2.1 二次函数-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数的定义、表达式及特点，通过喷泉水流路线等生活现象导入，复习一次函数、反比例函数后，结合正方形面积问题引出新函数，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是以果园产量、银行储蓄等实例为载体，引导学生用数学眼光观察现实世界，抽象出二次函数模型。通过归纳表达式特点得出定义，培养推理意识，体现数学思维。练习含辨析与应用，小结系统梳理定义及特殊形式，助力学生夯实基础，教师可高效教学，提升学生数学应用能力。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 第二章 二次函数 1 二次函数 学习目标 1.探索并归纳二次函数的定义； 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 情景导入 节日的喷泉给人们带来喜庆,夏日的喷泉给人们带来凉爽. 你是否注意过喷泉水流所经过的路线? 它会与某种函数有联系吗? 复习旧知 函 数 一次函数 反比例函数 y=kx+b (k≠0) (正比例函数) y=kx (k≠0) 思考 一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？ y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数. 思考：这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧. 复习引入 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 新课讲解 新知讲解 (1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 增种的棵树和平均每棵树结的橙子个数是变量. 增种的棵树是自变量,平均每棵树结的橙子个数是因变量. 新知讲解 (2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? 果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600－5x). (3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式. y=(100+x)(600-5x) =-5x²+100x+60000. 对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. ? 设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税). y=100(x+1)²=100x²+200x+100 二次函数 y=-5x²+100x+60000 y=100x²+200x+100 有何特点呢？ 经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, ) a≠0 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数. 注意: (1)含自变量x的代数式一定是整式，而不是分式或根式. (2)自变量x的最高次数必须是2. （3）二次项系数不等于零. (4)可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项. 想一想 S=a2(正方形面积与边长的关系) S=πr2(圆面积与半径的关系) h=gt2(自由落体下落高度与时间的关系) 你可以举例说明还有哪些可以表示为二次函数关系？ 总结归纳 二次函数的一般式： 特殊式： 课堂练习 1.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数 C 2．下列函数是二次函数的是 ( ) A．y＝2x＋1 B． C．y＝3x2＋1 D． C 课堂练习 课堂练习 3.把y=(2-3x)(6+x)变成y=ax²+bx+c的形式，二次项为 _____,一次项系数为______，常数项为 . -3x2 -16 12 4. 已知函数 y=3x2m-1－5 ① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数； ② 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 . 1 课堂练习 5.圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm2. (1)写出y与x之间的关系式; (2)当圆的半径分别增加1cm, cm,2cm时,圆的面积各增 加多少? (1)y=π(x+1)2－π=πx2+2πx (2)当x=1cm时, y=3π(cm2) 当x=cm时, y=(2+2 )π(cm2) 当x=2cm时, y=8π(cm2) 二次函数 定 义 y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数) 一般形式 右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0. 特殊形式 y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数). 课堂小结 $