2.2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，通过复习y=a(x-h)²+k的开口方向、对称轴及平移规律导入，搭建新旧知识衔接的学习支架，引导学生逐步掌握相关内容。 其亮点在于通过“提、配、化”三步配方口诀培养推理意识，结合描点画图和桥梁钢缆实例发展几何直观与应用意识。采用典例分析与系统小结，帮助学生理解知识形成过程，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 第二章 二次函数 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 2 二次函数的图象与性质 学习目标 1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象； 2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； 3.让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y=ax2+bx+c的性质. 1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) y=2(x－1)2 －3 (2)y=－0.5(x+3)2 (3) y = 3(x+2)2+2 2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？ 复习引入 我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质, 你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗? 化成y=a(x-h)2+k的形式. 怎样将y=2化成y=a(x-h)2+k的形式？ 新课讲解 y=2 y=2(x2－2x)+5 y=2(x2－2x+1)－2+5 y=2(x－1)2+3 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式. y=2x2－4x+5 y=2(x－1)2+3 你能说出y=2(x－1)2+3的对称轴及顶点坐标吗？ 对称轴是直线x=1,顶点坐标是（1，3）. 二次函数y=2(x－1)2+3可以看作是由y=2怎样平移得到的？ 平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移1个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的. 如何用描点法画二次函数y=2(x－1)2+3的图象？ … … … … 4 3 2 1 0 -1 -2 x 解: 先利用图形的对称性列表 21 11 5 3 5 11 21 0 10 x y 5 10 然后描点画图，得到图象 如右图. 结合二次函数y=2(x－1)2+3的图象，说出其增减性. 当x<1时，y随x的增大而减小； 当x>1时，y随x的增大而增大. 试一试 你能用上面的方法讨论二次函数y=2x2-8x+7的图象和性质吗？ 例1 求二次函数y=2x2－8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 解: y=2x2－8x+7 y=2(x2－4x)+7 y=2(x2－4x+4)－8+7 y=2(x－2)2－1 ∴对称轴是x=2,顶点坐标为(2,-1) 典例分析 解：（1）y=3x2-6x+7 =3(x-1)2+4. 对称轴： 直线x=1 顶点坐标： （1，4） （2） y=2x2-12x+8 =2(x-3)2-10. 对称轴： 直线x=3 顶点坐标： （3，-10） 求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （1）y=3x2-6x+7；（2）y=2x2-12x+8. 解：y=ax²+bx+c 例2：求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴、顶点坐标. ∴对称轴是x=-,顶点坐标为() 12 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即 因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 x y O 当x<时，y随x的增大而减小； 当x>时，y随x的增大而增大； 当x=时，函数达到最小值， 最小值为. x y O 当x<时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小;当x= 时，函数达到最大值，最大值为. 14 顶点坐标 对称轴 最值 y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5 (1,1) x=1 最大值1 (0,-1) y轴 最大值-1 最小值-6 ( ,-6) 直线x= 15 例3 如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,而且左右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 y=表示. (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少? (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少? 解：（1）∵y=x2+x+10 = (x+20)2+1. ∴左侧钢缆最低点坐标为（-20，1）， ∴钢缆最低点到桥面的距离是1m. （2）∵左、右两侧抛物线关于y轴对称， ∴左、右两侧抛物线的最低点关于y轴对称. ∵左侧抛物线最低点坐标为（-20，1）， ∴右侧抛物线最低点坐标为（20，1）. ∴两条钢缆最低点之间的距离是40m. 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表： 则该二次函数图象的对称轴为( ) A.y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= 2.把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则(　　) A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21 x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 D A 课堂练习 3. 点P1（-1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上，则y1 ，y2，y3的大小关系是 . 4.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表： 二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x= , x=2对应的函数值y= . -8 1 5.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 直线x=3 直线x=8 直线x=1.25 直线x= 0.5 6．已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(－2，4)． (1)求b，c满足的关系式； (2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式； 解：(1)将点(－2，4)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得4－2b＋c＝4，∴c＝2b. （2）由题知，m＝－，n＝，∴b＝－2m. 又由(1)知c＝2b，∴n＝. ∴n＝－m2－4m. 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 课堂小结 $