1.5 三角函数的应用-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

该初中数学课件聚焦三角函数的应用，核心内容为利用方向角、仰角等解决实际问题。通过温故知新复习三角函数概念，以货轮触礁情境引入，搭建从旧知到建模的学习支架，引导学生构造直角三角形转化问题。 其亮点在于以真实情境（货轮、测塔高、楼梯改造）培养数学眼光，通过一题多解（测塔高两种方法）发展数学思维，课堂小结规范解题步骤强化数学语言。助力学生提升问题转化与建模能力，为教师提供清晰教学流程与实例参考。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 第一章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 1.利用三角函数解决与方向角、仰角、俯角、坡度及坡角相关的问题.（重点） 2.通过做辅助线构造直角三角形，再利用三角函数解决实际问题.（难点） 学习目标 三角函数的概念： 锐角的正弦、余弦和正切叫做的三角函数 sinA = cosA = tanA = 温故知新 海中有一个小岛A，该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货轮继续向东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴进行交流. 上面的问题需要用到我们刚学的三角函数知识才能解决. 情境引入 首先需要弄清什么是方向角： 方向角一般是指目标与参照物所在的直线和南北方向所在的直线所夹的锐角. 注意：（1）方向角常写成“北偏东（西）多少度”“南偏东（西）多少度”的形式，而一般不写成“东偏南（北）多少度”“西偏南（北）多少度”的形式. （2）观测点不同，同一目标所得的方向角不同. 为了解决上面的问题，我们首先需要根据条件画出几何图形，把实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型. 根据所画的图形，过A作AD⊥BC于D. D 作好辅助线后，我们将“货轮继续向东航行途中是否有触礁的危险”的实际问题转化为求线段AD的长，再比较AD的长是否大于10km的一个数学问题了. D 问题解答： 解：设AD=x，根据题意，∠DAB=55°,∠CAD=25° 在Rt△ABD中，tan∠BAD=， ∴BD=AD∙tan∠BAD=1.43x. 在Rt△ACD中，tan∠CAD=， ∴CD=AD∙tan∠CAD=0.47x. ∵BC=BD-CD，∴1.43x-0.47x=20.解得 x≈20.8 ∵20.8＞10，∴货轮继续向东航行途中不会有触礁的危险. 如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m). 想一想 要解决这问题,我们仍需将其数学化. 请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做? 现在你能完成这个任务吗? D A B C ┌ 50m 300 600 答:该塔约有43m高. 解法1:如图,根据题可知;∠A=300,∠DBC=600,AB=50m. 设CD=x,则∠ADC=60º,∠BDC=30º, 在Rt△ADC中,tan60º= 在Rt△BDC中,tan30º= ∵AC-BC=AB 例题欣赏 解法2:如图,根据题意知,∠A=30º,∠DBC=60º,AB=50m. 则∠ADC=60º,∠BDC=30º, D A B C ┌ 50m 300 600 ∴∠BDA=30º ∴∠A=∠BDA ∴BD=AB=50 在Rt△DBC中,∠DBC=60º sin60º= ∴DC=50×sin60º=25 43 (m) 答:该塔约有43m高 老师提示 本题的解法你又得到了哪些经验？ 解法2:如图,根据题意知,∠A=30º,∠DBC=60º,AB=50m. 则∠ADC=60º,∠BDC=30º, D A B C ┌ 50m 300 600 ∴∠BDA=30º ∴∠A=∠BDA ∴BD=AB=50 在Rt△DBC中,∠DBC=60º sin60º= ∴DC=50×sin60º=25 43 (m) 答:该塔约有43m高 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.01m） 做一做 解：如图，设梯子原长为AB，加长后的梯子长为AC，梯子高度为AD. 在Rt△ABD中，AB=4，∠ABD=40°. AD=ABsin∠ABD=4×sin40°≈2.56(米). BD=AB∙cos∠ABD=4×cos40°≈3.08(米). 在Rt△ACD中，AD=2.56，∠ACD=35°. AC==≈4.46(米). CD==≈3.66(米). ∵AC-AB=4.46-4=0.46，BC=CD-BD=3.66-3.08=0.58 ∵调整后楼梯加长了约0.46米，楼梯多占地面约0.58米. 课堂小结 应用三角函数解决实际问题的一边步骤： 4.根据题中数量关系或图中线段关系列出方程，求解作答. 1.将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，将原问题转化为解直角三角形的问题）； 2.根据题目的要求设出相应的未知数； 3.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数（尽量避免除法运算，尽量使用原始数据）； $