28.1 第1课时 正弦-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（人教版）

该初中数学教学设计聚焦锐角正弦的定义这一核心知识点，通过“铺设水管”的现实问题导入，结合30°、45°特殊角的探究，引导学生发现固定锐角对边与斜边的比为定值，搭建从具体实例到抽象概念的认知支架，梳理特殊到一般的知识脉络。 以现实情境激发探究欲，培养数学眼光（观察现实世界），通过相似三角形推理得出正弦定义，发展数学思维（推理意识），例题与分层练习（基础计算、综合应用、拓展题）结合，强化数学语言表达（应用意识）。助力学生理解概念本质，教师使用时逻辑清晰，提升教学效率。

第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 第1课时 正弦 教学目标 1.了解直角三角形中一个锐角固定，它的对边与斜边的比也随之固定的规律. 2.理解并掌握锐角的正弦的定义. 3.能初步运用锐角的正弦的定义在直角三角形中求一个锐角的正弦值. 教学重难点 重点：理解并掌握锐角的正弦的定义. 难点：能初步运用锐角的正弦的定义在直角三角形中求一个锐角的正弦值. 教学过程 一、导入 问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角（∠A）为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？ 分析：问题可归结为：如图，在RT△ABC中，∠C=90°，∠A=30°BC=35m， 求AB的长. 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即 , 可得AB=2BC=70（m）.也就是说，需要准备70m长的水管. 问题2 若出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管? 解：在Rt△ABC中，∠A=30°,AB=2BC=2×50=100m. 结论: 在直角三角形中,如果一个锐角为30°,那么无论这个直角三角形大 小如何,这个角的对边与斜边之比都等于. 问题3: 任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°，∠A=45°,计算∠A的对边与斜边的比,由此你能得到什么结论? 解: 在Rt△ABC中，∠C=90°，因为∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形.由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=2BC2， AB=BC. 因此, 即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于. 综上可知，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.一般地，当∠A是任意一个固定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 二、课堂新授 探究：任意画Rt△ABC和Rt△A＇B＇C＇中,使得∠C=∠C＇=90°, ∠A=∠A＇，那么与有什么关系？ 解：∵∠C=∠C＇=90°，∠A=∠A＇， ∴Rt△ABC∽Rt△A＇B＇C＇ ∴=. 结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值. 定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA. 由于a＜c，可以得出任意锐角A的正弦值在0～1之间，即0＜sinA＜1 (∠A为锐角)． 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值. 解：如图（1），在Rt△ABC中，由勾股定理得 AB=. 因此sinA==，sinB==. 如图（2），在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC=. 因此sinA==，sinB==. 三、巩固练习 1.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a∶b∶c=3∶4∶5，求sinA和sinB的值. 2.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=2，求AC，AB的长. 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=，求AB的长. 4.如图,已知锐角α的始边在x轴的正半轴上，终边上的一点P的坐标为（3,2），则sinα的值为（ ） A. B. C. D. 5.在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边同时扩大100倍，sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小到原来的 C.不变 D.不能确定 6.在△ABC中,AB=8,BC=6,S△ABC=12,试求sinB的值. ( A ) 7.如图,在Rt△ABC中, ∠C=90°,CD⊥AB于点D. (1)可以由哪两条线段之比得到? (2)若ＡC=5,CD=3,求的值. 四、课堂小结 首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正弦值．知道任意锐角A的正弦值在0～1之间，即0＜sinA＜1 (∠A为锐角)． 五、布置作业 教材P64练习T1，2 学科网（北京）股份有限公司 $