第六章 一次方程组【章末复习】（课件）2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

华东师大版数学7年级下册培优精做教学课件 章末复习 第六章 一次方程组 授课教师： Home . 班 级： 七年级（*）班 . 时 间： . 2026年1月27日 2026年1月27日星期二3时39分25秒 2026年1月27日星期二3时39分26秒 实际问题 数学问题 (二元或三元一次方程组) 实际问题的答案 数学问题的解 (二元或三元一次方程组的解) 设未知数、列方程组 转化 检验 解方程组 代入法 加减法 (消元) 1.什么是二元一次方程？什么是二元一次方程的解？什么是二(三)元一次方程组？什么是二(三)元一次方程组的解？ 2.举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组 . “代入”与“加减”的目的是什么？ 3.解三元一次方程组与解二元一次方程组有什么联系与区别？你能说一说“消元”的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗？ 4.提出一个实际问题，并用二元或三元一次方程组解决它，你能说一说用方程组解决实际问题的基本思路吗？ 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. (二元一次方程的解有无数个) 例如: x=4，y=2 是方程 x+y=6 的一个解. 记作 x=4， y=2 . 你还能找到其他的解吗？ 下列方程组中是二元一次方程组的是( ) A. B. C. D. 3x+4y=6 5z-6y=4 x+4=2 x-y=4 x+y=2 x2-y2=8 x+y=2 - = 方程组中含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是 1，并且一共有两个整式方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. B 一般地，使二元一次方程组中两个方程的左、右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解. (一般来说解是唯一的) 若 是关于x，y的方程组 的解， 则a+b的值为( ) ax+by=2， bx+ay=7 x =2， y =1 A.3 B.-3 C.2 D.-2 A 2a+b=2， 2b+a=7 解析： 3a+3b=9 a+b=3 知识点二：二元一次方程组的解法 二元一次方程组 消元思想 代入消元法 加减消元法 知识点三：二元一次方程组的应用 ①审 ②设 ③列 ④解 ⑤验 ⑥答 审题，找题目中的__________ 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设未知数 根据等量关系，列出相应的方程组 用“________法”或“________法”解方程组 检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义 写出答案(包括单位名称) 等量关系 代入消元 加减消元 知识点四：三元一次方程组 三元一次方程组 概念 含未知数的项的次数都是 1 方程组中一共含有 3 个未知数 解法 化“三元”为“二元” 含有三个整式方程 消元 代入消元法 加减消元法 二元一次方程组 A 组 1. 填空： （1）在 y = x－4 中，如果 x = 1.5，那么 y =______； 如果 y = 0，那么 x = ________. （2）由 3x－2y = 5，得到用 x 表示 y 的式子为 y =________. 2 3 －3 6 3x－5 2 随堂练习 2. 解下列方程组： 3x－13y = －16， x + 3y = 2； （1） ① ② 解：由方程②，得 x = 2－3y ③ 将③代入①，得 3(2－3y)－13y = －16 y = 1 将 y = 1 代入③，得 x = －1 x = －1， y = 1. 所以 随堂练习 x + 2y + 2 = 0， 7x － 4y = －41； （2） ① ② 解：①×2 + ②，得 9x + 4 = －41 x = －5 将 x = －5 代入①，得 y = 3 2 x = －5， y = . 所以 3 2 随堂练习 3t － 4s = 14， 5t + 4s = 2； （3） ① ② 解：① + ②，得 8t = 16 t = 2 将 t = 2 代入①，得 s = －2 t = 2， s = －2. 所以 随堂练习 5x + 6y = 15.2， 3x － 2y = －0.4； （4） ① ② 解：① + ②×3，得 14x = 14 x = 1 将 x = 1 代入①，得 y = 1.7 x = 1， y = 1.7. 所以 随堂练习 2m + 9n = 4.8， 3m － 5n = －15； （5） ① ② 解：①×3 － ②×2，得 37n = 44.4 n = 1.2 将 n = 1.2 代入②，得 m = －3 m = －3， n = 1.2. 