2.2 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²和y=ax²+c的图象与性质，通过复习已学二次函数形式提问引出新内容，以描点法画图为基础，先探究y=ax²的性质，再对比y=ax²+c与y=ax²的图象关系，搭建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于注重几何直观与推理意识的培养，通过列表描点画图、对比函数图象异同，引导学生自主总结开口方向、对称轴、顶点坐标及平移规律，体现数学思维。课堂练习设计典型，帮助学生巩固知识，教师可直接用于教学，提升课堂效率。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 第二章 二次函数 第2课时 二次函数y=ax2 和y=ax2+c的图象与性质 2 二次函数的图象与性质 学习目标 1.使学生会用描点法画二次函数y=ax2和y=ax2+c（a≠0）的图象； 2.使学生能根据图象认识和理解二次函数的性质，说出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. y =－x2 y =x2 二次函数是否只有y＝x2与y＝－x2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？ 复习引入 x ··· －2 －1 0 1 2 ··· ··· 2 0.5 0 0.5 2 ··· y = 2x2 ··· 8 2 0 2 8 ··· 在画有y =x2直角坐标系中，画出，y =2x2的图象. ①列表； ②描点； ③连线. y =x2 y=2x2 新课讲解 y =x2 y=2x2 函数，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？ 开口都向上， 对称轴都是y轴. 顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点. 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大. y=2x2抛物线的开口最小． y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 最值 向上 向下 (0，0) (0，0) y轴 (x=0) y轴 (x=0) 在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧， y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小. x=0时，y最小=0 x=0时，y最大=0 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说来，|a|越大，抛物线的开口就越小. 做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象． 解：先列表, 9 5.5 3 1 3 5.5 9 7 3.5 1 －1 1 3.5 7 然后描点画图, 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2x2 -1 y = 2x2+1 -1 抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 思考 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2x2 -1 y = 2x2+1 -1 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = 2x2+1 y = 2x2 -1 上 上 y轴 y轴 （0,1） （0,-1） 相同点： 不同点： 开口方向相同、形状相同，对称轴都是y轴。 顶点坐标发生了改变。 9 二次函数y=2x2+1、y=2x2-1与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？ 0 2 8 2 8 9 3 1 3 9 7 1 -1 1 7 解：先列表： y x 2 6 4 8 0 2 4 -2 -4 -2 1、因为a值相同，所以开口方向， 大小都相同； 2、二次函数y=2x2+1的图象，可以看作是由y=2x2的图象向上平移1个单位得到； 3、二次函数y=2x2-1的图象，可以看作是由y=2x2的图象向下平移1个单位得到. 再描点，连线 y=ax2+c的图象是由 y=ax2的图象上下平移得到的, (1)当c>0 时，向上平移c个单位; (2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位. 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 12 在同一坐标系中，画出二次函数,y= y=的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线y= 通过怎样的平移可得到抛物线. -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 如图所示 y= y=+2 二次函数y = ax2 +c的图象和性质: a的符号 a>0 a<0 图象 c>0 c<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0，c） （0，c） x=0时，y最小值=c x=0时，y最大值=c 1.画抛物线y=ax2+c的图象有些方法？ 2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么？c决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标. 对称轴为y轴；顶点坐标为(0,c). 1.对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是(　　) A．最小值为2 B．图象与x轴没有公共点 C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．图象的对称轴是y轴 2.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与x轴的交点的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 C B 课堂练习 3.将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_____________． y=x2－1 4.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上. 5. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k . 在 =2 >2 <2 6.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点. （1）y=x2+3; （2）y=-3x2-4. 解：（1）开口向上,对称轴为y轴,顶点为（0，3）. （2）开口向下,对称轴为y轴,顶点为（0，-4）. 7.已知函数y=ax2+c的图象经过点 （1，）和（-3，-1）. （1）求函数的关系式； （2）指出顶点坐标； （3）求抛物线y=ax2+c与x轴的交点. 解：（1）由题意，得 解得 ∴此函数的关系式为y=-x2+2. （2）顶点坐标为（0,2）. （3）当y=0时，- x2+2=0. 解得. ∴此抛物线与x轴交点为（，0）（-，0）. 复习y=ax2 探索y=ax2+c的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 y轴（直线x=0） （0,c） a>0,开口向上 a<0,开口向下 课堂练习 $