2.1 二次函数-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（北师大版）

该初中数学教学设计聚焦“二次函数”概念，通过展示抛物线图片情境导入，回顾一次函数等旧知，以果园产量、银行储蓄问题为载体，引导学生建立变量关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于以真实情境（果园增种橙子树、银行储蓄）培养数学眼光，通过问题链（变量识别、关系式推导）发展数学思维，归纳定义与分层练习（辨析函数类型、表达式转化）强化数学语言表达。如果园问题推导总产量关系式，培养模型观念；练习辨析函数条件，提升抽象能力。助力学生发展抽象能力与应用意识，为教师提供结构化探究式教学范例。

第二章 二次函数 1 二次函数 【教学目标】 1.经历探索、分析和建立两个变量之间的函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系 经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． 【教学重点】 对二次函数概念的理解 【教学难点】 由实际问题确定函数表达式 【教学过程】 1. 情景引入 请同学们先欣赏几幅图片，如图2－1－2.(教师播放课件) 图2－1－2 在客观世界中存在很多这样的图形形状，我们把它们叫做抛物线．我们如何用数学方法描述它、研究它呢？从本节课开始，我们就一起来研究这一问题． 我们学习过哪些函数呢？试着举例说明一下． 2. 新课讲解 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式． (4)大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？ 做一做 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．(本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存期付给的“报酬”，本息和就是本金与利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间)) 设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式． （1）从我们刚才所推导出的关系式：y＝100x2＋200x＋100中分析出y是x的函数，你能说出它的结构特点吗？请小组内思考探究． （2）你能根据它的特点归纳出二次函数的定义吗？它的一般表达式是怎样的？ 归纳总结： 一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数． 提问：（1）上述概念中的a为什么不能等于0? （2）概念中的b和c可否为0，若b和c有一个为0或b和c均为0，上述表达式可以怎样改写？你认为它们还是二次函数吗？ 想一想： 你可以举例说明还有哪些可以表示为二次函数关系？ 3.课堂练习 （1）函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数 （2）下列函数是二次函数的是 ( ) A．y＝2x＋1 B． C．y＝3x2＋1 D．y= （3）把y=(2-3x)(6+x)变成y=ax²+bx+c的形式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为 . （4）已知函数 y=3x2m-1－5 ① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数； ② 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 . （5）圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm2. (1)写出y与x之间的关系式; (2)当圆的半径分别增加1cm, cm,2cm时,圆的面积各增加多少? 4.课堂小结 5.课后作业 见课后习题 学科网（北京）股份有限公司 $