28.2.2 第2课时 解直角三角形的应用——方向角与坡度、坡角-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（人教版）

该初中数学教学设计聚焦解直角三角形的应用，核心知识点为方向角、坡度、坡角及实际问题解决。课堂导入先复习方向角概念及图示表示，再引入坡角和坡度，通过旧知搭建支架，衔接新知形成知识脉络。 该资料以实际问题为载体，如例1海轮航行、例2拦水坝横断面，引导学生抽象数学模型，培养数学眼光（抽象能力、几何直观）和数学思维（推理能力）。巩固练习结合水库堤坝、导航路线等情境，强化模型意识与应用意识，助力学生提升解决实际问题能力，也为教师提供结构化教学流程与实例参考。

第2课时 解直角三角形的应用——方向角与坡度、坡角 教学目标 1．了解方向角的概念，并熟练运用解直角三角形的知识解决与方向角有关的实际问题. 2．理解坡角，坡度等概念，进一步培养应用数学模型思想解决实际问题的能力. 教学重难点 重点：了解方向角的概念，并熟练运用解直角三角形的知识解决与方向角有关的实际问题. 难点：理解坡角，坡度等概念，进一步培养应用数学模型思想解决实际问题的能力. 教学过程 一、导入 1.复习方向角 (1)方向角:指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角. (2) ( 60 ° 30 ° 80 ° 45 ° A 东 B 南 C 北 D 西 O )如图,目标方向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示为 北偏东30°,南偏东45°(东南方向),南偏西80°,北偏西60°. 2.认识坡角，坡度 （1）坡度：通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），字母i表示，即. （2）坡角：坡角α是坡面与水平面的夹角. ( α h l ) 二、课堂新授 1.与方向角有关的实际问题 ( P A B C 34 ° 65 ° )例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）. 解： 2. 与坡角有关的实际问题 例2 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AF=DE=6cm，斜面坡度i=1:1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1:3是指DE与CE的比，根据图中的数据，求： （1） 坡角α和β的度数； （2） 斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）. ( A B D α F E β C 6m ) 解：（1） （2） 归纳： 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1） 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2） 根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3） 得到数学问题的答案； （4） 得到实际问题的答案. 三、巩固练习 ( B A C )1.如图⑤，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是，堤坝高BC＝50 m，则迎水坡面AB的长度是( ) A. B. C.100 m D.150 m ( P A B )2.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为( ) A. B. C.80海里 D. 3.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000m,则他升高了( ) A. B. 500 C. D. 1000 4.科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行,如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4km到B地,再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地正北方向,求B,C两地的距离. ( B 45 ° 60 ° A C 北 ) ( D ) 5.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，已知上底长CB=5m，迎水面坡度为 ，背水面坡度为1∶1，坝高为4m，求： (1)坝底AD的长； (2)迎水坡CD的长； ( C B D α F E β A ) (3)坡角α,β的度数. 四、课堂小结 1.方向角 方向角:指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角. 2.坡角与坡度 坡度：通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即 坡角:坡角α是坡面与水平面的夹角. 3.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程: (1)将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 五、布置作业 教材P77练习T1，2 学科网（北京）股份有限公司 $