所以 随堂练习 x + 3y = ， （6） x － y = － . ① ② 1 2 3 4 2 3 29 12 解：①×6，得 3x + 18y = 4. ②×12，得 12x－9y = －29. ③④ ③ + ④×2，得 27x = －54. x = －2. 将 x = －2 代入①，得 y = 5 9 x = －2， y = . 所以 5 9 随堂练习 3. 解下列方程组： 3x －2y = 8， ① 2y + 3z = 1， ② x + 5y－z = －4. ③ （1） 解 ② + ③×3，得 3x + 17y = －11 . ④ ④－①，得 19y = －19，解得 y = －1. 把 y = －1 代入①，得 x = 2. 把 x = 2 代入③，得 z = 1. 所以原方程组的解是 x = 2， y = －1， z = 1 . 随堂练习 2x －3y －z = －4， ① x + 2y + 2z = 6， ② 3x + 2y + z = 11. ③ （2） 解 ① + ③，得 5x － y = 7. ①×2 + ②，得 5x － 4y = －2. 得方程组 5x － y = 7， 5x－4y = －2. 解得 x = 2， y = 3. 随堂练习 2x －3y －z = －4， ① x + 2y + 2z = 6， ② 3x + 2y + z = 11. ③ （2） 把 x = 2，y = 3 代入方程③，得 z = －1. 所以原方程组的解是 x = 2， y = 3， z = －1 . 随堂练习 4. 在等式 y = kx + b 中，当 x = 1 时，y = －2；当 x = －1 时， y = －4. 求 k、b 的值. 解：由题意，得 －2 = k + b， －4 = －k + b. 解得 k = 1， b = －3. 随堂练习 5. 小明与爸爸一起做“投篮球”游戏. 两人商定规则为： 小明投中 1 个得 3 分，爸爸投中 1 个得 1 分. 结果两人 一共投中了 20 个，经计算，发现两人的得分恰好相等. 你能知道他们两人各投中几个吗？ 解：设小明投中 x 个，小明爸爸投中 y 个. 答：小明投中 5 个，小明爸爸投中 15 个. 由题意，得 x + y = 20， 3x = y. 解得 x = 5， y = 15. 随堂练习 6. 今年，小亮的年龄是爷爷年龄的 . 小亮发现，12 年之后， 1 5 他的年龄将变成爷爷年龄的 . 试求出小亮今年的年龄. 1 3 解：设小亮今年的年龄为 x 岁，他爷爷今年的年龄为 y 岁. 由题意，得 x = y， x + 12 = (y + 12). 1 5 1 3 解得 x = 12， y = 60. 答：小亮今年的年龄为 12 岁. 随堂练习 7. 某检测站计划在规定时间内检测一批仪器，如果每天检测 30 台，那么在规定时间内只能检测计划数的 .现在每天实际检测 40 台，结果不但比原计划提前了一天完成任务，还多检测了 25 台. 问：规定时间是多少天？原计划检测多少台？ 4 5 解：设规定时间是 x 天，原计划检测 y 台. 由题意，得 30x = y， 40(x － 1) = y + 25. 4 5 解得 x = 26， y = 975. 答：规定时间是 26 天，原计划检测 975 台. 随堂练习 B 组 8. 解下列方程组： （1） x + y 2 2x － y 3 = = x + 2； 解：由原方程组得 = x + 2， ① x + y 2 = x + 2. ② 2x － y 3 整理，得 x － y = －4，③ x + y = －6. ④ ③ + ④，得 2x = －10，解得 x = －5. 随堂练习 B 组 8. 解下列方程组： （1） x + y 2 2x － y 3 = = x + 2； ④－③ ，得 2y = －2，解得 y = －1. 所以 x = －5， y = －1. 随堂练习 （2） 2x － 1 5 3y － 2 4 + = 2， 3x + 1 5 3y + 2 4 － = 0. ① ② 整理，得 4(2x －1) + 5(3y－2) = 40， 4(3x + 1) －5(3y + 2) = 0. 即 8x + 15y = 54， 12x －15y = 6. 解得 x = 3， y = 2. 所以 x = 3， y = 2. 随堂练习 9. A、B 两地相距 3 km. 甲从 A 地出发步行到 B 地，乙从 B 地出发步行到 A 地. 两人同时出发，20 min 后相遇，又经过 10 min 后，甲所余路程为乙所余路程的 2 倍. 求两人的速度. 解：设甲、乙两人的速度分别为 x km/h 和 y km/h. 由题意，得 x + y = 3， 3－ x = 2(3－ y). 20 60 20 60 30 60 30 60 解得 x = 4， y = 5. 答：甲、乙两人的速度分别为 4 km/h 和 5 km/h. 随堂练习 10. 甲、乙两人同时加工一批零件，前 3 小时两人共加工 126 件，后 5 小时中甲先花了 1 小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工 10 件，结果在后 5 小时内，甲比乙多加工了 10 件. 甲、乙两人原来每小时各加工多少件？ 解：设甲、乙两人原来每小时分别加工 x 件、y 件. 