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的选项） 1.以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是( DeepSeek ChatGPT 纳米AI 微云人工智能 A B 0 D 2.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是(). A.x(x-1)=x2-x B.x2-2x+1=(x-1)2 C.x2+3x-4=x(x+3)-4 Dy(y叶1)y2+y 3.下列运算正确的是( ) A.x2+x2=x4 B.x3.x2=x6 C.2x4÷x2=2x2 D.(3x)2=6x2 4五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中.如图是一个用于设计的标准正五 角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（∠A,∠B,∠C,∠D,∠E)的度数必须相等.设计师需 要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为(). A.409 B.36 C.35 D.30° B (第4题) (第5题) (第6题) 5.如图，点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE,且∠BDA=∠A,∠A:∠C=5:3,则∠CBE的度 数为(). A.80° B.60° C.70° D.85° 6.如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，BC=5,P为BC上一动点，将△ABP,△ACP分别沿AB,AC向 外翻折，得到△ABD,△ACE,连接DE,当△ADE面积的最小值为8时，则△ABC的面积为(). A.5 B.6 C.8 D.10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7,要使分式x有意义，则x的取值范围为 x-1 8.“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，已知梅花花粉的直径约为0.000023米.数据“0.000023”用科 学记数法表示为 9.分解因式：12x2-3y2= 10.计算：(-4)2025×0.252024=_ 11.如图，D是BC上一点，AD平分∠BAC,AB=8,AC=6,若S4BDI, 则S4CD斤 (用m的代数式表示). B D (第11题) 12已知：x是整数，M=,N=2x.设y= 2 x+1 M+N,则所有符合要求的y的正整数值为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.计算：1)(005+(x-314到°-（学： (2)-3y)+y). 14如图，点E,C,D,A在同一条直线上，AB∥DF,AC=DF,∠ACB=∠DFE. (1)求证：△ABC2△DEF; (2)若AB=8,CD=2,求CE的长. (第14题) 15.在等腰△ABC中，AB=CB,将△ABC沿射线AB方向平移至△BEF的位置.请仅用无刻度直尺按下 列要求作图， (1)在图①中，作出BF的中点M (2)在图②中，作出AC的中点N. B B 图① 图② 16.先化简，再求值：(c+3-3)-2r+3)+-,其中x= 2 17先化简Q-3)。2*+1,再从-2,1,2中选取一个合适的数作为x的值代入求值。 x+22x+4 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完，接着 又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元. (1)求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元： (2)如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每个熊猫毛绒玩 具的售价至少是多少元？ 19.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上一点（不与点B,C重合），以AD为一边在AD的右侧作 △ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE, (1)①试说明：△ABD≌△ACE: ②若∠BAC=90°，求∠BCE的度数. (2)设∠BAC=a,∠BCE=B,则a,B之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论. E B D (第19题) 20阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下 面是某同学用换元法对多项式(a2-2a-1)(a2-2a+3)+4进行因式分解的过程. 解：设a2-2a=A 原式=(A-1)(A+3)+4(第一步) =A+2A+1（第二步) =(A+1)2(第三步) =(d-2a+1)2(第四步) 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式 的最后结果为 (3)请你模仿以上方法对多项式(x2-4x-3)(x2-4x+11)+49进行因式分解； (4)证明：若n为正整数，则代数式n(+1)什2)(+3)十1的值一定是某个整数的平方. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.如图①是一个长为2α，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形 状拼成一个正方形，请解答下列问题： a a b b a 图① 图② 图③ (1)图②中阴影部分的正方形的边长是 (2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积： 方法一： ;方法二： 尝试写出代数式(a+b)2,(a-b)2与ab之间的等量关系： (3)根据（2)中的等量关系，解决问题：若x+y=10,=16,求x-y的值； (4)【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式，根据 图③，写出一个代数恒等式： 22.小华学习多项式时研究了多项式的值为0的问题，发现当x+0或px+0时，多项式(x+nm)(px+q) 值为0，并把使得A的值为0的x的值称为多项式A的零点.如：多项式x+1的零点为-1，多项式(x+1)(x-1) 的零点为-1和1. (1)多项式2x-5的零点为一-一： (2)已知多项式B=(x-+=ax-a-x-号有一个零点为1，求多项式B的另一个零点： 3)小华继续解究+-引，(-2)及(x-x等，发现这些多项式有两个零点，且两个零 3、 点的和为2，他把这些多项式称为“2系多项式”.若多项M=(2ax+b)(cx-3c)=b.x2-8cx-4a-4(c≠0) 是“2系多项式”，求多项式M 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23.在等边△ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,点D为△ABC外一点，且∠MDN=60°， ∠BDC=120°，BD=CD,探究：当M,N分别在直线AB,AC上移动时，BM,NC,MMN之间的数量关 系及△AN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系. M M B B D D D 图① 图② 图③ (1)如图①所示，当点M,N在边AB,AC上，且DEDN时，BM,NC,N之间的数量关系 是 ,此时g:一：（不必证明） (2)如图②所示，当点M,N在边AB,AC上，且DM≠DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？ 