2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图象与性质-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数y=a(x-h)²与y=a(x-h)²+k的图象及性质，通过复习y=ax²+c的图象特征与性质作为导入支架，引导学生从旧知过渡到新知，构建二次函数图象变换的知识脉络。 其亮点在于采用描点法画图与对比分析，结合表格归纳性质，培养学生几何直观与推理意识，通过“左加右减、上加下减”规律总结，形成模型意识。例如列表绘制y=2x²与平移后函数图象，帮助学生理解a、h、k的影响，既提升学生探究能力，也为教师提供清晰教学思路。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 第二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的 图象与性质 2 二次函数的图象与性质 学习目标 1.使学生会用描点法画二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象； 2.使学生能根据图象认识和理解二次函数的性质，说出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标； 3.二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k之间的关系，a，h，k对二次函数图象的影响. 1.二次函数y=ax2+c的图象是什么形状的？ 2.二次函数y=ax2+c的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值分别是怎样的？ 抛物线 分a＞0和a＜0两种情况 复习引入 画二次函数y=2x2，y=2(x-1)2和y=2(x+1)2的图象. (1)列出下表. x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y = 2x2 32 18 8 2 0 2 8 18 32 y=2(x-1)2 50 32 18 8 2 0 2 8 18 y=2(x+1)2 18 8 2 0 2 8 18 32 50 新课讲解 (2)在下图中画出y=2x2， y=2(x-1)2 , y=2(x+1)2的图象. 3 6 9 y O -3 3 x y=2x2 y=2(x-1)2 y=2(x+1)2 y=2(x+1)2的呢? y=2(x-1)2 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 开口方向向上，对称轴x=1，顶点坐标(1，0) 开口方向向上，对称轴x=-1，顶点坐标(-1，0) a＞0时，开口 , 最____ 点是顶点; a＜0时，开口 , 最____ 点是顶点; 对称轴是 ， 顶点坐标是 . 向上 低 向下 高 直线 x = h ( h,0 ) 二次函数y=a（x-h)2 的特点 二次函数y = a(x-h)2的图象和性质: a的符号 a>0 a<0 图象 h>0 h<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小. 当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大. 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,0） x=h时，y最小值=0 x=h时，y最大值=0 （h,0） 7 例1 画出二次函数y=的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· －2 －4.5 －2 0 0 －2 －2 －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －4.5 0 x y 抛物线y=与抛物线y=- 有什么关系？ 向右平移 1个单位 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 向左平移 1个单位 二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2的关系 可以看作互相平移得到(h>0). 左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变. y=a(x-h)2 当向左平移 ︱h︱ 时 y=a(x+h)2 当向右平移 ︱h︱ 时 y=ax2 10 由二次函数y=2x2的图象，你能得到二次函数y=2x2- ，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2-的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流. y=2x2 y=2x2- y=2(x+3)2- y=2(x+3)2 y=2x2-的图象：由y=2x2的图象向下平移个单位得到. y=2(x+3)2的图象：由y=2x2的图象向左平移3个单位得到. y=2(x+3)2- 的图象：由y=2x2的图象向左平移3个单位，再向下平移个单位得到（也可由y=2x2的图象向下平移个单位，再向左平移3个单位得到）. 二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系 可以看作互相平移得到的(h>0，k>0). y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 上下 平移 左右 平移 上下 平移 左右 平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 二次函数 y=a(x-h)2+k的性质 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,k） （h,k） 当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是(　　) 2.已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为(　　) A．－12 B．12 C．32 D．－32 B D 课堂练习 3.已知函数y=-3(x-2)2+4，当x=___时，函数取最大值为____. 4.已知抛物线y=-(x+1)2-3，当x_______时，y随x的增大而减小. 5.怎样平移抛物线y=3x2，便可得到抛物线y=3(x-2)2+2？ 2 4 ＞-1 由抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位或先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到. 6.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系． 解：图象如图. 函数y=2(x-2)2的图象是由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到. y O x y = 2x2 2 7.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系． 解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4， 得0＝4a－4，解得a＝1； (2) 根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵y1＝y2， ∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2； 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 图象特点 当a>0,开口向上；当a<0,开口向下. 对称轴是x=h, 顶点坐标是(h,k). 平移规律 左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减. 课堂小结 x ··· －2 －1 0 1 2 ··· ··· 2 0.5 0 0.5 2 ··· y = 2x2 ··· 8 2 0 2 8 ··· 在画有y =x2直角坐标系中，画出，y =2x2的图象. ①列表； ②描点； ③连线. y =x2 y=2x2 新课讲解 y =x2 y=2x2 函数，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？ 开口都向上， 对称轴都是y轴. 顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点. 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大. y=2x2抛物线的开口最小． y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 最值 向上 向下 (0，0) (0，0) y轴 (x=0) y轴 (x=0) 在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧， y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小. x=0时，y最小=0 x=0时，y最大=0 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说来，|a|越大，抛物线的开口就越小. 做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象． 解：先列表, 9 5.5 3 1 3 5.5 9 7 3.5 1 －1 1 3.5 7 然后描点画图, 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2x2 -1 y = 2x2+1 -1 抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 思考 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2x2 -1 y = 2x2+1 -1 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = 2x2+1 y = 2x2 -1 上 上 y轴 y轴 （0,1） （0,-1） 相同点： 不同点： 开口方向相同、形状相同，对称轴都是y轴。 顶点坐标发生了改变。 25 二次函数y=2x2+1、y=2x2-1与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？ 0 2 8 2 8 9 3 1 3 9 7 1 -1 1 7 解：先列表： y x 2 6 4 8 0 2 4 -2 -4 -2 1、因为a值相同，所以开口方向， 大小都相同； 2、二次函数y=2x2+1的图象，可以看作是由y=2x2的图象向上平移1个单位得到； 3、二次函数y=2x2-1的图象，可以看作是由y=2x2的图象向下平移1个单位得到. 再描点，连线 y=ax2+c的图象是由 y=ax2的图象上下平移得到的, (1)当c>0 时，向上平移c个单位; (2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位. 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 28 在同一坐标系中，画出二次函数,y= y=的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线y= 通过怎样的平移可得到抛物线. -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 如图所示 y= y=+2 二次函数y = ax2 +c的图象和性质: a的符号 a>0 a<0 图象 c>0 c<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0，c） （0，c） x=0时，y最小值=c x=0时，y最大值=c 1.画抛物线y=ax2+c的图象有些方法？ 2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么？c决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标. 对称轴为y轴；顶点坐标为(0,c). 1.对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是(　　) A．最小值为2 B．图象与x轴没有公共点 C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．图象的对称轴是y轴 2.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与x轴的交点的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 C B 课堂练习 3.将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_____________． y=x2－1 4.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上. 5. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k . 在 =2 >2 <2 6.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点. （1）y=x2+3; （2）y=-3x2-4. 解：（1）开口向上,对称轴为y轴,顶点为（0，3）. （2）开口向下,对称轴为y轴,顶点为（0，-4）. 7.已知函数y=ax2+c的图象经过点 （1，）和（-3，-1）. （1）求函数的关系式； （2）指出顶点坐标； （3）求抛物线y=ax2+c与x轴的交点. 解：（1）由题意，得 解得 ∴此函数的关系式为y=-x2+2. （2）顶点坐标为（0,2）. （3）当y=0时，- x2+2=0. 解得. ∴此抛物线与x轴交点为（，0）（-，0）. 复习y=ax2 探索y=ax2+c的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 y轴（直线x=0） （0,c） a>0,开口向上 a<0,开口向下 课堂练习 $