由题意，得 3x + 3y = 126， (5－1)(x + 10) = 5y + 10. 解得 x = 20， y = 22. 答：甲、乙两人原来每小时分别加工 20 件、22 件. 随堂练习 11. 已知三角形的周长为 18 cm，其中两条边长之和等于第三条边长的 2 倍，而它们的差等于第三条边长的 ，求这个三角形三边的长. 1 3 解: 设这个三角形其中两条边的长分别为 x cm、y cm (x > y)，则第三条边的长为（18－x－y）cm. 由题意，得 x + y = 2(18－x－y)， x － y = (18－x－y). 1 3 解得 x = 7， y = 5. 则第三条边的长为 18－7－5 = 6（cm）. 答：三角形三边的长分别为 5 cm、6 cm、7 cm. 随堂练习 12. 二果问价（源自我国古代算书《四元玉鉴》）: 九百九十九文钱 甜果苦果买一千 甜果九个十一文 苦果七个四文钱 试问甜苦果几个 又问各该几个钱 解: 设买甜果 x 个，苦果 y 个. 由题意，得 x + y = 1000， x + y = 999. 11 9 4 7 解得 x = 657， y = 343. 随堂练习 买甜果用钱 657× = 803（文）； 11 9 12. 二果问价（源自我国古代算书《四元玉鉴》）: 九百九十九文钱 甜果苦果买一千 甜果九个十一文 苦果七个四文钱 试问甜苦果几个 又问各该几个钱 买苦果用钱 999－803 = 196（文）. 答: 买甜果 657 个，苦果 343个；买甜果用钱 803 文，买苦果用钱 196 文. 随堂练习 C 组 13. 客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长 450 m，货车长 600 m. 如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需 21 s；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需 1min 45 s. 求两车的速度. 解: 设客车、货车的速度分别为 x m/s、y m/s . 由题意，得 21(x + y) = 450 + 600， 105x － 105y = 450 + 600. 解得 x = 30， y = 20. 答: 客车、货车的速度分别为 30 m/s、20 m/s . 随堂练习 14. 李老师去一家文具店给美术小组的 30 名同学买铅笔和橡皮. 到了商店后 发现，按商店规定，如果给全组每人都买 2 支铅笔和 1 块橡皮，那么按 零售价计算，共需付 150 元；如果给全组每人都买 3支铅笔和 2 块橡皮， 那么可以按批发价计算，共需付 202.50 元. 已知每支铅笔的批发价比零 售价低 0.25 元，每块橡皮的批发价比零售价低 0.50 元. 问：这家文具店 每支铅笔和每块橡皮的批发价各是多少元？ 解: 设这家文具店每支铅笔和每块橡皮的批发价分别为 x 元、y 元. 由题意，得 30×[2(x + 0.25) + (y + 0.5)] = 150， 30×(3x + 2y) = 202.5. 解得 x = 1.25， y = 1.5. 答: 这家文具店每支铅笔和每块橡皮的批发价分别为 1.25 元、1.5 元. 随堂练习 15. 一张方桌由 1 个桌面、4 条桌腿组成. 如果 1 m3 木料可以做方桌的桌面 50 个或做桌腿 300 条，现有 5 m3 木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌？能配成多少张方桌？ 解法一：设需做桌面 x 个，桌腿 y 条. 由题意，得 x + y = 5， 4x = y. 1 50 1 300 解得 x = 150， y = 600. 所以 x = 3， y = 2. 1 50 1 300 答：用 3 m3 木料做桌面，2 m3 木料做桌腿，能配成 150 张方桌. 随堂练习 15. 一张方桌由 1 个桌面、4 条桌腿组成. 如果 1 m3 木料可以做方桌的桌面 50 个或做桌腿 300 条，现有 5 m3 木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌？能配成多少张方桌？ 解法二：设用 x m3 木料做桌面，y m3 木料做桌腿. 由题意，得 4×50x = 300y， x + y = 5. 解得 x = 3， y = 2. 所以 50x = 150. 答：用 3 m3 木料做桌面，2 m3 木料做桌腿，能配成 150 张方桌. 随堂练习 考点1 二元一次方程（组）的相关概念 1. 下列方程组： 其中是二元一次方程组的是________. ①②④ 中考考法 36 2. 已知是关于, 的二元一次方程， 则 ___. 3. 如果是方程组 的解，则 的值为___. 0 3 中考考法 37 考点2 解二（或三）元一次方程组 4. 解下列方程组： （1） 【解】把①代入②,得 ,解 得.把代入①，得, 方程组的解 为 中考考法 38 （2） 原方程组整理得 得 ，③ 得，解得 . 把代入②得，解得 ， 所以原方程组的解为 中考考法 39 （3） 由得 ，④ 把④代入③得，解得 . 