专题03 二元一次方程组的同解、错解、新定义等问题（专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

专题03 二元一次方程组的同解、错解、新定义等问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二元一次方程组的错解复原问题 1 题型二、已知二元一次方程组解的情况求参数 7 题型三、构造二元一次方程组求解 10 题型四、利用同解方程组的问题求解 13 题型五、与二元一次方程组有关的新定义、新运算问题 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二元一次方程组的错解复原问题 1．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解复原问题，掌握方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键． 利用看错某方程系数时，所得解仍满足未看错的方程，分别将甲、乙的解代入对应未看错的方程，即可求解、． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的， ∴甲所得的解符合方程②，把代入方程②，得 ，解得； ∵乙看错了方程②中的， ∴乙所得的解符合方程①，把代入方程①，得 ，解得； ∴，． 2．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 3．下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得，③…………………第一步 ③-②，得，……………………………………第二步 ．………………………………………………第三步 将代入①，得…………………………第四步 所以，原方程组的解为，…………………………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______法；以上求解步骤中，第一步的依据是______． (2)第______步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解：______． 【答案】(1)加减消元；等式的基本性质 (2)二 (3) 【分析】本题考查用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键； （1）观察小乐同学解二元一次方程组的过程，即可解答； （2）等式③减去②得到左边为即可解答； （3）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：观察小乐同学解二元一次方程组的过程，可知是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质； （2）解：第二步开始出现错误，应为； （3）解： ①，得③， ③-②，得， 将代入①，得 ， 所以，原方程组的解为． 4．已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则 ， ． 【答案】 1 －3 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，解题关键是能正确得到，的值． 甲看错方程①中的，但其解满足方程②；乙看错方程②中的，但其解满足方程①；分别代入得到关于和的方程组，解之即可． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，此解满足方程②， 代入得：，即． 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，此解满足方程①， 代入得：，即． 联立方程组： 由④得， 代入③得：，即， 解得． 代入，得， 解得： 故答案为：，． 5．下面是小贤同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：①，得，③第一步 ②，得，④第二步 ③＋④，得，解得，第三步 把代入①，得，第四步 ∴原方程组的解为，第五步 (1)小贤求解二元一次方程组的方法叫作______法，以上求解步骤中，第______步开始出现错误． (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)加减消元；四； (2)见解析． 【分析】本题考查了加减消元法，二元一次方程组的错解复原问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据所给的解题过程确定解法，从中找出错误步骤； （2）利用加减消元求解即可． 【详解】（1）解：小贤求解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，以上求解步骤中，第四步开始出现错误， 故答案为：加减消元；四． （2）解：①，得，③ ②，得，④ ③④，得， 解得：， 把代入①，得， ∴原方程组的解为． 6．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错②中的b，解得 (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程②，乙求得的方程组的解满足方程①，据此可得关于a、b的方程，解方程即可得到答案； （2）根据（1）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的a， ∴甲求得的方程组的解满足方程②， ∵乙看错②中的b， ∴乙求得的方程组的解满足方程①， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知原方程组为， 由②得， 把③代入①得，解得， 把代入③得， ∴原方程组的解为． 7．已知关于x，y的二元一次方程组，小蔡看错了方程①中的，得到方程组的解为；小赵看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于m，n的二元一次方程组的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，整体的思想，熟练掌握方程组的解与方程的关系是解决本题的关键． （1）将代入②求出，将代入①求出； （2）先将的值代入方程组，用加减消元的方法解方程组即可； （3）由（2）得出，，再解方程组即可． 【详解】（1）解：将代入②得：， 解得； 将代入①得：， 解得， ，； （2）解：把，代入得： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 原方程组的解为； （3）解：把，代入关于的二元一次方程组得： 由（2）可知， ①②得， 解得， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为． 8．甲、乙两名同学在讨论方程的解时，甲得出一组正确的解为，乙将a与b的位置看错了，得出一组解为，求原方程中a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入得到，将代入得到，求解方程组即可． 【详解】解：将代入得到， 乙将a与b的位置看错了，得出一组解为， 则将代入得到， 可得， ，得， 解得． 将代入①，得， 解得． 题型二、已知二元一次方程组解的情况求参数 9．