1.6 利用三角函数测高-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

该初中数学课件聚焦“利用三角函数测高”，通过情景引入（探险者估山峰距离）和温故知新（直角三角形边角关系、仰角俯角）衔接旧知，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于结合分组实地测量活动，通过测倾器使用、底部可到达（如测主楼高度）与不可到达（如测大厦高度）两种方案，培养学生数学眼光（抽象实际问题）、数学思维（推理计算）、数学语言（数据处理），提升应用意识，教师可借助结构化流程与实例高效教学。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 第一章 直角三角形的边角关系 6 利用三角函数测高 1.经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程，能够对所得到的数据进行分析； 2.能够对测倾器进行调整及对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果； 3.能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题. 学习目标 b A B C a ┌ c 1.直角三角形的边角关系： cos A= sin A= （1）直角三角形的三边之间有什么关系？ （2）直角三角形的锐角之间有什么关系？ （3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ a2+b2=c2(勾股定理) ∠A+∠B=90°. tan A= 温故知新 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 2.仰角、俯角： 某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3 500 m的山峰顶点B处的水平距离. 他能想出一个可行的办法吗？ ． ． A B 怎么解答 情景引入 活动课题：利用直角三角形的边角关系测量物体的高度． 活动方式：分组活动、全班交流研讨． 活动工具：测倾器（或经纬仪、测角仪等）、皮尺等测量工具． 测量倾斜角 0 30 30 60 60 90 90 P Q 度盘 铅锤 支杆 问题1：如何测量倾斜角？ 测量倾斜角可以用测倾器. 简单的侧倾器组成：度盘、铅锤和支杆. 新课讲解 测量倾斜角 问题2：如何使用测倾器？ 步骤1：把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置. 0 30 30 60 60 90 90 P Q 水平线 测量倾斜角 问题2：如何使用测倾器？ 步骤2：转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数. 0 30 30 60 60 90 90 M 30° 测量底部可以到达的物体的高度 所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离． 如图,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据？ C A E N M a L α 步骤如下: 1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α. 2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=L. 3.量出测倾器的高度AC=a 测量底部可以到达的物体的高度 在RT△MCE中， ME=EC·tanα=AN·tanα=L·tanα MN=ME+EN=ME+AC=L·tanα+ a 根据测量数据，你能求出物体 MN 的 高度吗？说说你的理由. 测量物体MN的高度的步骤： （1）在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α； （2）量出测点A到物体底部N的水平距离AN= l ； （3）量出测倾器的高度AC=a. （4）MN=ME+EN=l·tanα+a； 测量底部可以到达的物体的高度 A C M N E α a l 解：如图，作EM垂直CD于M点。根据题意，可知： EB=1.4m∠DEM=30°,BC=EM=30 m, CM=BE=1.4m 在Rt△DEM中，DM=EM·tan30°≈30×0.577 =17.32(m)， CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m). 【例1】如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是５m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m，求学校主楼的高度(精确到0.01m). M 测量底部不可以到达的物体的高度 所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离． 如图,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据？ 步骤如下: 1.在测点 A 处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE = α . 2.在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器（A，B 与 N 在一条直线上，且 A，B 之间的距离可以直接测得），测得此时 M 的仰角∠ MDE = β. 3.量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距离 AB = b． 测量底部不可以到达的物体的高度 根据测量数据，你能求出物体 MN 的 高度吗？说说你的理由. a b α E C A D B β N M 测量物体MN的高度的计算过程： 在Rt△MDE中，ED= 在Rt△MCE中，EC = ； EC-ED=－=b ，即 ME= , ∴MN=+a. 测量底部不可以到达的物体的高度 a b α E C A D B β N M 课题 在平面上测量地王大厦的高AB 测量示意图 测得数据 (测倾器高度为1m) 测量项目 ∠α ∠β CD的长 第一次 30° 16' 45° 35' 60.11m 第二次 29° 44' 44° 25’' 59.89m 平均值 【例2】下表是小亮所填实习报告的部分内容，请根据数据求大楼的高. C E D F A G B α β 30° 45° 60m 解：由表格中数据，得α=30° ，β=45° , 在Rt△AEG中，EG= 在Rt△AFG中，FG= ； ∴CD=EF= EG-FG . ∴AG=， ∵CD=60m，BG=EC=1m ∴AB=AG+BG= +1= 答：大楼高度为m. 1.如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60°，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB = 米； 2.如图，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在地面BC和斜坡的坡面CD上，测得BC = 10米，CD = 4米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 米. 80 7+ 课堂练习 3. 如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β. 则较低建筑物CD的高度为（ ）. A. a米 B. C. D. a(tanβ-tanα) D 4. 如图所示，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°(在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高BD. （结果精确到1m.） 解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC =25°，AC =1000m， 因此tan25°= 从而BC=1000×tan25°≈466.3（m） 因此，上海东方明珠塔的高度：BD=466.3+1.7=468（m） 答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m. 解：如图，由题意可知， ∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°， D′C′=50m. ∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m ，设AB′=x (m) ∵tan∠D′AB′= tan∠C′AB′= ∴=x·tan60°，= x·tan30° ∴ x·tan60° - x·tan30° =50 ∴AB’=x= ∴AB=x+1.5==43.3+1.5=44.8≈45（m） 5.如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高为1.5 m. 你能帮小明算出该塔有多高吗? (结果精确到1 m) D′ A B′ B D C′ C 利用三角函数测高 测倾器的认识及使用 测量底部可以到达的物体的高度（一次测量仰角） 测量底部不可以到达的物体的高度（两次测量仰角） 利用解三角形的知识，求出物体的高度 课堂小结 $