2.2 第1课时 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数y=x²与y=-x²的图象与性质，通过复习一次、反比例函数，结合正方形面积问题引出新函数，复习画图步骤并对比旧函数图象，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生衔接知识。 其亮点是以描点法画图为基础，对比y=x²与y=-x²的开口方向、增减性等性质，归纳y=ax²的共性与差异，培养学生的几何直观和推理意识。课堂练习结合待定系数法求表达式及图象分析，用表格归纳性质，学生能提升抽象能力和应用意识，教师可借助清晰结构和分层练习提高教学效率。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 第二章 二次函数 2 二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质 学习目标 1.使学生初步理解二次函数的概念； 2.使学生会用描点法画y=x2和y=-x2的图象； 3.使学生结合y=x2和y=-x2的图象初步理解抛物线及其有关概念. 复习旧知 函 数 一次函数 反比例函数 y=kx+b (k≠0) (正比例函数) y=kx (k≠0) 思考 一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？ y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数. 思考：这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧. 复习引入 1.二次函数的定义 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数. （1）列表. （3）连线. （2）描点. 2.画函数图象的主要步骤是什么？ 复习引入 （1）一次函数的图象是 ． 一条直线 3.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？ 一次函数y=kx+b(k≠0) x y o b<0 b>0 b=0 x y o b<0 b>0 b=0 （2)反比例函数的图象是 . 双曲线 反比例函数(k≠0) 0 x y 问题:二次函数的图象是什么形状呢？ 画二次函数y = x2的图象. x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 1.列表:在y = x2中,自变量x可以是任意实数. 新课讲解 2.描点:根据表中x, y的数值在坐标平面中描点(x, y). 3.连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得到y = x2的图象. 3 6 9 y O -3 3 x 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y 1.你能描述图象的形状吗？ 二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上. 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ 有，(0,0). 3.当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？ 4.当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？ x=0时，ymin=0. 5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点. 是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）； 如（1，1）和（-1，1）等. 二次函数y=x2的图象是一条抛物线， 开口方向：向上 对称轴：y轴 顶点：对称轴与抛物线的交点，它是图象的最低点.坐标为（0,0） 二次函数y =－x2的图象是什么形状? 它与二次函数y=x2的图象有什么关系? 二次函数y=－x2的图象也是一条抛物线,它的开口向下,关于y轴对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,它是图象的最高点. y =x2和 y=－x2的图象关于x轴对称. 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x y 11 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x 二次函数 y=-x2图象是一条开口向下的抛物线； 对称轴：y轴； 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小， 当x=0时，ymax=0. 顶点：坐标（0，0），是抛物线上的最高点. 问题1：根据y=x2和y=-x2的图像，试着探究二次函数y=ax2的性质. -1 -2 -3 -4 5 1 -2 3 -4 -5 -1 2 -3 4 -5 1 2 3 4 5 y O x y = x2 y =- x2 对称轴都是y轴 共同点： 顶点都是坐标原点 不同点： 当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下． 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. 联 系： -1 -2 -3 -4 5 1 -2 3 -4 -5 -1 2 -3 4 -5 1 2 3 4 5 y O x 对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小. 当x<0时，y随x取值的增大而增大. 对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； y＝x2 y＝－x2 图象 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 位置开 口方向 对称性 顶点 最值 增减性 要点归纳 1.两条抛物线y=与y=- 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　） A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为x=0 C. 开口都向上 D. 都有(0,0)处取最值 2.下列图象中可能是二次函数y＝x2的图象的是( ) C A 课堂练习 3. 对于函数y＝5x2，下列说法正确的是( ) A．y随x的增大而增大 B．图象开口向下 C．图象关于y轴对称 D．无论x取何值时，y的值总是正的 4.若点 A(2,m)在抛物线 y=x2 上，则点A关于 y 轴对称点的坐标是 　　　． 5．二次函数 y = -x2 的图象，在 y 轴的右边，y 随 x 的增大而________． C (-2，4) 减小 解：(1)设y＝ax2，将(－1，)代入，得a＝，∴y＝x2，如图 (2)当x＞0时，y随x的增大而增大; (3)当x＝0时，有最小值为0. 6.若一个二次函数的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点(－1，). (1)求这个二次函数的表达式，并画出它的图象； (2)指出当x＞0时y随x的变化情况； (3)指出函数的最大值或最小值． 7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 解：由题意得 解得 所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． ∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4. ∴S△ACO＝·CO·4＝8，S△BOC＝×4×1＝2， ∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10. 二次函数y=x2和y=－x2图象与性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 课堂小结 $