2.4 第2课时 最大利润问题-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（北师大版）

该初中数学教学设计聚焦二次函数的最大利润问题，通过复习二次函数最值计算模型，结合商品销售额、利润等数量关系问题导入，搭建从旧知到新知的学习支架，梳理前后知识脉络。 以T恤衫批发、旅社租金、果园产量等实际问题为载体，引导学生抽象数量关系建立二次函数模型，体现数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理能力），通过“数形结合”分析最值，提升学生解决问题能力，为教师提供结构化教学流程和实例，助力高效教学。

第二章 二次函数 4 二次函数的应用 第2课时 最大利润问题 【教学目标】 1． 经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值； 2． 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力. 　　 【教学重点】 探索销售中最大利润问题，能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力. 【教学难点】 能正确理解题意，找准数量关系，运用二次函数的知识解决实际问题． 【教学过程】 1. 复习引入 二次函数最值计算模型： 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）,若自变量x取任意实数，则： (1)当a>0时，x=-， (2)当a<0时，x=-， 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元. 数量关系：销售额= . （2）利润= . （3）单件利润= . 2. 新课讲解 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查、以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000 件、并表示单价每降价0.1元，愿意多经销 500件. 你能帮助厂家分析，批发单价是多少时可以获利最多吗？ 降价前： 1、每件T恤衫成本 ; 批发价 ；销售量 ; 利润 ； 降价后： 2、 每件T恤衫成本 ; 批发价 ；销售量 ； 利润 ； 3.典例分析 某旅社有客房120间，每间房的日租金为160 元时、每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加1元，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高? 涨价前： 1、每间客房日租金 ; 出租量 ; 总收入 ； 涨价后： 2、每间客房日租金 ; 出租量 ; 总收入 ； 解： 想一想： 自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上升，销量下降，因此只要考虑销量就可以，故120-6x≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. 价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以 总结：求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 议一议 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子、现准备多种一些橙子树以提高果园产量、但是如果多种树，那么树之间的距离和每 棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.若假设果园增种x棵橙子树，橙子总产量为y个. (1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系. (2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400以上？ 针对上述问题的思考，我们可以发现在解决一些二次函数的实际问题时，绘制出图形对于问题的解决至关重要。所以，大家再利用二次函数的知识解决 实际问题时，要注意“数形结合”思想的运用。 4.课堂练习 （1）某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x（元）与产品的销售量y（件）满足当x=130时，y=70，当x=150时，y=50，且y是x的一次函数，为了获得最大利润S（元），每件产品的销售价应定为（　　） A．160元 B．180元 C．140元 D．200元 （2）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份是（　　） A．1月，2月 B．1月，2月，3月 C．3月，12月 D．1月，2月，3月，12月 （3）某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定 为 元. （4）进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 . 每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. 5.课堂小结 6.布置作业 课后习题 学科网（北京）股份有限公司 $