2.5 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（北师大版）

该初中数学教学设计聚焦利用二次函数图象求一元二次方程近似根，通过复习引入环节的表格梳理二次函数与x轴交点、方程根及判别式的关系，搭建旧知（二次函数与方程联系）到新知（近似根估算）的学习支架，明确根即交点横坐标的核心联系。 亮点在于以具体方程（如x²+2x-10=0）为例，列表计算x值对应的y值，引导学生观察y值正负变化估算根，培养数学思维中的推理意识与运算能力，借助表格和图象发展几何直观（数学眼光），用数值与图象结合的数学语言表达过程，“做一做”环节促进自主探究，提升学生创新意识，为教师提供可操作步骤与分层练习，助力高效教学。

第二章 二次函数 5 二次函数与一元二次方程 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 【教学目标】 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系； 2.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验. 【教学重点】 理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标. 【教学难点】 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. 【教学过程】 1. 复习引入 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标就是y＝0时的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根. 我们还可以根据二次函数与x轴的交点情况，判断一元二次方程根的情况，即Δ＝b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况： 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式Δ＝b2－4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2－4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2－4ac＝0 没有交点 没有实数根 b2－4ac<0 2. 新课讲解 上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根．于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算． 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根吗？(精确到0.1) x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4 y －1.39 －0.76 －0.11 0.56 x 2.1 2.2 2.3 2.4 y －1.39 －0.76 －0.11 0.56 引导学生回顾画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的步骤方法，观察估计二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴的交点的横坐标，由图象可知，图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间．所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间．既然一个根在－5与－4之间，那这个根一定是负4点几，所以个位数就确定下来了，接着确定十分位上的数，这时可以用试一试的方法，即分别把x＝－4.1，－4.2，…，－4.9代入方程进行计算，哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立)，则这个值就是方程的根(或近似根)．从上表可知，当x取－4.4或－4.3时，对应y的值由正变负，可见在－4.4和－4.3之间一定有一个x值使得y＝0，即有方程x2＋2x－10＝0的一个根．由于当x＝－4.3时，y＝－0.11比y＝0.56(x＝－4.4)更接近0，所以选x＝－4.3.因此，方程x2＋2x－10＝0在－5和－4之间精确到0.1的根为x＝－4.3. 做一做 (1)利用二次函数的图象(如图2－5－29)求一元二次方程x2＋2x－13＝0的近似根. 图2－5－29 x －4.5 －4.6 －4.7 －4.8 －4.9 y －1.75 －1.04 －0.31 0.44 1.21 x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y －1.75 －1.04 －0.31 0.44 1.21 (2)你还能利用图2－5－30求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根吗？ 3.课堂练习 （1）根据下列表格的对应值: 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23< x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D.3.25 <x< 3.26 （2）小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　） A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4 （3）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，顶点坐标为(－1，－3.2)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3，x2＝________． (4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根; (2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围; (3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 4.课堂小结 5.布置作业 课后习题 学科网（北京）股份有限公司 $