精品解析：河北省邯郸市魏县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

魏县2025-2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试卷 说明： 1．试题由选择题和非选择题两部分组成，选择题，36分，非选择题，84分，共120分．考试时间为120分钟． 2．将自己的姓名、准考证号、班级、考场（座位号）填涂到答题卡指定位置．选择题选出答案，要用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须用橡皮擦干净，再改涂其它答案．非选择题答案直接写在答题卡相应位置，考试结束，只交答题卡． 3．答题须用0.5mm黑色签字笔． 4．不允许使用计算器． 愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（ ）． A. B. C. 或 D. 不能确定 4. 下列四组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ） A. 正九边形 B. 正八边形 C. 正七边形 D. 正六边形 6. 小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制成如图所示的统计图，则符合这一试验结果的可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反 C. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4 D. 小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜 7. 直线不经过第一象限，则关于的方程实数解的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 8. 如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ） A. B. C. D. 9. 某县今年举行了“村超”（即乡村足球联赛）活动，参加“村超”的每两队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，如果设有x个队参加比赛，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将半径为6的沿折叠，使得折痕垂直半径，当恰好经过的三等分点（靠近端点）时，折痕长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点从点出发沿线段做匀速运动，到点后立即按原路返回．用表示以点为圆心，线段的长为半径的圆的面积，用表示点的运动时间．下列图象适合表示与的对应关系的是（ ） A. B. C. D. 12. 将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，正方形在平面直角坐标系中，点，轴，且，若反比例函数的图象与正方形有交点，则k的取值范围是______． 14. 如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是______． 15. 如图，将半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转，此时点A到了点，则曲线（虚线部分）的长度为_______． 16. 在平面直角坐标系中，点，．将线段绕点旋转得到线段，则点的坐标为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，嘉嘉用判别式判断二次函数与x轴交点情况，墨迹不小心覆盖了一部分过程．老师说：“依据你所写的判别式，是可以知道原函数的．” （1）该二次函数的一次项系数______，常数项_______； （2）该二次函数图象与x轴的有_____个交点； （3）当时，求y的值． 18. 如图，的各顶点坐标分别为． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图； 步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； （2）在嘉嘉设计的图案中，点的坐标为______． 19. 对于实数，，定义新运算“”：． 例如：，因为，所以． （1）求的值； （2）若，是一元二次方程的两个根，求的值． 20. 课堂上，李老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点P． 求作：直线，使与相切于点． 某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线交于点C； ③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④连接，则直线即为所求作直线，交于点D，连接、． 根据这个同学的作图方法，解答下面问题： （1）完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）结合作图，说明是切线的理由； （3）若半径为4，，求的长． 21. 不透明的口袋里装有如图所示的标有数字的三种颜色的小球（大小、形状相同），其中红球有个，蓝球有个，现从中任意摸出一个是红球的概率为． （1）求袋中黄球的个数； （2）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用树状图法或列表法求两次摸到都是红球的概率； （3）若小明共摸次球（每次摸个球，摸后放回），球面得分之和为，问：小明有哪几种摸法？（只考虑分数的组合，不考虑个球被摸出的先后顺序） 22. 已知，（），为线段上一动点，反比例函数（）的图像经过点． （1）当反比例函数经过、时，则 ， ； 此时线段与反比例函数图像围成的封闭图形（不含边界）中的整点有 个； （2）当时， ①求线段的表达式； ②求点从点到点的运动过程中，的最大值． 23. 如图，在，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为， （1）根据题意知： ， ；（用含的代数式表示） （2）t为何值时，的面积等于四边形的面积的？ （3）点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 24. 同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式． （2）如果身高为的小丽站在之间，当绳子甩到最高处，求小丽站在距离点的水平距离为多少米时，绳子刚好甩过她的头顶上方？ （3）现在老师要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳人，摇绳人，共计人．某班挑选出身高都为米的个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少米．那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？请计算说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 魏县2025-2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试卷 说明： 1．试题由选择题和非选择题两部分组成，选择题，36分，非选择题，84分，共120分．考试时间为120分钟． 2．将自己的姓名、准考证号、班级、考场（座位号）填涂到答题卡指定位置．