27.2.3 相似三角形的应用举例-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（人教版）

该初中数学教学设计聚焦相似三角形的实际应用，通过金字塔测高问题导入，以旗杆高度、河宽测量、遮挡物观察等问题为支架，衔接相似三角形判定与性质，引导学生从实际情境抽象数学模型。 以真实问题驱动教学，如利用平行光影长比例测旗杆高、构造A型/X型相似求河宽，培养数学眼光观察现实，发展数学思维推理能力，多样化练习提升数学语言表达与模型意识，助力学生解决实际问题，为教师提供情境化教学方案。

27.2.3 相似三角形的应用举例 教学目标 1．能够运用相似三角形的知识，解决不能直接测量的物体的长度或高度等一些实际问题． 2．能够根据同一时刻，物高与影长成比例，解决太阳光下的影长问题． 3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力． 教学重难点 重点：运用相似的判定和性质定理解决实际问题． 难点：在实际问题中建立数学模型． 教学过程 一、导入 出示金字塔图片，如何测量金字塔的高度？ 二、课堂新授 问题一：对于学校里旗杆的高度，我们是无法直接进行测量的．但是我们可以根据相似三角形的知识，测出旗杆的高度．结合下面的图形，大家思考如何求出高度. 1.自无穷远处发的光相互平行地向前行进，称平行光.自然界中最标准的平行光是太阳光.在阳光下，物体的高度与影长有什么关系? 同一时刻物体的高度与影长成正比． 2. 利用阳光下的影子测高： 方法：(1)构造相似三角形.(2)测量数据：AB(身高)，BC(人影长)，BE (旗杆影长)；待求数据：DE(旗杆高)． (3)计算理由：因为AC∥DB(平行光)，所以∠ACB＝∠DBE. 因为∠ABC＝∠DEB＝90°(直立即为垂直)， 所以△ABC∽△DEB，有 例4 如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO. 解：因为太阳光平行，所以∠BAO＝∠EDF. 又∠AOB＝∠DFE＝90°，所以△ABO∽△DEF. 所以＝，即BO＝201×2÷3＝134(米). 因此金字塔的高度BO为134米. 小结知识要点: 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理来构造相似三角形求解. 问题二：如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b的交点R，如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ. 分析问题：题目的前提是我们只能在河的一边测量河的宽度，所以想到用相似的知识来解决，因此寻找包括河的宽度的相似三角形．分析题目可知△PQR与△PST相似，所以知道QR，ST，QS的长度即可求出PQ的长度.(构造平行线型中的A型) 问题：是否有其他的解题方法？(构造平行线型中的X型)试一试！ 小结知识要点: 测距的方法，测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 问题三：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m和CD = 12 m，两树根部的距离BD = 5 m．一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？ 分析问题：如图1，设观察者眼镜的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB，CD于点H，K.视线FA与FG的夹角∠AFH是观察者A时的仰角.类似地，∠CFK是观察者点C的仰角.由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到. 小结知识要点: 测量有遮挡的物体的高度，要借助图形把这一实际中常见的场景抽象成数学图形，利用相似的性质解决这一实际问题. 三、巩固练习 1.小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高. 2.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动) 3. 如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点，使得CD∥AB，若测得CD＝5m，AD＝15m，ED＝3m，则A、B两点间的距离为多少？ 4.小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？ 5.如图，已知零件的外径a为25cm ，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm，求厚度x. 四、课堂小结 请同学们回顾问题：用相似三角形的知识解决实际问题的过程中，你有什么收获与疑惑？ 小结：本节课的重点是把实际问题转化为数学问题，即构建出相似三角形的模型，再利用相似三角形的性质来解决实际问题. 五、布置作业 教材P41练习T1，2 学科网（北京）股份有限公司 $