2.5 第1课时 二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程的根的关系-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（北师大版）

该初中数学教学设计聚焦二次函数图象与x轴交点和一元二次方程根的关系，通过复习一元二次方程根的判别式、二次函数图像形状及一次函数交点求解，搭建新旧知识支架，引导学生建立函数与方程的联系。 以小球上抛情境引入，结合画函数草图分析交点个数，培养几何直观与推理意识，通过一题多解（图像法与方程法）发展应用意识，帮助学生深化理解，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率与学生数学思维。

第二章 二次函数 5 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程的根的关系 【教学目标】 1．理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的对应关系； 2．会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程．　 【教学重点】 理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程 的根的个数之间的关系. 【教学难点】 理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标． 【教学过程】 1. 复习引入 （1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ =______。 当△﹥0时，方程根的情况是________________； 当△=0时，方程根的情况是_________________； 当△﹤0时，方程根的情况是______________。 （2）二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条___________，它与x轴的交点有几种可能的情况？ （3）如图，一次函数 y=-3x+3 与y=x-2两直线相交，请问如何求它们的交点P？ 知识点：把函数转化为方程求解。 列为 解得 所以P坐标为（，-） 2. 新课讲解 （1）我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度． 一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题： ①h和t的关系式是什么？ ②小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴进行交流． [方法一]看图象可知，8秒落地 [方法二]解方程： （2）分别求出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标,并快速作出草图. y=x+2x y=x-2x+1 y=x-2x+2 ①观察二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个交点？ ②一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗? ③说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 整理： [想一想] 何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？ 解法1：令h=60 故2s和6s时，小球离地面的高度是60m． 解法2：看图象． 例 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 3.课堂练习 （1）若一元二次方程无实根，则抛物线的图象位于（ ） A.x轴上方 B.第一、二、三象限 C.x轴下方 D.第二、三、四象限 （2）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的根是（ ） A.x1=1，x2=-1 B.x1=0，x2=2 C.x1=-1，x2=2 D.x1=1，x2=0 （3）已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 . 4.课堂小结 5.布置作业 课后习题 学科网（北京）股份有限公司 $