2.4 第1课时 最大面积问题-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数的应用，核心讲解最大面积问题。通过复习二次函数最值求法导入，以直角三角形内接矩形面积问题为起点，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于结合直角三角形内接矩形、窗户透光面积、抛物线形拱桥等实例，引导学生用数学眼光抽象问题，通过相似三角形推理和函数建模培养数学思维，课堂小结强调函数关系式建立与取值范围注意，助力学生提升应用意识，教师使用可高效落实核心素养教学。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 第二章 二次函数 4 二次函数的应用 第1课时 最大面积问题 学习目标 1．经历最大面积问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值；　 2．能够分析和表示最大面积问题中变量之间的关系，并能运用二次函数知识求出最大值，增强解决问题的能力. 　 想一想：如何求出二次函数 y = ax2 + bx + c 的最小（大）值？ 由于抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 当自变量的取值范围是全体实数时， (1)若a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值； a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值． 复习引入 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD、其中AB和AD分别在两直角边上. （1）如果设矩形的一边AB= x m，那么AD边的长度如何表示? （2）设矩形的面积为ym²、当x取何值时，y的值最大?最大值是多少? 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，.'.AB=CD,AB//CD, ∵AF=40cm,AE=30cm,AB=xcm, .'.CD=xm, ∵CD/ /AB, ∴△EDC∽△EAF, ∴ ∴DE= ∴AD=30- E F 新课讲解 (2)由题意可得 ∴当x=20时, y有最大值300. E F (1)设矩形的一边BC=x cm,那么AB边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的最大值是多少? 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上. A B C D ┐ M N P 40 cm 30 cm xcm bcm H G ┛ ┛ 解：(1)由勾股定理得MN=50cm，PH=24cm 设AB=bcm，易得b= (2)y=xb=x= 或用公式：当x=时， 一、利用二次函数的方法解决面积（或其他）最大值问题的步骤： 1、结合题目所给条件，借助三角形相似的方式，构建二次函数的计算模型； 2、最大值计算模式：(1)∵a=┅<0 (2)当x=-时，S(或y)有最大值 (3)S(或y)最大值为 二、通过对比两个问题的结论，我们可以发现一个猜想： 直角三角形内接矩形（各顶点均在三角形边上）面积最大值=直角三角形面积的一半。 例1 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多 (结果精确到0.01m) ?此时,窗户的面积是多少? (结果精确到0.01m2) x x y 典例分析 解:∵7x+4y+πx=15 ∵0＜x＜15,且0＜＜15 ∴0＜x＜1.479 设窗户的面积是Sm2,则 S=+2x == ∴当x=≈1.07时,S最大=≈4.02 因此,当x约为1.07m时,窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02m2. 某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式． 解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 . ∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上， ∴﹣5.6=36a，a= ∴抛物线的表达式为 （2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？        （2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为（k，t），已知窗户高1.6m， ∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4 ∴ -4= ，解得k= ， 即k1≈5.07，k2≈﹣5.07 ∴CD=5.07×2≈10.14（m） 设最多可安装n扇窗户， ∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06． 则最大的正整数为4． 答：最多可安装4扇窗户. 1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( ) A．32 m2　 B．36 m2　 C．48 m2　 D．64 m2 2.用长为8 m的铝合金条制成如图所示的“日”字形矩形窗框，使窗户的透光面积最大，最大的透光面积为( ) A．m2 B． m2 C．2 cm2 D．4 cm2 D B 课堂练习 3.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝_________m时，矩形土地ABCD的面积最大． 150 4．如图，小滕要用总长为40 m的铁栅栏及一面墙(墙足够长)围成一个矩形自行车停车场ABCD，并要在AB和BC边上各留一个2 m宽的小门(不用铁栅栏)，则他能围成的矩形自行车停车场ABCD的最大面积为_________ m2． 242 5．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝(如图)，这个菱形的两条对角线的长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(cm2)随其中一条对角线AC的长x(cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，菱形风筝的面积S最大？最大值是多少？ 解：(1)根据题意，得S＝x(60－x)＝－x2＋30x (2)∵S＝－x2＋30x＝－(x－30)2＋450，0 cm＜x＜60 cm， ∴当x＝30 cm时，菱形风筝的面积S最大，最大值是450 cm2 6.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式; （2）有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时.桥下水位正好在AB处.之后水位每小时上涨0.25m.当水位达到CD处时.将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥? 解：（1）设抛物线解析式为y=ax2， 因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，设点B（10，n），点D（5，n+3）， 由题意： 解得： ∴y= 解：（2）由题意得：船行驶到桥下的时间为：35÷5=7小时， 水位上升的高度为：0.25×7=1.75米. ∵1.75＜3 ∴船的速度不变，它能安全通过此桥. 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 （二次函数的图象和性质） 实际问题 数学模型 转化 回归 （实物中的抛物线形问题） 课堂小结 $