写出你的猜想并加以证明： (3)如图③所示，当点M,N在边AB,CA的延长线上时，猜想BM,NC,MN之间的数量关系并加 以证明； (4)在(3)问的条件下，若此时A=x,则Q= (用含有x,L的式子表示) 南昌中学教育集团2025-2026学年第一学期期末测试八年级数学试卷 命题人：胡华龙 审题人：章驰 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的选项） 1.以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）． ( 微云人工智能 ) ( 纳米 AI ) ( ChatGPT ) ( DeepSeek )A. A B C D 2.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）． A.x(x－1)=x2－x B.x2－2x+1=(x－1)2 C.x2+3x－4=x(x+3)－4 D.y(y+1)=y2+y 3.下列运算正确的是（ ）． A.x2+x2=x4 B.x3·x2=x6 C.2x4÷x2=2x2 D.(3x)2=6x2 4.五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中．如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（∠A，∠B，∠C，∠D，∠E）的度数必须相等．设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为（ ）． A.40° B.36° C.35° D.30° ( （第5题） ) ( （第6题） ) ( （第4题） ) 5.如图，点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE，且∠BDA=∠A，∠A:∠C=5:3，则∠CBE的度数为（ ）． A.80° B.60° C.70° D.85° 6.如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，BC=5，P为BC上一动点，将△ABP，△ACP分别沿AB，AC向外翻折，得到△ABD，△ACE，连接DE，当△ADE面积的最小值为8时，则△ABC的面积为（ ）． A.5 B.6 C.8 D.10 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.要使分式有意义，则x的取值范围为 ． 8.“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，已知梅花花粉的直径约为0.000023米．数据“0.000023”用科学记数法表示为 ． 9.分解因式： ． 10. 计算： ． 11.如图，D是BC上一点，AD平分∠BAC，AB=8，AC=6，若S△ABD=m， ( （第11题） )则S△ACD= （用m的代数式表示）． 12.已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为 ． 3、 解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.计算：（1）； （2）(x－3y)(x+y)． 14.如图，点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，AC=DF，∠ACB=∠DFE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若AB=8，CD=2，求CE的长． ( （第14题） ) 15.在等腰△ABC中， AB=CB ，将△ABC沿射线AB方向平移至△BEF的位置．请仅用无刻度直尺按下列要求作图. （1）在图①中，作出BF的中点M； （2）在图②中，作出AC 的中点N． ( 图 ② ) ( 图 ① ) 16.先化简，再求值：，其中． 17.先化简，再从-2，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 4、 解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完，接着又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元． （1）求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元； （2）如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每个熊猫毛绒玩具的售价至少是多少元？ 19.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作 △ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）①试说明：△ABD≌△ACE； ②若∠BAC=90°，求∠BCE的度数． （2）设∠BAC=α，∠BCE=β，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． ( （第 19 题） ) 20.阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ； A.提取公因式  B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式  D.两数差的完全平方公式 （2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为 ； （3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解； （4）证明：若n为正整数，则代数式n(n+1)(n+2)(n+3)+1的值一定是某个整数的平方． 5、 解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： ( 图 ① 图 ② 图 ③ ) （1）图②中阴影部分的正方形的边长是 ； （2）用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积： 方法一： ；方法二： ； 尝试写出代数式(a+b)2，(a－b)2与ab之间的等量关系： ； （3）根据（2）中的等量关系，解决问题：若x+y=10，xy=16，求x－y的值； （4）【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式，根据图③，写出一个代数恒等式： ． 22.小华学习多项式时研究了多项式的值为0的问题，发现当mx+n=0或px+q=0时，多项式(mx+n)(px+q)值为0，并把使得A的值为0的x的值称为多项式A的零点．如：多项式x+1的零点为-1，多项式(x+1)(x-1)的零点为-1和1． （1）多项式2x-5的零点为_____； （2）已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点； （3）小华继续研究，及等，发现这些多项式有两个零点，且两个零点的和为2，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项是“2系多项式”，求多项式M． 6、 解答题（本大题共1小题，共12分） 23.在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN=60°， ∠BDC=120°，BD=CD，探究：当M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系． ( 图 ③ ) ( 图 ② ) ( 图 ① ) （1）如图①所示，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系是 ，此时= ；(不必证明) （2）如图②所示，当点M，N在边AB，AC上，且DM≠DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （3）如图③所示，当点M，N在边AB，CA的延长线上时，猜想BM，NC，MN之间的数量关系并加以证明； （4）在（3）问的条件下，若此时AN=x，则Q= ．(用含有x，L的式子表示) 学科网（北京）股份有限公司 $