2.4 二次函数的应用（八大题型）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

2.4 二次函数的应用 题型一 图形问题（实际问题与二次函数） 1．某农户用一段长度为的旧围墙（围墙作为矩形一边，长度不可超出），再用总长的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆仅围另外三边）．设矩形垂直于旧围墙的一边长为，菜园的面积为，则y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，有长为30米的篱笆，一面利用长为12米的墙，花圃的一边靠墙，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃（连接处的篱笆长度不计），则花圃的最大面积是 平方米． 3．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如图2，如果把它加工成矩形零件，问这个矩形的最大面积是多少？ 题型二 图形运动问题（实际问题与二次函数） 4．如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点与点重合，让以的速度向左运动，当点与点重合时停止运动，则重叠部分的面积与时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小． 6．如图，在矩形中，，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)求出S和t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 题型三 拱桥问题（实际问题与二次函数） 7．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（   ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 8．如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是 ． 9．悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度． 题型四 销售问题（实际问题与二次函数） 10．某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件．已知商品的进价为每件30元，设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 11．某商店经销一种中考体育考试跳绳，已知跳绳的成本价为每个60元，市场调查发现，该种跳绳每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，当该种跳绳销售单价定为 元时，每天的销售利润最大． 12．中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元／盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元／盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元／盒时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元／盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． (1)求出关于的函数解析式； (2)要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ (3)每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 题型五 投球问题（实际问题与二次函数） 13．沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点处抛出，其竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．建立如图所示的坐标系（正方形为箱子主视图，其边长为，x轴经过箱子底面中心），点的坐标为，点的坐标为，若要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．一身高的篮球运动员在距篮板处跳起投篮，球在运动员头顶上方处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为 m． 15．项目式探究：如何击球使羽毛球过网 驱动任务：学校羽毛球队的同学准备参加市比赛，为增强训练效果，提高成绩，体育老师邀请学校科学小组的同学们帮助他们研究在固定位置击球时，要使羽毛球恰好过网，应如何击球？ 操作步骤： 第一步：如图1是小亮与小红一次击打羽毛球的线路，小亮在地面点的正上方点处击球，羽毛球的飞行高度（米）与距离点的水平距离（米）近似满足二次函数关系； 第二步：记录仪显示：击球点到点的垂直距离为米，羽毛球在距离小亮水平距离1米的位置达到最高点，最高点距地面的高度为米； 第三步：如图2，在离点水平距离3米的位置有一球网米，点在地面上； 第四步：小红站在球网右侧某位置，小亮发球过网后，羽毛球飞行到离地面米处被小红接球成功． (1)确定轨迹：根据图1求抛物线的函数表达式； (2)确定方案：若击球轨迹和最高点距的水平距离不变，只改变击球点的高度，要使羽毛球能恰好经过网上端点，求击球点距地面的高度为多少米？ 题型六 喷水问题（实际问题与二次函数） 16．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 17．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为雕塑的高为 ． 18．如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为． (1)①请直接写出水流的最高处的坐标_________； ②求喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，直接写出喷头高度的取值范围． 题型七 增长率问题（实际问题与二次函数） 19．某工厂一种产品今年的产量是件，如果每年的产量比上一年增加相同的百分率，那么第三年的产量（件）关于的函数关系式为（  ） A． B． C． D． 20． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 21．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 题型八 其他问题（实际问题与二次函数） 22．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系、抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（    ） A． B． C． D． 23．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度（m）与飞行时间（s）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为 ． 24．如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式，无人机从西侧距坡底O为10米处的B点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似满足抛物线 ，当无人机飞越坡底上空时（即点D），与地面的距离为20米． (1)直接写出无人机飞行轨迹的函数解析式； (2)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 二次函数的应用 题型一 图形问题（实际问题与二次函数） 1．某农户用一段长度为的旧围墙（围墙作为矩形一边，长度不可超出），再用总长的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆仅围另外三边）．设矩形垂直于旧围墙的一边长为，菜园的面积为，则y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出矩形的另一边长，根据矩形的面积公式，列出二次函数关系式，根据矩形与墙平行的一边的长度大于0，小于等于20，求出自变量的范围即可． 【详解】解：由题意，矩形的另一边长为， 则：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 2．如图，有长为30米的篱笆，一面利用长为12米的墙，花圃的一边靠墙，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃（连接处的篱笆长度不计），则花圃的最大面积是 平方米． 【答案】72 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设，花圃的面积为，则，花圃的面积为，根据矩形的面积公式，列出二次函数的解析式，进行求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， 由题意，， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，最大为； 故花圃的最大面积是平方米； 故答案为：72． 3．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如图2，如果把它加工成矩形零件，问这个矩形的最大面积是多少？ 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，注意数形结合的运用． （1）根据正方形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可． （2）设正方形零件的边长为，则，根据，得到，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果； （3）根据矩形面积公式得到关于的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， ． （2）解：设正方形零件的边长为，则， ， ， ， ， ， 解得：． 答：正方形零件的边长为． （3）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形面积， 故当时，此时矩形的面积最大，最大面积为． 题型二 图形运动问题（实际问题与二次函数） 4．如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点与点重合，让以的速度向左运动，当点与点重合时停止运动，则重叠部分的面积与时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，需注意的值的求法． 根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解，即可作答． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积为． 故选：B． 5．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键． 设移动时间为秒，四边形的面积为，先分别求出的长，再利用面积减去面积求出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设移动时间为秒，四边形的面积为， 由题意得：，， ， ， ， ， 整理得：， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值27， 即经过3秒，四边形的面积最小， 故答案为：3． 6．如图，在矩形中，，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)求出S和t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1) (2)为秒或秒，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形综合应用，矩形的性质，二次函数的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合矩形的性质以及动点运动的方向和速度，进行分类讨论，即分两种情况：①当在上，即时，；②当在上时，由解得，故此时，； （2）由，知以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或，当时，，得，当时，，得． 【详解】（1）解：∵点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，在矩形中，，， ∴，，， ①当在上，即时，如图： ，，， ，，， ； ②当在上时，由解得， 追上所用时间是， 此时， 如图： ，， ， ， 综上所述，； （2）解：当为秒或秒，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似，理由见解析 如图： ， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上所述，当为或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似． 题型三 拱桥问题（实际问题与二次函数） 7．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（   ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，求出抛物线当时的值即可得解． 【详解】解：根据题意，当时，得：， 解得：或． ∴水面宽度为：（米）． 故选：B． 8．如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：． 9．悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度． 【答案】(1) (2)28米 (3)3.8米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是关键． （1）依据题意，用待定系数法进行计算可得抛物线的解析式； （2）结合（1），当时，求出x的值即可得解． （3）依据题意，由桥长70米，每两根悬吊钢缆间的距离是 (米)，再结合（1），当时求出y的值即可； 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的解析式为，将代入得： ， 解得， ∴， 答：该函数的解析式为； （2）解：由题意得， 当时，， 解得或， ∴之间的水平距离为米；． （3）解：若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，则每两根悬吊钢缆距离为（米）， 即离桥头最近的悬吊钢缆位置距桥头为米， 在平面直角坐标系中，这个点的横坐标为，代入解析式可得， 当时，， ∴离桥头最近的悬吊钢缆的长度为米． 题型四 销售问题（实际问题与二次函数） 10．某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件．已知商品的进价为每件30元，设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则每件的利润为元，销售数量为件，再根据总利润等于每件的利润与销售数量的乘积即可求解． 【详解】解：设每件降价元，每星期售出商品的利润为元， 根据题意，得， 故选：B． 11．某商店经销一种中考体育考试跳绳，已知跳绳的成本价为每个60元，市场调查发现，该种跳绳每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，当该种跳绳销售单价定为 元时，每天的销售利润最大． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据利润函数为二次函数的性质，通过求顶点坐标确定最大利润对应的销售单价． 【详解】解：设每天的销售利润为，依题意，， ， ， 当时，有最大值， 故答案为：． 12．中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元／盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元／盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元／盒时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元／盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． (1)求出关于的函数解析式； (2)要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ (3)每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)74元 (3)75元，3125元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式是解题的关键： （1）根据总利润等于每盒利润乘以销量，列出函数关系式即可； （2）令，求出的值，即可； （3）利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，； （2）当时， 解得， ∵尽快减少库存， ∴，此时售价为（元）； 答：每盒月饼的售价应定为74元； （3）∵， ∴抛物线的开口向下，当时，函数有最大值为； 故当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 题型五 投球问题（实际问题与二次函数） 13．沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点处抛出，其竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．建立如图所示的坐标系（正方形为箱子主视图，其边长为，x轴经过箱子底面中心），点的坐标为，点的坐标为，若要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意求出二次函数解析式． 由题意得，，，然后将点，代入求出此时的，再将点，代入求出此时的，即可求解范围． 【详解】解：由题意得，，， 将点，代入，则， 解得； 将点，代入，则， 解得； ∴要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是， 故选：A． 14．一身高的篮球运动员在距篮板处跳起投篮，球在运动员头顶上方处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为 m． 【答案】0.2/ 【分析】本题考查了二次函数的应用，求得球出手时运动员的横坐标是解题的关键．求得当时，x的值，进而根据题意求得运动员所在的横坐标，即可求得篮球出手时的高度，进而求得运动员跳离地面的高度． 【详解】解：令，即， 解得，（舍）， 运动员所在的横坐标为：， 当时，， 运动员跳离地面的高度为：， 故答案为：0.2． 15．项目式探究：如何击球使羽毛球过网 驱动任务：学校羽毛球队的同学准备参加市比赛，为增强训练效果，提高成绩，体育老师邀请学校科学小组的同学们帮助他们研究在固定位置击球时，要使羽毛球恰好过网，应如何击球？ 操作步骤： 第一步：如图1是小亮与小红一次击打羽毛球的线路，小亮在地面点的正上方点处击球，羽毛球的飞行高度（米）与距离点的水平距离（米）近似满足二次函数关系； 第二步：记录仪显示：击球点到点的垂直距离为米，羽毛球在距离小亮水平距离1米的位置达到最高点，最高点距地面的高度为米； 第三步：如图2，在离点水平距离3米的位置有一球网米，点在地面上； 第四步：小红站在球网右侧某位置，小亮发球过网后，羽毛球飞行到离地面米处被小红接球成功． (1)确定轨迹：根据图1求抛物线的函数表达式； (2)确定方案：若击球轨迹和最高点距的水平距离不变，只改变击球点的高度，要使羽毛球能恰好经过网上端点，求击球点距地面的高度为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了二次函数的建模．顶点式应用及函数参数与实际场景的对应关系． （1）根据题意得：二次函数的顶点坐标为，过点，可设函数表达式为，再把代入，即可求解； （2）根据题意可设函数表达式为，代入点，求出函数解析式，再代入算出击球点距地面高度． 【详解】（1）解：根据题意得：二次函数的顶点坐标为，过点， ∴可设函数表达式为， 把点代入得：， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：根据题意可设函数表达式为， 又因为球经过， ∴， 解得：， ∴函数表达式为， 当时，， 即击球点距地面的高度为米． 题型六 喷水问题（实际问题与二次函数） 16．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 17．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为雕塑的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．解题思路是明确求雕塑的高即求抛物线与y轴交点的纵坐标，将代入抛物线解析式计算即可． 【详解】解： 将代入抛物线解析式， ． 故答案为：． 18．如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为． (1)①请直接写出水流的最高处的坐标_________； ②求喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，直接写出喷头高度的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． （1）根据题意得：点的横坐标为1，纵坐标为，即可求解； ②依据题意，设抛物线的解析式为，由点坐标为，求出的值，进而求得抛物线的解析式； （2）设抛物线的解析式为，根据水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，求出的取值范围，进而求出的取值范围即可． 【详解】（1）①，， ∴点的横坐标为1，纵坐标为， 故点坐标为． 故答案为：． ②由题意，点坐标为，点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴，解得， 喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式为． （2）∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变， ∴可设抛物线的解析式为， ∵水流最大竖直高度大于， ， 当时，，解得， （负值舍去）， ∵水流离喷水池中心的最远水平距离不超过， ， ， ， ． 当时，， ． ， ， 题型七 增长率问题（实际问题与二次函数） 19．某工厂一种产品今年的产量是件，如果每年的产量比上一年增加相同的百分率，那么第三年的产量（件）关于的函数关系式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次函数解决增长率问题． 增长率问题公式：，按公式列出函数关系式即可． 【详解】解：初始量为2000，增长了两次，所以可列出函数关系式， 故选：C． 20． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 21．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 题型八 其他问题（实际问题与二次函数） 22．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系、抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．把代入解析式，再解方程即可得结论． 【详解】解：根据题意，当时，则， 解得，， ∴两排灯的水平距离为． 故选：D． 23．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度（m）与飞行时间（s）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为 ． 【答案】 6s 【分析】本题考查了二次函数的应用，令升空高度，代入关系式得到关于t的一元二次方程，解方程求，即可求解． 【详解】解：由题意，令，得 ， 整理得， 解得． 故答案为． 24．如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式，无人机从西侧距坡底O为10米处的B点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似满足抛物线 ，当无人机飞越坡底上空时（即点D），与地面的距离为20米． (1)直接写出无人机飞行轨迹的函数解析式； (2)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由． 【答案】(1) (2)安全；理由见解析 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，点，代入，即可求出抛物线的解析式； （2）无人机与山坡的竖直距离，d的最小值与9比较即可得解． 【详解】（1）解：由题意得，无人机从起飞，飞越坡底上空， ∴将和代入， 得， 解得， ∴无人机飞行轨迹的解析式为：； （2）解：无人机此次飞行安全，理由如下： 无人机与山坡的竖直距离 ， ， 时，d有最小值， ∴无人机此次飞行是安全的． 1 学科网（北京）股份有限公司 $