2.3 确定二次函数的解析式 培优练习 2024—2025学年北师大版九年级数学下册

2.3确定二次函数的解析式培优练习北师大版2024—2025学年九年级下册 考点一：一般式：(a，b，c为常数，a≠0)； 例1．二次函数图象经过A（﹣1，0），B（0，﹣2），C（4，0），求二次函数解析式． 变式1.已知二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（﹣2，8）和（﹣1，5），这个二次函数的表达式为（　　） A．y＝﹣x2+6x B．y＝x2+6x C．y＝﹣x2﹣6x D．y＝x2﹣6x 变式2.关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．0 变式3.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象经过点（﹣1，0），且对任意x的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 变式4.用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象，列表如下： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣5 0 3 4 3 0 ﹣5 … （1）在图中画出这个二次函数y＝ax2+bx+c的图象； （2）求出该二次函数的表达式； （3）根据图象，直接写出当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是 　 　． 例2．已知抛物线y＝x2+mx+n（m，n为常数）经过点（1，0），（0，3）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知点A（t﹣1，y1），B（t，y2），C（t+1，y3）在该抛物线上． （i）当t＜0时，比较y1，y2，y3的大小； （ii）若P（x，y）是抛物线上一点，且当t≤x≤t+1时，y有最小值2t，求t的值． 变式1．如图，已知抛物线y＝x2﹣mx+n过点A与B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣2）．点D在抛物线上，且与点C关于对称轴l对称． （1）求该抛物线的函数关系式和对称轴； （2）求△BCD的面积． 变式．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c． （1）若该函数的图象经过点A（﹣1，2），B（1，﹣2）． ①求该函数的表达式及顶点坐标． ②当﹣1≤x≤m时，该函数的最大值与最小值的差为3，求m的值． （2）若点P（﹣2，s），Q（n﹣4，r）都在该函数图象上，且s＞r，求n的取值范围． 变式2．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣2，0），（2，﹣4）． （1）请求此二次函数的解析式； （2）判断点P（﹣3，3）是否在这个二次函数的图象上？请说明理由． 考点二：顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； 例1．已知二次函数的图象以A（1，﹣4）为顶点，且过点B（﹣2，5），求该函数的关系式． 变式1．已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线经过点（3，0），则这条抛物线的函数表达式是（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝﹣（x+2）2+1 D．y＝﹣（x﹣2）2+1 变式2．如果一条抛物线的形状和开口方向与y＝﹣2x2+2相同，且顶点坐标是（4，﹣2），则它的解析式是（　　） A．y＝2（x﹣4）2+2 B．y＝﹣2（x﹣4）2﹣2 C．y＝﹣2（x﹣4）2+2 D．y＝﹣2（x+4）2﹣2 变式3．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝﹣2x2相同，则这个二次函数的表达式是（　　） A．y＝﹣2x2﹣x+3 B．y＝﹣2x2+4 C．y＝﹣2x2+4x+8 D．y＝﹣2x2+4x+6 变式4．抛物线y＝a（x+h）2的对称轴是直线x＝﹣2，且过点（1，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 变式5．已知二次函数图象的顶点是（1，2），且图象经过点（0，3）． （1）求该二次函数的解析式； （2）求证：对任意实数m，点（m，﹣m）都不在这个二次函数的图象上． 例2．已知二次函数的图象经过（0，0），且它的顶点坐标是（1，﹣2）． （1）求这个二次函数的关系式； （2）判断点P（3，﹣6）是否在这条抛物线的图象上． 变式1．已知抛物线的顶点坐标为（3，﹣1），且经过点（0，2）． （1）求该抛物线的表达式． （2）请判断点是否在该抛物线上，并说明理由． 变式2．已知抛物线的顶点坐标为（0，1）． （1）抛物线的解析式为　 　； （2）已知点A（0，2），点B（1，3），点P在抛物线上，设点P的横坐标为m，求线段PA的长（用含有字母m的式子表示）； （3）抛物线上是否存在点P，使得PA+PB的值最小，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 考点三：交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 例1．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴的交点为M（﹣1，0），N（3，0）．求此二次函数的表达式． 变式1．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若y＜﹣4，直接写出x的取值范围． 变式2．已知一个二次函数的图象经过A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴和顶点P的坐标； （3）△ABP的面积为 　 　． 变式3．已知二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（1，0），（3，0）． （1）求该二次函数的表达式和顶点坐标； （2）当y＝8时，求x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$