2.1二次函数 导学案 2025-2026学年北师大版九年级下册数学

该初中数学导学案聚焦二次函数概念，通过自主学习中“函数y=...是二次函数求k值”的问题导入，结合合作探究中果园产量、矩形面积等现实情境，引导学生从具体问题抽象出y=ax²+bx+c（a≠0）的模型，搭建从具体到抽象的学习支架。 以现实情境为载体，通过果园增种橙子树、矩形周长与面积等问题，引导学生用数学眼光观察数量关系，抽象出二次函数概念，培养抽象能力与创新意识。合作探究与当堂检测结合，帮助学生用数学思维分析问题，发展推理能力，用数学语言准确表达函数关系，适合自主学习与教师教学评估。

2.1二次函数 导学案 课题 2.1 二次函数 单元 第2章 学科 数学 年级 九年级 学习 目标 1、理解二次函数的定义． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系. 重点 难点 重点：二次函数的概念； 难点：建立两个变量之间的二次函数关系的过程； 导学 环节 导学过程 自 主 学 习 如果函数y=+kx+1是二次函数,则k的值一定是多少？ 合 作 探 究 探究一： 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. （1）问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量? （2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均母棵树结多少个橙子? （3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式. 探究二： 想一想 (1)已知矩形的周长为40 cm，它的面积可能是100 cm2吗?可能是75 cm2吗?还可能是多少?你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗? (2）两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗? 一般地，形如y= ax2+ bx＋c ( a, b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数( quadratic function ). 例如，y=-5x2+100x＋60000 , y =100x2+200x＋100和y=-x2+20x都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系A=a2， 圆面积S与半径r的关系S=πr2,自由落体运动物体下落的高度h与下落的时间t的关系 h= gt2等也是二次函数的例子. 当 堂 检 测 1、在下列函数中，是二次函数的是( ) A. y=ax2+bx+c B. y=x3+2x-3 C. y=(x+1)2-x2 D. y=3x2-1 2、设a，b，c分别是二次函数y=-x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则( ) A. a=-1，b=3，c=0 B. a=-1，b=0，c=3 C. a=-1，b=3，c=3 D. a=1，b=0，c=3 3、二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是 ( ) A. 1 B. -1 C. 7 D. -6 4、 下列函数关系中，是二次函数的是( )． A. 在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B. 当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C. 等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D. 圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系 5、 圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是( ) A. S是R的正比例函数 B. S是R的一次函数 C. S是R的二次函数 D. 以上答案都不对 6、下列说法正确的是( ) A. 若a2=b2，则a=b B. sin45°+cos45°=1 C. 代数式a2+4a+5的值可能为0 D. 函数y=(a2+1)x2+bx+c-2b是关于x的二次函数 课 堂 小 结 二次函数的一般形式 y= ax2+ bx＋c ( a, b，c是常数) a二次项系数, b一次项系数，c常数项 参考答案 自主学习： k2-3k+2=2 k2-3k=0 k=0或k=3 合作探究： 探究一： 自变量：果园共有橙子的棵数， 因变量：果园橙子的总产量 解：果园共有（100＋x)棵树， 平均每棵树结（600 -5x）个橙子， 因此果园橙子的总产量 y = ( 600 - 5x ) ( 100 +x ) =-5x2+100x + 60000. 探究二： y=100(1+x)2 探究三： （1）解：设其中一边为x,面积为y， 则y= x(20-x)=-x2+20x 面积可能是100cm2，也可能是75cm2 . （2）y= x(20-x)=-x2+20x 当堂检测： 1、解： A.当a=0时不是二次函数，故选项错误； B.最高次数是3，不是二次函数，选项错误； C.化简后是y=2x+1是一次函数，选项错误； D.是二次函数，选项正确． 故选D． 2、解：y=-x2+3，二次项系数a=-1，一次项系数b=0，常数项c=3，故选B 3、解：二次项系数为3，常数项为-4， 两个数的和为3-4=-1． 故选B． 4、解：A.y=mx+b，当m≠0时(m是常数)，是一次函数，错误； B. ，当s≠0时，是反比例函数，错误； C.C=3a，是正比例函数，错误； D. ，是二次函数，正确． 故选D． 5、解：圆的面积公式S=πR2中， S和R之间的关系是二次函数关系， 故选C． 6、解：A、若a2=b2，则a=b或a=-b，故选项A错误; B、sin45∘+cos45∘= ，故选项B错误; C、代数式a2+4a+5=(a+2)2+1>0，故选项C错误; D.∵a2+1≠0，∴函数y=(a2+1)×2+bx+c-2b是关于x的二次函数， 故选项D正确． www。21cnjy。com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $