2.2二次函数的图象与性质（第3课时）教学设计2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦二次函数顶点式y=a(x-h)²+k的图像与性质，通过复习y=ax²+c的图像特征及平移规律，搭建从一般式到顶点式的学习支架，衔接旧知与新知。 以探究活动为主线，学生通过绘制y=2x²、y=2(x±1)²等图像，自主归纳a,h,k对图像的影响，发展几何直观与推理意识。结合抛物线平移实例培养模型意识，配方法教学为后续最值问题奠基，提升学生探究能力，助力教师高效突破重难点。

2.2二次函数的图象与性质（第3课时） 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第2章“二次函数”的第2节。内容包括：二次函数顶点式 y = a(x-h)² + k 的图像与性质 （二）教学内容解析 本节是学生学习了二次函数一般式和图像的基础上，对特殊形式顶点式的深入探究。 顶点式的核心价值在于能快速确定抛物线的顶点和对称轴，为后续解决最值问题和图像变换奠定基础。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】理解顶点式中 a, h, k 的几何意义，掌握其图像性质。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 学生能说出二次函数顶点式 y = a(x-h)² + k 的图像性质，会用顶点式解决简单问题，并初步掌握用配方法将一般式化为顶点式。 2. 通过观察、比较、归纳，经历从具体到抽象的过程，发展学生的数学抽象和逻辑推理能力。 3. 感受数学的严谨性和逻辑性，体验数形结合的思想，激发学习数学的兴趣。 （二）教学目标解析 1. 达成目标1的标志是：学生能根据顶点式直接写出顶点坐标、对称轴，并能判断开口方向和最值。 2.达成目标2的标志是：学生能主动参与探究活动，通过对比 y = x² 和 y = a(x-h)² + k 的图像，自己总结出 a, h, k 对图像的影响。 3.达成目标3的标志是：学生在小组讨论和展示中表现出积极性，能体会到不同形式的二次函数在解决问题时的各自优势。 三、学生学情分析 已有基础：学生已经学习了二次函数的定义、一般式 y = ax² + bx + c，并能根据一般式画出图像，初步了解了图像的开口方向、顶点、对称轴等概念。 可能困难： 对顶点式中 h 的符号容易混淆，例如将 y = (x-2)² 的对称轴误认为是 x = -2。理解 a, h, k 对图像的综合影响有一定难度。 配方法的步骤较多，计算容易出错，是本节的主要难点。基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】二次函数图象与图象之间的关系，对二次函数图象的影响. 四、教学策略分析 1. 情境引入：通过一个求最值的实际问题（如长方形面积），引发学生思考，感受一般式在解决此类问题时的不便，从而引出顶点式的必要性。 2. 合作探究：将学生分组，提供不同的顶点式函数，让他们通过列表、描点、画图，观察并讨论 a, h, k 对图像的影响，教师巡视指导。 3. 精讲点拨：在学生探究的基础上，教师进行总结提炼，强调易错点（如 h 的符号），并系统讲解配方法的步骤，突破难点。 4.变式练习：设计由易到难的练习题，包括直接应用顶点式、两种形式的互化以及解决实际问题，巩固所学知识。 五、教学过程分析 （一）复习引入 1.二次函数y=ax2+c的图象是什么形状的？ 2.二次函数y=ax2+c的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值分别是怎样的？ 二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到. 当c < 0 时,向下平移-c个单位长度得到. 设计意图：复习旧知，唤醒认识。 （二）主动参与、感悟新知 探究一：画二次函数y=2x2,y=2(x-1)2和y=2(x+1)2的图象. (1)列出下表. (2)在下图中画出y=2x2,y=2(x-1)2 , y=2(x+1)2的图象. y=2(x-1)2 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? y=2(x+1)2的呢? 总结：二次函数y=a（x-h)2 的特点 a＞0时，开口 , 最____ 点是顶点; a＜0时，开口 , 最____ 点是顶点; 对称轴是 ，顶点坐标是 . 想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＞0) 的性质是什么？ 探究二： 抛物线 y = 2(x + 1)2，y = 2(x - 1)2 与抛物线 y = 2x2 有什么样的关系？ 形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同. 类似地，可以证明二次函数 y=a(x-h)2的下列性质 总结：二次函数y=ax2 与y=a(x-h)2（a ≠ 0）的图象的关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到. 当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 例1：对于二次函数y=-3(x+2)2,它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？ 例2：将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线对应的函数关系式为(　　) A．y＝3(x＋2)2＋3　　 B．y＝3(x－2)2＋3 C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3 （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是(　　) 2.已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为(　　) A．－12 B．12 C．32 D．－32 3.已知函数y=-3(x-2)2+4，当x=___时，函数取最大值为____. 4.已知抛物线y=-(x+1)2-3，当x_______时，y随x的增大而减小. 5.怎样平移抛物线y=3x2，便可得到抛物线y=3(x-2)2+2？ 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $