2.4 第2课时 最大利润问题-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数的最大利润问题，通过“商场经理定价”等生活情境导入，先复习二次函数顶点式、最值及图像性质，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于采用一题多解（如设单价、降价金额等不同自变量）培养数学思维，结合T恤衫销售、小龙虾养殖等实例建模，落实模型意识与应用意识。课堂小结明确“建关系式—定范围—求最值”步骤，助力学生形成解决问题的结构化方法，既提升学生用数学语言表达现实问题的能力，也为教师提供高效教学的清晰路径。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 第二章 二次函数 4 二次函数的应用 第2课时 最大利润问题 学习目标 1．经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值； 2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力. 　 顶点坐标为(h,k) ①当a>0时，y有最小值k ②当a<0时，y有最大值k 复习引入 y x o 顶点 a<0 开口向下 y x o 顶点 a<0 开口向下 y x o 顶点 a>0,开口向上 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求. 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 新课讲解 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？ 在学习一元二次方程的应用时遇到 过有关销售利润的问题，常用相等 关系是：销售利润=单件利润×销售量 选择什么量设呢？ 类型1 利润最大问题“每每型” 若设批发单价为x元，则： 单件利润为 。 降价后的销售量为 。 利润用y元表示，则 。 方法一： 化简得： 若设每件T恤衫降x元，则： 单件利润为 。 降价后的销售量为 。 利润用y元表示为 。 方法二： 化简得： 方法三： 若设批发价下降0.1x元，则： 单件利润为： 。 降价后的销售量为： 。 利润用y元表示为 。 化简得： (13-0.1x-10)元 （5000+500x）元 问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 请同学们思考： （1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？ 分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况. 先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品 的利润y也随之变化，我们先来确定y随x变化的函数解析式. 涨价x元,则每星期少卖 件，实际卖出 件, 每件利润为 元，因此，所得利润 为　　　　　　　　 元. 10x (300-10x) (60+x-40) （60+x-40）(300-10x) 问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 【解析】设每件涨价x元，则y=(60+x-40)(300-10x)， (0≤x≤30) 即y=-10（x-5）2+6250 ∴当x=5时，y最大值=6 250. 怎样确定x的取值范围 问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值.由公式可以求出顶点的横坐标. 所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6 250元. 也可以这样求最值： 在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案. 【解析】设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实际卖出（300+20x)件，每件利润为（60-40-x）元，因此，得利润： y=(300+20x)(60-40-x) =-20(x²-5x+6.25)+6 125 =-20（x-2.5）²+6 125 ∴x=2.5时，y最大值=6 125. 怎样确定x的取值范围 （0＜x＜20） 问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 例1 某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？ 分 析：相等关系 客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数 典例分析 若设每间客房的日租金提高 ， 每间房屋的日租金为 。 每天客房出租数会减少 间，出租 间 客房日租金的总收入为y元，则： X个10元 6X (160+10x)元 (120-6x) 自变量还可以怎么设？ 用二次函数解决最值问题的一般步骤： (1)建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” (2)结合实际意义，确定自变量的取值范围， (3)在自变量的取值范围内确定最大利润:运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值. 【归纳】 类型2　结合一次函数解决利润最大问题 例2 某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计,发现每天销售量y(千克)与销售价x(元/千克)存在一次函数关系,如图所示,则最大利润是(　 　) A.180元 B.190元 C.200元 D.220元 C 例3 (营口中考)某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元,在整个销售旺季的80天里,日销售量y(千克)与时间第t天之间的函数关系式为y=2t+100(1≤t≤80,t为整数),销售价p(元/千克)与时间第t天之间满足一次函数关系如下表: 第t天 1 2 3 … 80 销售价p/(元·千克-1) 49.5 49 48.5 … 10 (1)直接写出销售价p(元/千克)与时间第t天之间的函数关系式. (2)在整个销售旺季的80天里,哪一天的日销售利润最大?最大利润是多少? 解:(1)销售价p(元/千克)与时间第t天之间的函数关系式为 p=-0.5 t+50. (2)设每天获得的利润为w元. 由题意得w=(2t+100)(50-0.5t-6)=-t2+38t+4400=-(t-19)2+4761. ∵a=-1<0,∴w有最大值, 当t=19时,w最大,此时w最大=4761. 答:第19天的日销售利润最大,最大利润是4761元. 1.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？ 解：设销售单价提高x元，销售利润为y元，则 y=(30-20+x)(400-20x) ＝-20x2+200x+4000 ＝-20(x-5)2+4500. (0≤x ≤20) ∴x=5时，最大利润y=4500 即：当销售单价为35元时，可在半月内获得最大利润4500元 自变量还可以怎么设？ 课堂练习 2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）． (1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围. (2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式. (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ = （3）因为w= 【解析】（1）y=50- （0≤x≤160）； （2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50- ） 所以x= =170时，w有最大值，而170>160,故由函数 性质知x=160时，利润最大，此时订房数y=50- =34， 此时的利润为10 880元. 3.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数： （1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本＝进价×销售量） （1）由题意，得：w = (x－20)·y =(x－20)·(-10x+500) =-10x2+700x-10 000 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． （2）由题意，得： 解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40． 答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元. 【解析】 当 时，w有最大值. ∴抛物线开口向下. ∴当30≤x≤40时，w≥2 000． ∵x≤32， ∴当30≤x≤32时，w≥2 000． 设成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500)= -200x+10 000, ∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小. ∴当x = 32时，P最小＝3 600. 答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元． （3） ∵ 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本. 确定自变量的取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 课堂小结 利润问题中的高频形式是涨价和降价问题，而要点是弄清楚利润问题中各个量之间的关系，老师在这里一定要详细解释，务必避免乱用和串用 $