2.2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（北师大版）

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，通过复习y=a(x-h)²+k的开口方向、对称轴、顶点坐标及平移问题，搭建新旧知识支架，引导学生从已知过渡到新知探究。 资料亮点在于注重配方步骤具象化教学（提、配、化）与现实情境应用（桥梁钢缆问题），通过动手配方培养运算能力与推理意识，结合实例发展模型意识与应用意识，课堂练习多样巩固知识，助力教师高效教学，提升学生数学思维与解决问题能力。

第二章 二次函数 2 二次函数的图象与性质 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 【教学目标】 1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象． 2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质． 【教学重点】 用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点. 【教学难点】 理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标. 【教学过程】 1. 复习引入 (1)指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. ① y=2(x－1)2 －3 ②y=－0.5(x+3)2 ③y = 3(x+2)2+2 (2)它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？ 2. 新课讲解 我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质, 你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗? 化成y=a(x-h)2+k的形式. 怎样将y=2化成y=a(x-h)2+k的形式? 想一想：配方的方法及步骤是什么？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 你能说出y=2(x－1)2+3的对称轴及顶点坐标吗？ 对称轴是直线x=1,顶点坐标是（1，3）. 二次函数y=2(x－1)2+3可以看作是由y=2𝒙^𝟐怎样平移得到的？ 平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 如何用描点法画二次函数y=2(x－1)2+3的图象？ 解: 先利用图形的对称性列表 然后描点画图，得到图象 结合二次函数y=2(x－1)2+3的图象，说出其增减性. 当x<1时，y随x的增大而减小； 当x>1时，y随x的增大而增大. 3. 典例分析 例1 求二次函数y=2x2－8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 解: y=2x2－8x+7 y=2(x2－4x)+7 y=2(x2－4x+4)－8+7 y=2(x－2)2－1 ∴对称轴是x=2,顶点坐标为(2,-1) 例2：求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴、顶点坐标. y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c＝a[x2＋x＋()2]＋c－＝a(x＋)2＋ 当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下． 对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，) 想一想： 如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y= x2+ x+10表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称． ⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 你有哪些计算方法？与同伴进行交流. 配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离; ∴这条抛物线的顶点坐标是（-20,1） 由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m. （2） 且左右两条钢缆关于y轴对称， ∴右边的钢缆的表达式为： 这条抛物线的顶点坐标是（20,1） ∴这两条钢缆最低点之间的距离为： 当然，还有别的方法建立关系式进行解题，同学们可以试试。 4. 课堂练习 （1）已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表： 则该二次函数图象的对称轴为( ) A.y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= (2)把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则(　　) A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21 (3)点P1（-1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y=-x2+2x+c的图像上，则y1 ，y2，y3的大小关系是 . (4)二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表： 二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x= , x=2对应的函数值y= . (5)根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： (6)已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经 过点(－2，4)． (1)求b，c满足的关系式； (2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值 变化时，求n关于m的函数表达式； 5. 课堂小结 6. 布置作业 课后习题 学科网（北京）股份有限公司 $