3.7 切线长定理-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（北师大版）

该初中数学教学设计聚焦“切线长定理”，通过复习切线性质等旧知，结合“夹篮球”情境抽象图形，搭建从直线与圆位置关系到切线长概念的学习支架，引导学生观察发现。 亮点在于以数学眼光联结现实与抽象，通过动手画切线、轴对称分析、构造直角三角形全等证明定理，培养推理能力，结合概念辨析和内切圆半径计算等模型应用，助力学生发展抽象能力与模型意识，教师使用能高效突破重难点。

第三章 圆 7 切线长定理 【教学目标】 1. 使学生理解切线长定义. 2. 使学生掌握切线长定理，并能初步运用. 【教学重点】 理解切线长定理并能应用. 【教学难点】 运用切线的性质定理解决问题． 【教学过程】 1. 复习引入 （1）直线和圆有哪些位置关系？ （2）切线的性质是什么？ 同学们打篮球吗？当你把篮球夹在腋下时，你能从中抽象出什么样数学图形？ 2. 新课讲解 想一想:过圆外一点画圆的切线,你能画出几条? 学生迅速抢答:过圆外一点可以作一条、两条,还有的学生认为可以作无数条圆的切线.教师要求学生动手操作,教师巡视发现问题. 过圆外一点能画出两条圆的切线. 课件出示: 【议一议】　如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点. 问题:(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? 学生分析:这个图形是轴对称图形,它的对称轴是点P,O所在的直线. 问题:(2)在这个图形中你能找到相等的线段吗? 想一想：切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 3、联系：都垂直于过切点的半径。 上面我们了解了切线长的概念,那么过圆外一点所画的圆的两条切线的长度有什么关系呢? 通过情境导入和上面对议一议第二个问题的探究,我们都得到了一个同样的结论切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等. 【想一想】　除了刚才我们利用轴对称的性质外,你还有其他的方法对切线长定理进行证明吗? 学生分析:根据“见切点连半径”的思路,可以构造出两个直角三角形,再根据切线的性质证明两个三角形全等就可以得出PA=PB. 已知:如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点. 求证:PA=PB. 证明:连接OA,OB,PO. ∵PA,PB是☉O的切线, ∴∠PAO=∠PBO=90°. 在Rt△OPA和Rt△OPB中, ∵OA=OB,OP=OP, ∴Rt△OPA≌Rt△OPB. ∴PA=PB. 符号语言描述: 若线段PA,PB是☉O的切线,则PA=PB. 【想一想】　如图所示,四边形ABCD的四条边都与☉O相切,图中的线段之间有哪些等量关系?与同伴进行交流. 为帮助学生更好地解决问题,教师出示下面的图形,帮助学生进行分析. 代表发言:∵四边形ABCD为圆外切四边形,根据切线长定理可得:AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH. 【问题】　但是原图中并没有E,F,G,H四个点,显然题目的原意并不是要得出上面的四组线段相等,你还能得出线段之间的相等关系吗? 证明:∵AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH, ∴AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=(AH+DH)+(BF+CF)= AD+BC, 即AB+CD=AD+BC. 3. 典例分析 例、如图所示,在Rt△ABC中,C=90°,AC=10,BC=24,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,求☉O的半径. 4.课堂练习 （1）如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( ) A．4 B．8 C．4 D．8 第（1）题图 第（2）题图 （2）如图，PA，PB均为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是( ) A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD （3）如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，若∠APB＝90°，OP＝4，则⊙O的半径为 ． 第（3）题图 第（4）题图 （4）如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为______． （5）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，求∠P的度数． 5.课堂小结 （1）过圆外一点画圆的切线，这个点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. （2）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. （3）已知三角形三边求内切圆的半径. 6.课后作业 见课后习题 学科网（北京）股份有限公司 $