中考考法 40 把代入①②得解得 所以方程组的解为 中考考法 5. 已知 是一个方程组.圆圆说：“这个方程组 的解是而我由于看错了第二个方程中 的系数，求出 的解是 ”请你根据以上信息，把方程组复原出来. 中考考法 42 【解】设 为， 为， 为， 这个方程组的解是 圆圆看错了第二个方程 中的系数，求出的解是 联立解得 所以原方程组为 中考考法 43 考点3 二元一次方程（组）的应用 6. 已知单项式与是同类项，那么， 的 值分别是( ) C A. 2， B. ， C. 2，1 D. ，1 【点拨】 单项式与 是同类项， 解得 中考考法 44 7. 我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一 术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中 “物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五 数之剩三 ，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数， 每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…….问这些物体 共有多少个？设3个一数共数了次，5个一数共数了 次，其 中， 为正整数，依题意可列方程为( ) A A. B. C. D. 中考考法 45 8. 系文物考古研究院用 复原的青铜蒸 馏器进行了蒸馏酒实验.用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋 头酒，需要的原材料与出酒率 如 下表：#1 中考考法 46 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、 大曲和蒸馏水） 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏 水） 中考考法 47 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二 次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食 糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍. （1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅； 中考考法 48 【解】设第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是 公斤, 公斤，则第二次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分 别是公斤, 公斤， 由题意可得解得 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40公斤, 20公斤. 中考考法 49 （2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约 为现代复原品的.若粮食糟醅中大米占比约为 ，请问， 在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备 多少公斤大米？ 两次实验得到的粮食酒总量为 （公斤），设需要准备公斤大米，则粮食糟醅的质量为 公斤，由题意可得，解得 . 答：需要准备37.5公斤大米. 中考考法 50 思想1 建模思想 9. [上海嘉定区期末] 在课余 活动中，小杰、小明和小丽一 起玩飞镖游戏，其落点如图所 30 示，飞镖盘上区域所得分值和 区域所得分值不同，每人各 投4次飞镖，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是32分和34 分.则小丽的4次飞镖总分是____分. 中考考法 51 思想2 整体思想 10. 若方程组的解是 求方程组 的解. 中考考法 52 【解】 方程组的解是 在方程组中 解得 即所求方程组的解为 中考考法 思想3 数形结合思想 11. 如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做 长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁 剪掉的部分.沿图中实线折叠做成的长方体纸 盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折 叠后粘贴或封盖.用长为，宽为 的长方形厚纸片， 恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘 ， 三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 中考考法 54 【解】设长方体纸盒的底面边长为 ，三处“接口”的宽度 为，则长方体纸盒的高为 ， 由题意得解得 所以 . 所以该茶叶盒的容积是 . 中考考法 55 $