方程组的解满足、互为相反数，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程左右两边分别相加得到． ，根据方程组的解满足、互为相反数得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵方程组的解满足、互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．已知关于的方程组无解，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记二元一次方程组无解的条件是解题的关键． 由原方程组无解，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：， 可得， 关于的方程组无解， 中， 解得：， 的值为1． 故答案为：1． 11．关于，二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的应用，根据方程组表示出是解题的关键．将方程组中的两个方程相加，得到，结合给定条件，即可求出的值． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加：， 即， ， ，解得． 故答案为：． 12．如果二元一次方程的解互为相反数，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、互为相反数的性质，因为x和y的值互为相反数，所以有，将方程组的两个方程相加得，则，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二元一次方程的解互为相反数， ∴， 得， 即， ∴， 解得：； 故答案为：． 13．二元一次方程组的解中，x与y的值相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据x与y的值相等可得方程，解方程可得方程组的解，再把方程组的解代入方程中求出a的值即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解中，x与y的值相等， ∴， 解得， ∴， 把代入方程中得， 解得， 故选：B． 14．已知关于x，y的方程组的解是自然数，则整数 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．通过解方程组，用m表示x和y，根据解为自然数（包括0），确定m的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴第二式得，代入第一式得， 解得， ∴把代入， 得． ∵解为自然数， 即x和y均为非负整数，且， ∴且整除7， 故或， 解得或． 当时，，不是自然数，舍去； 当时，，，均为自然数． 故整数． 故答案为： 15．已知关于x，y的方程组的解是整数，且是正整数，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据题意得出是13的因数，且为正整数，从而确定是解此题的关键．①②得出，求出，根据方程组的解是整数和为正整数得出或，求出，再得出答案即可． 【详解】解：， ①②，得， ， 关于，的方程组的解是整数，是正整数， 或， 解得：或不是正整数，舍去）， 即． 故答案为：11． 16．已知方程组，若方程组有非负整数解，则正整数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解，关键是参数的解方程组得到和的表达式，根据非负整数解的条件，从而确定正整数的可能取值。 【详解】解： 解方程组得：， ∵方程组有非负整数解， ∴的值为：或或， ∴的值为或或， ∴正整数的值为：或． 故答案为：或． 题型三、构造二元一次方程组求解 17．关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，代数式的代入变形，掌握系数比较法是解题关键． 由原方程组的解可得和的表达式，代入新方程组后通过比较系数求解． 【详解】解：由已知方程组的解为， 代入得，， 将和代入新方程组， 得， 比较系数可得． 故答案为：． 18．已知与的值互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的应用，非负数的性质，解二元一次方程组，建立二元一次方程组是解题的关键． 根据非负数的性质，由互为相反数可得平方项与绝对值之和为零，从而建立二元一次方程组，解方程组求出x和y的值，再计算的值． 【详解】∵ 与 互为相反数， ∴ ， 由于平方项和绝对值均为非负数， 因此， 解方程组得， ∴ ． 故答案为：0． 19．已知x的相反数是，y的相反数是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，解二元一次方程组，代数式求值，根据题意列出方程组是解题关键． 首先根据题意得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵x的相反数是，y的相反数是， ∴ 解得 ∴． 故答案为：． 20．二元一次方程组的解的值相等，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键． 把代入第一个方程可求得、的值，再把、的值代入第二个方程可求得的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 故选：A. 21．已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 【答案】 【分析】根据一次函数中自变量与函数值的对应关系，将两组、的值代入函数表达式，得到关于、的二元一次方程组，再求解该方程组得到、的值．本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，熟练掌握利用待定系数法求解一次函数解析式（即通过建立方程组求解未知系数）是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 解这个方程组得 22．已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查构造二元一次方程组求解，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．将，与，代入方程，构造关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：将，与，代入方程得： ， 由方程②得， 将③代入方程①得， 解得； 将代入③得； 因此，，， 故选：A． 23．在等式中，当，；当，；则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值．根据当，；当，，列出方程组，求出k，b的值，得到等式，再把代入即可求值． 【详解】解：∵当，；当，， ∴， 解得， ∴， ∴当时，． 故答案为： 24．已知和是关于的二元一次方程的两组解． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)的值为5，的值为 (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． （1）把两组解代入得到二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据（1）得到二元一次方程为，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵和是关于x，y的二元一次方程的两组解， ∴ 解得 即的值为5，的值为． （2）由（1）得，该二元一次方程为． 