选择题选出答案，要用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须用橡皮擦干净，再改涂其它答案．非选择题答案直接写在答题卡相应位置，考试结束，只交答题卡． 3．答题须用0.5mm黑色签字笔． 4．不允许使用计算器． 愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、是二元一次方程，不符合题意； D、是分式方程，不是整式方程，不符合题意． 故选：B． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（ ）． A. B. C. 或 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 【详解】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 4. 下列四组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，正确理解相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义逐一判断选项即可． 【详解】A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意． 故选：D． 5. 如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ） A. 正九边形 B. 正八边形 C. 正七边形 D. 正六边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角．构造弧所对的圆心角后即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ， ∴是正九边形的一条边， 故选：A． 6. 小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制成如图所示的统计图，则符合这一试验结果的可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反 C. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4 D. 小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键在于从折线图读取稳定频率． 根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，然后分别计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，不符合题意； B、掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反的概率为，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4的概率为，不符合题意； D、小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，共有9种等可能的结果，其中小明获胜的情况有3种， 故小明获胜的概率为，符合题意； 故选：D． 7. 直线不经过第一象限，则关于的方程实数解的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一元二次方程根的判别式，关键是由直线不经过第一象限确定a的取值范围，再分类讨论方程解的情况． 由直线不经过第一象限得出，再分和两种情况讨论方程的实数解个数． 【详解】解：∵直线不经过第一象限， ∴． 当时，方程为，解得，有一个实数解； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴方程实数解的个数为1个或2个． 故选：D． 8. 如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的周长公式和扇形的弧长公式，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程即可求出扇形圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，母线的长为， 圆锥侧面展开图的扇形的弧长是， 圆锥底面圆的半径的长为， 圆锥底面圆的周长是， 由题意可得：， 解得：． 故选：D． 9. 某县今年举行了“村超”（即乡村足球联赛）活动，参加“村超”的每两队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，如果设有x个队参加比赛，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，每两队之间进行两场比赛，总比赛场数为所有可能两队组合数的2倍，即． 【详解】解：设有x个队参赛，每个队与其他个队各进行两场比赛，则每个队参加场比赛， ∵每场比赛有两个队参加， ∴总比赛场数为：， ∵给定总场数为90场， ∴． 故选：A． 10. 如图，将半径为6的沿折叠，使得折痕垂直半径，当恰好经过的三等分点（靠近端点）时，折痕长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，勾股定理，折叠的性质．根据点经过的三等分可求出、的长，延长交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长，根据垂径定理，勾股定理即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ， 为的中点， ，， ，，， ， ， 在中， ， ， ， 故选：A． 11. 如图，点从点出发沿线段做匀速运动，到点后立即按原路返回．用表示以点为圆心，线段的长为半径的圆的面积，用表示点的运动时间．下列图象适合表示与的对应关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象及二次函数的图象，注意分类讨论；设线段，点P运动速度为1，当点P从A向B运动时，，则可得S的表达式；当点P从B返回时，，亦可得S的表达式，即可确定函数图象． 【详解】解：设线段，点P运动速度为1． 当点P从A向B运动时，此时，， 则； 当点P从B返回时，此时，， 则， 综上：． 其图象如下： 故选：A． 12. 将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质，一元二次方程与二次函数的关系，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式．能画出函数图象并利用数形结合的方法解决问题是解题的关键． 分两种情形：如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，解得：，， ∴抛物线与轴的交点为，， 把抛物线图象在轴上方的部分沿轴翻折到轴下方， 则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标为， 如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点， ∴，解得：； 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，即有两个相等的实数解， 整理得：， ∴， 解得， 由图可知，当时，直线与新函数的图象有4个公共点． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，正方形在平面直角坐标系中，点，轴，且，若反比例函数的图象与正方形有交点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形的性质及点，轴，且，得点的坐标为，当反比例函数的图象经过点时，，当反比例函数的图象经过点时，，由此可得出当反比例函数的图象与正方形有交点时，的取值范围． 【详解】解：四边形为正方形，点，轴，且， 点的坐标为， 当反比例函数的图象经过点时，， 当反比例函数的图象经过点时，， 当反比例函数的图象与正方形有交点， 则的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点的坐标，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，理解满足反比例函数表达式的点都在反比例函数的图象上，反比例函数图象上的点都满足反比例函数的表达式是解决问题的关键． 14. 如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：①对应角相等；②对应边的比相等是解题的关键．设，，则，求出，根据矩形与原矩形相似，得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：设，，则， 即， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即原矩形的较长边与较短边的比值是． 故答案为：． 15. 如图，将半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转，此时点A到了点，则曲线（虚线部分）的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、弧长公式，熟记弧长公式是解答的关键．利用旋转性质得到，，然后利用圆的周长公式和弧长公式求解即可． 【详解】解：由旋转性质得，， ∴曲线（虚线部分）的长度为， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，点，．将线段绕点旋转得到线段，则点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分情况讨论：①线段绕点顺时针旋转得到线段，②线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作轴于点，证明，利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：∵点， ∴， ①线段绕点顺时针旋转得到线段， 如图，过点作轴于点，则， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②线段绕点逆时针旋转得到线段， 如图，过点作轴于点，则， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，能用分类讨论思想和添加常用辅助线构造全等三角形解决问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，嘉嘉用判别式判断二次函数与x轴交点情况，墨迹不小心覆盖了一部分过程．老师说：“依据你所写的判别式，是可以知道原函数的．” （1）该二次函数的一次项系数______，常数项_______； （2）该二次函数图象与x轴的有_____个交点； （3）当时，求y的值． 【答案】（1）； （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数与x轴的交点问题等知识． （1）根据根的判别式即可得出，． （2）根据根的判别式即可得出答案． （3）先得出二次函数解析式，再把代入二次函数解析式即可求出y． 【小问1详解】 解：根据， 可知，． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：∵， ∴该二次函数图象与x轴的有2个交点． 故答案为：2． 【小问3详解】 解：∵，，． ∴二次函数的解析式为：， 当时，． 18. 如图，的各顶点坐标分别为． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图； 步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； （2）在嘉嘉设计的图案中，点的坐标为______． 【答案】（1） 如图：，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作旋转图形、作中心对称图形、平面直角坐标系等知识点，掌握基本的作图方法是解题的关键． （1）分别作出点A、B关于点O的对称点，再与点O首尾顺次连接即可得；再将点分别绕点O顺时针旋转得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可得； （2）结合（1）的作图写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）作图可得：点的坐标为． 19. 对于实数，，定义新运算“”：． 例如：，因为，所以． （1）求的值； （2）若，是一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． （1）根据新定义的运算符号“”：代入进行计算即可； （2）先解一元二次方程得出方程的解，再分两种情况，结合新定义的运算符号，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ． 【小问2详解】 解： 故或， 所以或． 当，时， ∵， ∴； 当，时， ∵， ∴， ∴的值为或． 20. 课堂上，李老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点P． 求作：直线，使与相切于点． 某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线交于点C； ③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④连接，则直线即为所求作直线，交于点D，连接、． 根据这个同学的作图方法，解答下面问题： （1）完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）结合作图，说明是切线的理由； （3）若半径为4，，求的长． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 解：由题意得：为的直径， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （3） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键． （1）根据题中作图方法的四个步骤作图即可得； （2）先根据作图可得为的直径，再根据圆周角定理可得，即，然后根据圆的切线的判定即可得； （3）先利用勾股定理可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后设，则，在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵的半径为4， ∴， ∵，， ∴在中，， 由作图可知，是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即． 21. 