2.3 第2课时 根据三个条件求二次函数表达式-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

该初中数学课件聚焦“确定二次函数表达式”，从复习顶点式入手，通过“几个点确定二次函数”的问题驱动，衔接一般式、交点式的探究，搭建新旧知识支架，梳理三种待定系数法的应用脉络。 其亮点是结合实例（如铅球轨迹、网格点抛物线）培养数学眼光，通过“设代解还原”步骤训练数学思维，小结对比三种方法适用条件助力数学语言表达，学生能系统掌握方法，教师可高效开展教学。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 第二章 二次函数 3 确定二次函数表达式 第2课时 根据三个条件求二次函数表达式 学习目标 1.利用二次函数图象上的三个点的坐标,运用待定系数法确定二次函数表达式. 2.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的方法和转化的数学思想. 3.逐步培养学生观察、分析、概括等逻辑思维能力. 利用“顶点式”求二次函数的解析式 利用“顶点式”求二次函数的解析式的一般步骤： 1.设二次函数的表达式：__________________ 2.代入已知点的坐标，得到关于二次函数系数的一次方程； 3.解方程； 4.得到二次函数的解析式。 y=a(x-h)2+k 复习引入 下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分： x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 问题1：我们已经知道由两点就可以确定一条直线，那么由几个点的坐标就可以确定二次函数呢？ y = a x2 + b x + c 含有____个待定系数,需要____个抛物线上的点的坐标就能求出其解析式. 3 3 新课讲解 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c, 把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得 ①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式. 9a-3b+c=0， a-b+c=0， c=-3， 解得 a=-1， b=-4， c=-3. ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3. 待定系数法步骤： 设：（表达式） 代：（坐标代入） 解：方程（组） 还原：（写表达式） 例1、已经知道一条抛物线的图象经过（-1,10）,（1,4）,（2,7）三点，请你根据所学知识求出这条抛物线的解析式，并写出它的对称轴和顶点坐标. 解：过设所求二次函数为y=ax2+bx+c 将（-1,10）,（1,4）,（2,7）三点代入表达式得： 解这个方程组，得 a-b+c=10， a+b+c=4， 4a+2b+c=7， a=2， b=-3， c=5. 所以，所求二次函数表达式为y=2x2-3x+5. 典例分析 y=2x2-3x+5=2. 所以二次函数的对称轴是，顶点坐标是() ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 一般式法求二次函数表达式的步骤 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 一般式法 已知二次函数的图象经过（0，2），（-1，0），（2，0） 三点，求这个函数的解析式. 解：设二次函数为y=ax2+bx+c， 把（0，2）代入得2=c，∴二次函数为y=ax2+bx+2. 把（-1，0）代入得0=a-b+2，即a-b=-2. ① 把（2，0）代入得0=4a+2b+2，即2a+b=-1. ② ②+①，得a=-1. ∴b=1. ∴这个函数的解析式为y=-x2+x+2. 还有其他的解法吗？ 已知二次函数的图象经过（0，2），（-1，0），（2，0） 三点，求这个函数的解析式. 这个函数经过的三点有什么特点？ (-1,0)，(2,0)是和x轴的两个交点， 所以我们还可以设二次函数为y= 二次函数交点式 解：设二次函数为y= 将(-1,0)，(2,0)两点代入得：y= 因为函数经过（0，2），所以2=-2a 解得：a=-1 所以二次函数解析式为： y=- 1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过（1，－1），（2，－4）和（0，4）三点，那么a，b，c的值分别是（ ） A.a＝－1，b＝－6，c＝4 B.a＝1，b＝－6，c＝－4 C.a＝－1，b＝－6，c＝－4 D.a＝1，b＝－6，c＝4 2.如图，抛物线与x轴交于点（－1，0）和（3，0），与y轴交于点（0，－3），则此抛物线对应的函数的表达式为（ ） A.y＝x2＋2x＋3 B.y＝x2－2x－3 C.y＝x2－2x＋3 D.y＝x2＋2x－3 D B 课堂练习 3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，0），（0，－2），（1，－2），则这个二次函数的表达式为 . 4.如图，平面直角坐标系中一条抛物线经过网格点A，B，C，其中B点坐标为 （4，4），则该抛物线的表达式为 . y＝x2－x－2 5. 如图，已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），求该抛物线对应的函数表达式. 解：由题意得 解得b=2. 代入点坐标（3，0）， 则0=-9+6+c. 解得c=3. 所以该抛物线对应的函数表达式为y=-x2+2x+3. 6.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式． 解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)． 又因为抛物线过点M(0，1)， 所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1， 所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)， 即y＝－x2＋1. 7. 已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）. （1）求抛物线对应的函数表达式； 解：（1）把A（3，0），B（2，-3），C（0,-3）代入y=ax2+bx+c得，9a+3b+c=0，4a+2b+c=-3，c=-3.解得a=1，b=-2，c=-3. 所以抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3. （2）设D是抛物线上一点，且点D的横坐标为-2，求△AOD的面积. （2）把x=-2代入y=x2-2x-3，得y=5. ∴点D的坐标为（-2，5）. ∵A（3，0），即OA=3， ∴S△AOD= 用待定系数法求二次函数的解析式 “一般式”法 已知任意三个点的坐标，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c “顶点式”法 已知任意一个点和顶点的坐标，设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k “交点式”法 已知任意一个点和抛物线与x轴的两个交点（x1，0）（x2，0）的坐标，设二次函数的表达式为y=a(x-x1)(x-x2) 课堂小结 如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出其表达式吗？ 解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3）， 因此设它的关系式为 y=a 又∵图象过点（10，0） ∴ 解得a= ∴图象的表达式为 新课讲解 确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴或小组交流。 确定二次函数的关系式y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)，通常需要3个条件; 当知道顶点坐标（h,k）和图象上的另一点坐标两个条件时，用顶点式 y=a(x-h)2+k 可以确定二次函数的关系式. ∴ 例1、已知二次函数y＝ax2＋c 的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)， ∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5. 解得 关于y轴对称 典例分析 已知二次函数y=ax2+4x+c，当x=-2时，函数值是-1；当x=1时，函数值是5. 求此二次函数的表达式. 解：根据题意得4a-8+c=-1，a+4+c=5.解得a=2，c=-1. 所以此二次函数的表达式为y＝2x2+4x-1. 练一练 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. 解：因为抛物线与y轴交点纵坐标为1，所以设抛物线关系式为 , ∵经过点(2,5)和(-2,13), ∴ 解得：a = 2,b = -2. ∴这个二次函数关系式为. 例2.选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8， 解得 a=-1. ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3. 顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 总结 二次函数的图象经过点（4，-3），且当x=3时，有最大值-1，求该二次函数的表达式. 解：设二次函数的表达式为y＝a（x-3）2-1. 把点（4，-3）代入，得-3＝a（4-3）2-1. 解得a＝-2. 所以二次函数的表达式为y＝-2（x-3）2-1. 在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？ 1.用顶点式y=a(x－h)2+k时，知道顶点（h,k）和图象上的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的表达式. 2. 用一般式y=ax²+bx+c确定二次函数时，如果系数a,b,c中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式. 1. 若抛物线y=x2-8x+m的顶点在x轴上，则m=（ ） A. -16 B. 16 C. -4 D. 8 2. 形状与抛物线y=-x2-2相同，对称轴是直线x=-2，且过点（0，3）的抛物线是（ ） A. y=x2+4x+3 B. y=-x2-4x+3 C. y=-x2+4x+3 D. y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3 B D 课堂练习 3. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 . 4.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式 是 . 顶点坐标是（1，6） y=-2(x-1)2+6 5. 抛物线的顶点为（1，-4），与y轴交于点（0，-3），求该抛物线的函数表达式. 解：设抛物线的表达式为y＝a（x-1）2-4. 将（0，-3）代入y＝a（x-1）2-4， 得-3＝a（0-1）2-4. 解得a＝1. 所以抛物线的表达式为y＝（x-1）2-4＝x2-2x-3. 6. 若二次函数y=ax2+4ax+c的最大值为4，且图象过点（-3，0），求二次函数的表达式. 解：因为抛物线的对称轴为直线x＝＝-2， 所以抛物线的顶点坐标为（-2，4）. 设抛物线表达式为y＝a（x+2）2+4. 把（-3，0）代入，得a·（-3+2）2+4＝0. 解得a＝-4. 所以抛物线表达式为y＝-4（x+2）2+4. 7. 如图，已知二次函数y=的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的表达式； A B C x y O 解:∵该图象经过点（2,0）和(0,－6)， { -2+2b+c=0 c=-6 { b=4 c=-6 ∴二次函数的表达式为： (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的积． A B C x y O 解:∵二次函数对称轴为 ∴c点坐标为（4,0） ②已知顶点坐标或对称轴或最值 已知条件 所选方法 用顶点法：y=a(x-h)2+k 待定系数法 求二次函数解析式 ①已知两点坐标 根据情况设函数解析式 课堂小结 y＝－eq \f(1,6)x2＋eq \f(2,3)x＋4 $