当时，． 题型四、利用同解方程组的问题求解 25．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组的解法，掌握先求解公共未知数的方程组得到公共解，再代入含参数的方程求解参数是解题的关键． 由于两个方程组的解相同，先联立两个方程组中只含的方程，解出公共解；再将公共解代入含的方程，得到关于的方程组并求解；最后把的值代入，计算出结果． 【详解】解：两个方程组的解相同，根据题意得 解得 解得 ． 26．与有相同的解，则 ， ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了同解方程组．先求出两个方程组的公共解，即解方程组和，得到，；然后将，代入和，得到关于，的方程组，解之即可． 【详解】解：解方程组，得． 将，代入和， 得． 解此方程组，相加得，； 代入 得， ． 故答案为：；． 27．已知关于的方程组和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组同解问题，根据方程组和的解相同， 得出这两个方程组的解也是方程组的解，然后解方程组，得出，将代入原方程组得出，求出a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：因为方程组和的解相同， 所以这两个方程组的解也是方程组的解． 解得， 将代入方程组得， 解得， 所以． 28．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了同解方程组的解法及乘方运算，解题的关键是明确“解相同”意味着两组方程的解能同时满足四个方程，从而先求出公共解再代入求参数．联立两个方程组中不含参数的方程，求出公共解；将公共解代入含的方程，解出的值即可． 【详解】解：∵两个方程组解相同， ∴先解不含的方程组：， ①②得：， 即， 解得． 将代入①得：，解得． 因此，相同的解为． 将代入含的方程：， ③④得：， 解得， 将代入④得：，求得， ． 29．已知关于x，y的二元一次方程组与有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组，熟练掌握是解题关键． （1）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可； （2）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ①②，得， 解得． 把代入①，得， 解得， ∴这两个方程组的相同解为； （2）把代入得， 解得， ． 30．若方程组与方程组有相同的解，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查方程组解的概念，解二元一次方程组，理解方程组解的概念是解题的关键．解方程组解得，代入含参数方程，得关于参数的方程组，求解得参数值． 【详解】解：解方程组， 得， 把代入第二个方程组得， 解得． 即，． 31．已知关于x，y的方程组与有相同的解，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 根据关于x，y的方程组与有相同的解得到，，解方程组得，再代入求解即可． 【详解】解：因为关于x，y的方程组与有相同的解， ∴，， 所以解方程组，得． 将代入，得， 解得． 32．若关于，的方程组与方程组的解相同，求： (1)两个方程组的相同解； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握解二元一次方程组方法是解题关键． （1）由题意得出并解出即可； （2）把代入方程组求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：与的解相同， ， 解得， 两个方程组的相同解为． （2）解：把代入方程组， 得， 解得， ． 题型五、与二元一次方程组有关的新定义、新运算问题 33．对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据求出的值，再代入计算即可. 【详解】解：根据题意，得 ，， 整理，得 ①+②，得， 解得． 把代入②， 得， ． 【点睛】本题考查了新定义，构造关于二元一次方程组是解题的关键. 34．规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 根据，其中，是不等于0的常数，且．，可以得到，，然后两个式子相减或相加，可以求得，，从而可以求得、的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ，， ∵，是不等于0的常数，且． ∴化简得：，， 即， 解得， ， 故选：C． 35．对于任意的有理数，我们规定：，根据这一规定，解答以下问题：若同时满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算，解二元一次方程组，根据题意列出方程组，求出x、y的值，是解题的关键．先根据，得出方程组，解方程组得出，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 所以． 36．对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）根据题意列出方程组即可求出a与b的值； （2）根据新运算的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴． 37．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 38．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键． 根据题意得出方程组，求出a、b的值，得到，再代入求出答案即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 即， ∴. 故选：D． 39．对于x，y定义一种新运算“*”： ，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，那么1*2运算的结果为（    ） A．2 B． C．13 D．1 【答案】C 【分析】由题意知，，解得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于正确的解二元一次方程组． 40．对x，y定义一种新运算“”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，，则的值是（  ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 得：， 把代入得：， ∴ 则， 故答案为：9． 一、单选题 1．甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解含参的二元一次方程组．根据方程组的解满足没有看错的二元一次方程，求出，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意，得：，满足；满足， ∴， ∴， ∴原方程组为：，解得：； 故选：B． 2．若，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，解方程组求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 3．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 4．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是（   ） A．3 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解．求出，再根据解为正整数进行分析即可． 【详解】解： 由②得，③ 把③代入①，得，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当15时，． 则所有满足条件的整数之和为8． 故选：C. 5．关于x，y的二元一次方程组的解为，则和代表的数分别为（    ） A．和 B．9和1 C．和 D．和1 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入，求出的值，再把的值代入第一个方程中，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴把代入， 得：， 解得：， 即：代表的数为， 把，代入， 得：； 故选A． 6．对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（   ） A．， B．若无论取何值时，的值均不变，则 C．若，则、有且仅有组整数解 D．若对任意有理数、都成立，则 【答案】B 【分析】根据新定义，运用二元一次方程组和有理数的运算计算即可． 本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、由题意，得， 解得：，故选项A正确； B、， 若始终不变，则有种情况： ，则， ，少考虑一种情况，故选项B错误； C．， ， ， 当为整数时，，，， 当时， 解得：， ，符合题意； 当时， 解得：， ，符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意， 综上所述，，有且仅有组整数解，故选项C正确； D．当时，则， ， ， 即， 对任意有理数，都成立， ，故选项D正确． 故选：B． 二、填空题 7．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题，熟练掌握消元法是解题关键． 将与代入可得，然后解方程组可得的值，然后求出，然后代入计算即可得． 【详解】解：把与代入得：， 得， 将代入①得， 把代入得：， 解得：， 则． 故答案为：． 8．若关于、的方程组和的解相同，则的值 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含与的方程组成方程组，求出方程组的解得到与的值，进而求出与的值，代入即可求解． 【详解】解：解得， ， 把代入得， ， 解得， ． 故答案为：． 9．若关于的二元一次方程组中，的值比值的相反数大1，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 由的值比值的相反数大1，则有，即，然后构建方程求得方程的解，最后代入求k即可． 【详解】解：根据题意可知：，即， 解方程组，得， 将代入方程，得，解得：． 故答案为3． 10．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据方程组的特点，①+②得，得出，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：， ①+②得，，即， 又因为， 所以， 解得． 故答案为：． 三、解答题 11．若关于、的方程组的解与相等，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，得：，根据，得出，求出k的值即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 12．当时，代数式的值分别是7，，求的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：由已知得 ， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以k，b的值分别为2和3． 13．已知方程组与方程组的解相同．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组问题，解题关键是根据两个方程组的解相同，列出新的方程组进行求解．把两个方程组中不含字母系数的方程组成方程组，求出未知数x和y的值，再代入另一组含有字母系数的方程组成的方程组，求出a和b的值，最后代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴该方程组的解为， 把代入， 得， ③④，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴， ∴． 14．在等式中，当时，；当时，． (1)求k、b的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程．解题关键是掌握消元的思想． （1）将x与y的两对值代入等式得到关于k与b的方程组，求出方程组的解即可得到k与b的值． （2）由（1）中结果可得x，y的关系式，把代入解方程即得x值． 【详解】（1）解：∵中，当时，；当时，， ∴， 解得：， （2）解：由（1）知，， ∴， ∴当时，， 解得． 15．在解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组，熟练掌握方程的解的定义是解题关键． （1）甲由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，那么他的解对②还是正确的，把他的解代入②中解得；乙看错了②中的得到方程组的解为，那么他的解对①也是正确的，把他的解代入①中，解得； （2）解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 将代入②得， 将代入①得， ，． （2）解：由（1）得，， 原方程组为， ①2②，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， 原方程组的解为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二元一次方程组的同解、错解、新定义等问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二元一次方程组的错解复原问题 1 题型二、已知二元一次方程组解的情况求参数 2 题型三、构造二元一次方程组求解 3 题型四、利用同解方程组的问题求解 3 题型五、与二元一次方程组有关的新定义、新运算问题 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二元一次方程组的错解复原问题 1．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 2．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 3．下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得，③…………………第一步 ③-②，得，……………………………………第二步 ．………………………………………………第三步 将代入①，得…………………………第四步 所以，原方程组的解为，…………………………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______法；以上求解步骤中，第一步的依据是______． (2)第______步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解：______． 4．已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则 ， ． 5．下面是小贤同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：①，得，③第一步 ②，得，④第二步 ③＋④，得，解得，第三步 把代入①，得，第四步 ∴原方程组的解为，第五步 (1)小贤求解二元一次方程组的方法叫作______法，以上求解步骤中，第______步开始出现错误． (2)请写出此题正确的解答过程． 6．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错②中的b，解得 (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 7．已知关于x，y的二元一次方程组，小蔡看错了方程①中的，得到方程组的解为；小赵看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于m，n的二元一次方程组的解． 8．甲、乙两名同学在讨论方程的解时，甲得出一组正确的解为，乙将a与b的位置看错了，得出一组解为，求原方程中a，b的值． 题型二、已知二元一次方程组解的情况求参数 9．方程组的解满足、互为相反数，则为（   ） A． B． C． D． 10．已知关于的方程组无解，则 ． 11．关于，二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 12．如果二元一次方程的解互为相反数，那么的值是 ． 13．二元一次方程组的解中，x与y的值相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．已知关于x，y的方程组的解是自然数，则整数 ． 15．已知关于x，y的方程组的解是整数，且是正整数，则 ． 16．已知方程组，若方程组有非负整数解，则正整数的值是 ． 题型三、构造二元一次方程组求解 17．关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是 ． 18．已知与的值互为相反数，则的值为 ． 19．已知x的相反数是，y的相反数是，则 ． 20．二元一次方程组的解的值相等，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 21．已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 22．已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 23．在等式中，当，；当，；则当时，的值为 ． 24．已知和是关于的二元一次方程的两组解． (1)求的值； (2)当时，求的值． 题型四、利用同解方程组的问题求解 25．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 26．与有相同的解，则 ， ． 27．已知关于的方程组和的解相同，求的值． 28．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 29．已知关于x，y的二元一次方程组与有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 30．若方程组与方程组有相同的解，求a，b的值． 31．已知关于x，y的方程组与有相同的解，求a，b的值． 32．若关于，的方程组与方程组的解相同，求： (1)两个方程组的相同解； (2)的值． 题型五、与二元一次方程组有关的新定义、新运算问题 33．对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 34．规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 35．对于任意的有理数，我们规定：，根据这一规定，解答以下问题：若同时满足，求的值． 36．对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 37．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 38．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 39．对于x，y定义一种新运算“*”： ，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，那么1*2运算的结果为（    ） A．2 B． C．13 D．1 40．对x，y定义一种新运算“”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，，则的值是（  ） A．3 B．5 C．9 D．11 一、单选题 1．甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 3．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 4．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是（   ） A．3 B．5 C．8 D．11 5．关于x，y的二元一次方程组的解为，则和代表的数分别为（    ） A．和 B．9和1 C．和 D．和1 6．对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（   ） A．， B．若无论取何值时，的值均不变，则 C．若，则、有且仅有组整数解 D．若对任意有理数、都成立，则 二、填空题 7．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则 ． 8．若关于、的方程组和的解相同，则的值 ． 9．若关于的二元一次方程组中，的值比值的相反数大1，则的值为 ． 10．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 ． 三、解答题 11．若关于、的方程组的解与相等，求的值． 12．当时，代数式的值分别是7，，求的值． 13．已知方程组与方程组的解相同．求的值． 14．在等式中，当时，；当时，． (1)求k、b的值； (2)当时，求x的值． 15．在解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $