1.5 三角函数的应用-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（北师大版）

该初中数学教学设计聚焦三角函数的应用，围绕方向角、仰角、俯角、坡度及坡角的实际问题展开。通过货轮触礁情景引入，引导学生构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型，搭建从三角函数定义到实际应用的学习支架。 特色在于以问题链驱动教学，“情景引入—想一想—做一做”层层递进，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理计算、用数学语言表达模型的核心素养。实例丰富如货轮触礁、塔高测量等，助力学生提升解决实际问题能力，为教师提供清晰教学流程。

第1章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 【教学目标】 1.利用三角函数解决与方向角、仰角、俯角、坡度及坡角相关的问题. 2.通过做辅助线构造直角三角形，再利用三角函数解决实际问题. 【教学重点】 利用三角函数解决与方向角、仰角、俯角、坡度及坡角相关的问题. 【教学难点】 通过做辅助线构造直角三角形，再利用三角函数解决实际问题. 【教学过程】 1. 情景引入 海中有一个小岛A，该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货轮继续向东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴进行交流. 首先需要弄清什么是方向角： 方向角一般是指目标与参照物所在的直线和南北方向所在的直线所夹的锐角. 注意：（1）方向角常写成“北偏东（西）多少度”“南偏东（西）多少度”的形式，而一般不写成“东偏南（北）多少度”“西偏南（北）多少度”的形式. （2）观测点不同，同一目标所得的方向角不同. 为了解决上面的问题，我们首先需要根据条件画出几何图形，把实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型. 根据所画的图形，过A作AD⊥BC于D. 解：设AD=x，根据题意，∠DAB=55°,∠CAD=25° 在Rt△ABD中，tan∠BAD=BD/AD， ∴BD=AD∙tan∠BAD=1.43x. 在Rt△ACD中，tan∠CAD=CD/AD， ∴CD=AD∙tan∠CAD=0.47x. ∵BC=BD-CD，∴1.43x-0.47x=20.解得 x≈20.8 ∵20.8＞10，∴货轮继续向东航行途中不会有触礁的危险. 2. 想一想 如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m). 3. 做一做 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.01m） 解：如图，设梯子原长为AB，加长后的梯子长为AC，梯子高度为AD. 在Rt△ABD中，AB=4，∠ABD=40°. AD=ABsin∠ABD=4×sin40°≈2.56(米). BD=AB∙cos∠ABD=4×cos40°≈3.08(米). 在Rt△ACD中，AD=2.56，∠ACD=35° ∵AC-AB=4.46-4=0.46，BC=CD-BD=3.66-3.08=0.58 ∵调整后楼梯加长了约0.46米，楼梯多占地面约0.58米. 4. 课堂小结 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，将原问题转化为解直角三角形的问题）； （2）根据题目的要求设出相应的未知数； （3）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数（尽量避免除法运算，尽量使用原始数据）； （4）根据题中数量关系或图中线段关系列出方程，求解作答. 5. 课后作业 课后习题 学科网（北京）股份有限公司 $