2.5 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

该初中数学课件聚焦“利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根”，通过复习二次函数与x轴交点和方程根的关系（表格对比判别式、交点个数与根的情况），搭建旧知到新知的学习支架，引导学生建立函数与方程的联系。 其亮点是以具体例题（如x²+2x-10=0）为载体，通过列表探索、图象观察培养数学眼光中的几何直观，步骤化总结（画图象、定区间、算近似根）发展数学思维中的推理意识，结合表格数据与符号语言提升数学语言表达能力。课堂练习设计多样（表格判断根范围、利用对称性求根），帮助学生深化理解，教师可直接用于教学，提升效率。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 第二章 二次函数 5 二次函数与一元二次方程 第2课时 利用二次函数的图象求 一元二次方程的近似根 学习目标 1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系; 2、经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验． 　 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 有两个交点 两个相异的实根 b2-4ac > 0 有一个交点 两个相等的实根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 复习引入 例1、求一元二次方程的近似根（精确到0.1）. 分析：一元二次方程 x²+2x-10=0 的根就是抛物线 y=x²+2x-10 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 由图象可知方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2和3之间. 新课讲解 (1)先求-5和-4之间的根.利用计算器进行探索： 因此，x=-4.3是方程的一个近似根. x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 （2）另一个根可以类似地求出： 因此，x=2.3是方程的另一个近似根. 用一元二次方程的求根公式验证一下， 看是否有相同的结果. x 2.1 2.2 2.3 2.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 (1)画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象； (2)确定二次函数的图象与x轴交点的个数，看交点的横坐标在哪两个整数之间； (3)列表，在两个整数之间取值，并用计算器算出对应的y值，当x由x1变到x2，对应的y值出现y1＞0，y2＜0(或y1＜0，y2＞0)且|y1|≠|y2|时，x1，x2中必有一个是方程的近似根，再比较|y1|和|y2|，若|y1|＜|y2|，则x1是方程的近似根；若|y1|＞|y2|，则x2是方程的近似根． 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤： 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B. B 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． （1）请利用图2-17求一元二次方程 x2+2x-10=3的近似根． （2）你还能利用图2-18求一元二次方程 x2+2x-10=3的近似根吗？ 图2-18 图2-17 解：(1)原方程可变形为x2+2x-13=0; 用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象; 观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴交点的横坐标; 由图象可知，它们有两个交点，其横坐标一个在-5与-4之间，另一个在2与3之间. 先求 -5 和 -4 之间的根． 利用计算器进行探索： 因此，x = -4.7 是方程的一个近似根. -0.31 0. 44 -1.75 -1.04 再求 2和 3之间的根． 利用计算器进行探索： 因此，x = 2.7 是方程的另一个近似根. -1.75 -1.04 -0.31 0. 44 解：（2）利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根. (1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象; (2)作直线y=3; (3)观察估计抛物线y=x2+2x-10直线y=3的交点的横坐标; 图2-18 y=3 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间. 方法同上,由此，方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7 x2≈2.7 (1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象； (2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标； (可将单位长度十等分,借助计算器确定其近似值） (3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根; 利用图象法求一元二次方程的近似根 解：先把方程化成x2＝－2x＋3.如图， 在同一直角坐标系中分别画出函数 y＝x2和y＝－2x＋3的图象， 则方程x2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1. 利用函数的图象，求方程x2＋2x－3＝0的根． (1)将ax2＋bx＋c＝0化为ax2＝－bx－c的形式； (2)在同一坐标系中画出y＝ax2与y＝－bx－c的图象； (3)观察图象：两图象的公共点情况即为方程的根的情况，如有公共点，则公共点的横坐标即为ax2＋bx＋c＝0的根． 利用图象交点法求一元二次方程的根的步骤： 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1.根据下列表格的对应值: 课堂练习 2.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　） A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4 3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，顶点坐标为(－1，－3.2)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3，x2＝________． D －3.3 4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根; (2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围; (3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围. (3)由图象可知k<2 解 (1)由图象可知x1=1,x2=3. (2)由图象可知x>2. 5.已知二次函数的图象，利用图象回答问题： （1）方程 的解是什么？ （2）x取什么值时，y>0 ？ （3）x取什么值时，y<0 ？ x y O 2 4 8 解：（1）x1=2,x2=4; （2）x<2或x>4; （3）2<x<4. 二次函数图象 由图象与x轴的交点位置， 判断方程根的近似值 一元二次方程的根 课堂小结 $