不透明的口袋里装有如图所示的标有数字的三种颜色的小球（大小、形状相同），其中红球有个，蓝球有个，现从中任意摸出一个是红球的概率为． （1）求袋中黄球的个数； （2）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用树状图法或列表法求两次摸到都是红球的概率； （3）若小明共摸次球（每次摸个球，摸后放回），球面得分之和为，问：小明有哪几种摸法？（只考虑分数的组合，不考虑个球被摸出的先后顺序） 【答案】（1）袋中黄球的个数是1个 （2） （3）有三种摸法：摸红球次，黄球次；摸红球次，黄球次，蓝球次；摸红球次，黄球次，蓝球次 【解析】 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握概率的运用，树状图和列表法求出所有结果的可能性，进行解答，即可． （1）根据题意，设有个黄球，根据概率公式，即可； （2）根据题意，运用树状图和列表法求出所有结果的可能性，进行解答，即可； （3）设小明摸到红球有次，摸到黄球有次，则摸到蓝球有次，再根据球面得分之和为，进行计算，即可． 【小问1详解】 设有个黄球 ∵红球有个，蓝球有个，任意摸出一个是红球的概率为 ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：袋中黄球的个数是个． 【小问2详解】 列表法如下： 红 红 蓝 黄 红 / （红，红） （红，蓝） （红，黄） 红 （红，红） / （红，蓝） （红，黄） 蓝 （红，蓝） （红，蓝） / （蓝，黄） 黄 （红，黄） （红，黄） （黄，蓝） / 共种等可能的结果，其中两次摸到都是红球的有种， ∴两次摸到都是红球的概率为． 【小问3详解】 设小明摸到红球有次，摸到黄球有次，则摸到蓝球有次 ∴ 整理得： ∴ ∵，，均为自然数 ∴当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上所述，小明共有三种摸法：摸红球次，黄球次；摸红球次，黄球次，蓝球次；摸红球次，黄球次，蓝球次． 22. 已知，（），为线段上一动点，反比例函数（）的图像经过点． （1）当反比例函数经过、时，则 ， ； 此时线段与反比例函数图像围成的封闭图形（不含边界）中的整点有 个； （2）当时， ①求线段的表达式； ②求点从点到点的运动过程中，的最大值． 【答案】（1），， （2）①线段的表达式为；② 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法确定反比例函数关系式，从而求出的值；直线的解析式为，分别取，求出一次函数和反比例函数对应的函数值，看符合整点的个数即可解答； （2）①利用待定系数法即可求出线段的解析式；②设，将点P的坐标代入，再利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得，解得， 则反比例函数关系式， ∵反比例函数经过点， ∴； ∵，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，则，， ∵， ∴是满足条件的整点； 当时，则，， 此时不存在满足条件的整点， 当时，则，， ∵， ∴是满足条件的整点； 当时，则，， 此时不存在满足条件的整点， 当时，则，， 此时不存在满足条件的整点， 综上，此时线段与反比例函数图像围成的封闭图形（不含边界）中的整点有个； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：①当时，则， 设线段的表达式为，则， 解得， ∴线段的表达式为； ②∵线段的表达式为； 设， ∵反比例函数（）的图像经过点， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 即点从点到点的运动过程中，的最大值为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的最值，熟练掌握函数的图像与性质，并能掌握相应题型的解题方法技巧是解决问题的关键． 23. 如图，在，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为， （1）根据题意知： ， ；（用含的代数式表示） （2）t为何值时，的面积等于四边形的面积的？ （3）点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）； （2）1 （3） 解：点D、E运动时，的长不可以是，理由如下： 在中，由勾股定理得， ∴当时，有， 解得， 此时， ∴原方程无解， ∴点D、E运动时，的长不可以是． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，列代数式，勾股定理，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）根据图形面积之间的关系可得的面积是的面积的4倍，求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）利用勾股定理可建立方程，看方程是否有解即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵在，，， ∴； ∵的面积等于四边形的面积的， ∴四边形的面积是的面积的3倍， ∴的面积是的面积的4倍， ∴的面积为， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 略 24. 同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式． （2）如果身高为的小丽站在之间，当绳子甩到最高处，求小丽站在距离点的水平距离为多少米时，绳子刚好甩过她的头顶上方？ （3）现在老师要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳人，摇绳人，共计人．某班挑选出身高都为米的个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少米．那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？请计算说明． 【答案】（1）； （2）小丽站在距离点的水平距离为米或米时，绳子刚好通过他的头顶上方； （3）该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，绳子能顺利的甩过所有队员的头顶，理由： 当时，， 解得，， ∴， （）， ∵， ∴， ∴该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，绳子能顺利的甩过所有队员的头顶。 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，抛物线的顶点，设，利用待定系数法求出解析式即可； （2）把代入二次函数解析式，解一元二次方程即可得到答案． （3）当时，，解得，，从而求得两端跳绳同学之间的距离，再求出人与人之间距离至少米时两端同学之间的距离，比较即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可知抛物线的对称轴为，, ∵绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为， ∴抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时，， 解得，， 答：小丽站在距离点的水平距离为或时，绳子刚好通过他的头顶上方． 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了二次函数的应用、求函数值或自变量的值，还考查了解一元二次方程，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $