第6章 一次方程组（单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版七年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第6章 一次方程组·能力提升 建议用时：90分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若关于，的二元一次方程组的解为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 2．已知关于x，y的方程组的解和互为相反数，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 3．如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 4．李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．《九章算术》中记载一题目，译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问：人与车各多少？下列说法正确的是（   ） A．设有x辆车，则人数为 B．设有x辆车，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 6．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”．设有个客人，个盘子，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 9．学校计划租用若干辆汽车运送七年级学生和带队教师外出进行博物馆参观活动．按照不浪费座位的原则，如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有人没有车坐；如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有一辆车只坐了人，并且还空出一辆车．设计划租用辆车，共有学生和带队教师人．则根据题意列方程组为　　) A． B． C． D． 10．如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（   ） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，则 ． 12．解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路： ． 13．若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 14．已知方程组，则的值为 ． 15．有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若树下一只鸽子飞上树，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子一样多．树上有 只鸽子，树下有 只鸽子． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解方程组： (1)； (2)． 17．（8分）已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 18．（8分）母亲节到了，小丽打算买一束由玫瑰和康乃馨两种花组成的花束送给妈妈，她在花店了解到：如果买2枝玫瑰和7枝康乃馨共需35元，如果买5枝玫瑰和5枝康乃馨共需50元． (1)求玫瑰和康乃馨每枝各多少元？ (2)小丽送给妈妈的花束，需要有52枝花，其中玫瑰有a枝，另外她还想购买一张3元的贺卡放在花束中．如果总金额为195元，求玫瑰的购买数量． 19．（9分）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 20．（9分）下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 21．（10分）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品，苏州（姑苏）是中国眼镜的发源地，明代崇祯初年（1628年），苏州眼镜技师孙云球将制造眼镜技术进一步发扬光大． 素材整合 某工厂计划生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． (1)应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)若每副镜架的成本为元，要达到的利润率（利润率利润成本），则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 22．（11分）某电影院为了创收，分两次购进了哪吒和敖丙手办进行售卖，第一次购入哪吒手办25个，敖丙手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入哪吒手办40个，敖丙手办20个共花费1100元． (1)求每个哪吒和每个敖丙手办进价各多少元？ (2)该电影院为了解这两款手办的销售情况，对每天的销售进行记录，周一出售了6个哪吒手办，5个敖丙手办，销售收入记录为305元，经核实记录正确；周二以相同的售价出售了哪吒手办12个，敖丙手办10个，销售收入记录为600元，你认为周二的销售记录正确吗？如果正确，请说明理由，若不正确，请你计算出正确的销售收入． 23．（12分）为测量元硬币与角硬币的单枚质量，小明与小聪准备了足量的两种硬币，且同种类硬币的质量均相同． 实验器材：一架天平和一个克的砝码． 小明：天平左边放枚元硬币和个克的砝码，天平右边放枚角硬币，天平正好平衡． 小聪：天平左边放枚元硬币，天平右边放枚角硬币和个克的砝码，天平正好平衡． (1)每枚1元硬币和每枚角硬币的质量各是多少克？ (2)已知元纸币的质量为克，现在有足够多的元纸币，若天平左边放入张元纸币，天平右边只放入若干枚元硬币和若干枚角硬币，请求出能使天平正好平衡的天平右边放法的所有方案． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第6章 一次方程组·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B A C C A B B B B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．10 12．（答案不唯一） 13． 14．19 15．7 5 三、解答题（共8小题，共75分） 16．【详解】（1）， ①﹣②得：， 解得：，（2分） 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为．（4分） （2） 方程①化简为， 将和组成方程组得， ， ， 解出，（6分） 将代入得， 解出， 方程组的解为．（8分） 17．【详解】解：， 得，， 即（4分） 把代入，得，（6分） ∴．（8分） 18．【详解】（1）解：设玫瑰和康乃馨每枝各元、元，（1分） 由题意得：，（3分） 解得；（4分） 答：玫瑰和康乃馨每枝各7元、3元．（5分） （2）解：由题意，得 ，（6分） 解得，（7分） 答：玫瑰的购买数量为9枝．（8分） 19．【详解】解：（1）第4个方程组为解为．（2分） （2）由（1）得：第个方程组为解为．（4分） （3）由规律得， 解得．（5分） 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得．（7分） 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14．（9分） 20．【详解】解：任务一：①由解析过程可知为代入消元法； 故答案为：代入；（1分） ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 故答案为：三，应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；（3分） 任务二：③， 把③代入②，得． 整理，得． 解得．（6分） 把代入③，得． 所以该方程组的解为．（9分） 21．【详解】（1）解：设分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿．（1分） 根据题意，得，（3分） 解得，（4分） 答：应分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿；（5分） （2）解：设每副镜架的出厂价应定为元．（6分） 根据题意，得（8分） 解得：．（9分） 答：故每副镜架的出厂价应定为元．（10分） 22．【详解】（1）解：设每个哪吒手办进价为元，每个敖丙手办进价为元，（1分） 根据题意得：，（3分） 解得：，（4分） 答：每个哪吒手办进价为20元，每个敖丙手办进价为15元．（5分） （2）解：设每个哪吒手办的售价为元，每个敖丙手办的售价为元，（6分） 根据题意得：，（8分） （元），（10分） 周二的销售收入记录不正确，正确的销售收入为610元． 答：周二的销售收入记录不正确，正确的销售收入为610元．（11分） 23．【详解】（1）解：设枚元硬币克，枚角硬币克，根据题意可得，（1分） ，（3分） 得：， 解得：， 把代入得：， 解方程组可得：，（5分） 答：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克；（6分） （2）设天平右边放入枚元和枚角硬币，（7分） 根据题意可得：，（8分） 整理得：，（9分） 、均为正整数， 当时，， 当时，， 当时，，（11分） 当时，， 答：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第6章 一次方程组·能力提升 建议用时：90分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若关于，的二元一次方程组的解为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键． 将方程组的解代入原方程组，求出a和b的值，再计算即可解答． 【详解】∵ 方程组的解为 ， ， 代入第一个方程： ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 代入第二个方程：， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 故选：B． 2．已知关于x，y的方程组的解和互为相反数，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识，根据相反数的定义，得到，代入方程组中求出， ，可得关于的一元一次方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 和 互为相反数， ∴， 把代入，得：， 把代入，得：， ∴， 解得：， 故选：B． 3．如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为x，宽为y，根据“与的差为1，小长方形的周长为14”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得：，， ． 故选：A． 4．李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查代入消元法求二元一次方程组，利用代入消元法进行求解，进行分析判断即可，掌握解方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 由，得， 将代入得，， , ， ∴解题过程中开始出现错误的同学是丙， 故选：． 5．《九章算术》中记载一题目，译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问：人与车各多少？下列说法正确的是（   ） A．设有x辆车，则人数为 B．设有x辆车，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 【答案】C 【分析】本题主要考查列二元一次方程组，根据题意，设车有x辆，人有y人． 当两人坐一车时，有九人步行，总人数y等于坐车人数加步行人数，即；当三人坐一车时，有两辆空车，坐车人数为，等于总人数y，即． 【详解】解：设车数为x，人数为y．   ∵ 两人坐一车，九人步行， ∴．   ∵ 三人坐一车，两辆空车， ∴ 实际用车辆，则．   ∴ 可列方程组为 ．   故选：C． 6．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组得到，根据题意可得，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ∴， 解得， 故选：A． 7．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，根据小明同学的解正确，求出，得到关于的方程，根据小红同学看错了，得到满足方程，得到关于的方程，进而得到关于的方程组，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得； 把代入，得， ∴，解得； 故，，； 故选B． 8．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”．设有个客人，个盘子，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意找到等量关系“若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子”，列出方程组即可． 【详解】解：设有个客人，个盘子，根据题意， 方程组为 ， 故选：B． 9．学校计划租用若干辆汽车运送七年级学生和带队教师外出进行博物馆参观活动．按照不浪费座位的原则，如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有人没有车坐；如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有一辆车只坐了人，并且还空出一辆车．设计划租用辆车，共有学生和带队教师人．则根据题意列方程组为　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列二元一次方程组；根据型客车情况，总人数等于座位数加无座人数；根据型客车情况，空出一辆车，实际使用车辆数减一，且一辆车只坐人，其余坐满，列出方程． 【详解】解：设计划租用辆车，共有学生和带队教师人， 选用型客车时，一辆车坐人，有人无座， 总人数，即． 选用型客车时，空出一辆车，实际使用车辆为辆， 其中一辆只坐人，其余辆车坐满人， 总人数． 因此，方程组为， 故选：B． 10．如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（   ） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，本题的难点是解关于，的方程，解题的基本思想是消元． 题目中的图形实际是说明了两个相等关系：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是．根据第一个天平得到：；根据第二个天平得到：，把这两个式子组成方程组，解这个关于，的方程组即可． 【详解】解：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是． 根据题意得到：， 解得：， 第三图中左边是：，因而需在它的右盘中放置7个球． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，则 ． 【答案】10 【分析】此题考查了解二元一次方程组，代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算定义，利用已知条件建立方程组求解参数和，再代入求值 【详解】解：，且， ∴ 解得： ， ． 故答案为：． 12．解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 根据加减消元法解二元一次方程组，观察方程①和②中的系数，分别为和，其最小公倍数为，因此将①乘以、②乘以，可使的系数互为相反数，相加后即可消去未知数． 【详解】解：得：； 得：； 将两式相加：， 简化得 ，从而消去未知数． 故答案为：（答案不唯一）． 13．若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【详解】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 14．已知方程组，则的值为 ． 【答案】19 【分析】本题考查解二元一次方程，代数式求值，掌握好加减消元法是解题关键． 通过方程组消去参数，得到 ，然后代入所求表达式计算． 【详解】解：由方程组 ， 将，得， ∴． 故答案为：19． 15．有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若树下一只鸽子飞上树，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子一样多．树上有 只鸽子，树下有 只鸽子． 【答案】 7 5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键； 设树上有 只鸽子，树下有 只鸽子，根据题意找等量关系解出方程组即可． 【详解】解：设树上有 只鸽子，树下有 只鸽子． 由题意可得， 化简②，得，即， 代入方程①，得 整理，得 两边乘以得 去括号，得 移项，得 整理，得 则 故原方程组的解为 ∴树上原有只鸽子，树下原有只鸽子． 故答案为：，． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)方程组的解为 (2)方程组的解为 【分析】本题考查的是二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键． （1）根据加减消元法解方程组即可； （2）根据加减消元法解方程组即可； 【详解】（1）， ①﹣②得：， 解得：，（2分） 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为．（4分） （2） 方程①化简为， 将和组成方程组得， ， ， 解出，（6分） 将代入得， 解出， 方程组的解为．（8分） 17．（8分）已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 【答案】6 【分析】本题考查了加减消元法． 两方程相加得到，把代入得到，即． 【详解】解：， 得，， 即（4分） 把代入，得，（6分） ∴．（8分） 18．（8分）母亲节到了，小丽打算买一束由玫瑰和康乃馨两种花组成的花束送给妈妈，她在花店了解到：如果买2枝玫瑰和7枝康乃馨共需35元，如果买5枝玫瑰和5枝康乃馨共需50元． (1)求玫瑰和康乃馨每枝各多少元？ (2)小丽送给妈妈的花束，需要有52枝花，其中玫瑰有a枝，另外她还想购买一张3元的贺卡放在花束中．如果总金额为195元，求玫瑰的购买数量． 【答案】(1)玫瑰和康乃馨每枝各7元、3元 (2)玫瑰的购买数量为9枝 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题中的等量关系． （1）设玫瑰和康乃馨每枝各元、元，然后根据题意可列方程进行求解； （2）由题意得，列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设玫瑰和康乃馨每枝各元、元，（1分） 由题意得：，（3分） 解得；（4分） 答：玫瑰和康乃馨每枝各7元、3元．（5分） （2）解：由题意，得 ，（6分） 解得，（7分） 答：玫瑰的购买数量为9枝．（8分） 19．（9分）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为．（2分） （2）由（1）得：第个方程组为解为．（4分） （3）由规律得， 解得．（5分） 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得．（7分） 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14．（9分） 20．（9分）下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 【答案】任务一：①代入；②三；应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；任务二：． 【分析】本题考查了二元一次方程组． 任务一：①由解析过程可知为代入消元法； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：根据代入消元法计算即可． 【详解】解：任务一：①由解析过程可知为代入消元法； 故答案为：代入；（1分） ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 故答案为：三，应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；（3分） 任务二：③， 把③代入②，得． 整理，得． 解得．（6分） 把代入③，得． 所以该方程组的解为．（9分） 21．（10分）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品，苏州（姑苏）是中国眼镜的发源地，明代崇祯初年（1628年），苏州眼镜技师孙云球将制造眼镜技术进一步发扬光大． 素材整合 某工厂计划生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． (1)应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)若每副镜架的成本为元，要达到的利润率（利润率利润成本），则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 【答案】(1)应分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿 (2)每副镜架的出厂价应定为元 【分析】（1）考查二元一次方程组的实际应用(配套问题)，核心思路是根据“镜腿数量是镜框数量的2倍”这一关系列方程组求解； （2）考查一元一次方程在经济利润问题中的应用，核心是对“利润率”公式的理解与运用． 【详解】（1）解：设分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿．（1分） 根据题意，得，（3分） 解得，（4分） 答：应分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿；（5分） （2）解：设每副镜架的出厂价应定为元．（6分） 根据题意，得（8分） 解得：．（9分） 答：故每副镜架的出厂价应定为元．（10分） 22．（11分）某电影院为了创收，分两次购进了哪吒和敖丙手办进行售卖，第一次购入哪吒手办25个，敖丙手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入哪吒手办40个，敖丙手办20个共花费1100元． (1)求每个哪吒和每个敖丙手办进价各多少元？ (2)该电影院为了解这两款手办的销售情况，对每天的销售进行记录，周一出售了6个哪吒手办，5个敖丙手办，销售收入记录为305元，经核实记录正确；周二以相同的售价出售了哪吒手办12个，敖丙手办10个，销售收入记录为600元，你认为周二的销售记录正确吗？如果正确，请说明理由，若不正确，请你计算出正确的销售收入． 【答案】(1)每个哪吒手办进价20元，每个敖丙手办进价15元 (2)周二的销售记录不正确，正确的销售收入为610元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及代数式求值，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设每个哪吒手办进价为元，每个敖丙手办进价为元，根据第一次购入哪吒手办25个，敖丙手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入哪吒手办40个，敖丙手办20个共花费1100元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设每个哪吒手办的售价为元，每个敖丙手办的售价为元，根据题意得：，即可解决问题． 【详解】（1）解：设每个哪吒手办进价为元，每个敖丙手办进价为元，（1分） 根据题意得：，（3分） 解得：，（4分） 答：每个哪吒手办进价为20元，每个敖丙手办进价为15元．（5分） （2）解：设每个哪吒手办的售价为元，每个敖丙手办的售价为元，（6分） 根据题意得：，（8分） （元），（10分） 周二的销售收入记录不正确，正确的销售收入为610元． 答：周二的销售收入记录不正确，正确的销售收入为610元．（11分） 23．（12分）为测量元硬币与角硬币的单枚质量，小明与小聪准备了足量的两种硬币，且同种类硬币的质量均相同． 实验器材：一架天平和一个克的砝码． 小明：天平左边放枚元硬币和个克的砝码，天平右边放枚角硬币，天平正好平衡． 小聪：天平左边放枚元硬币，天平右边放枚角硬币和个克的砝码，天平正好平衡． (1)每枚1元硬币和每枚角硬币的质量各是多少克？ (2)已知元纸币的质量为克，现在有足够多的元纸币，若天平左边放入张元纸币，天平右边只放入若干枚元硬币和若干枚角硬币，请求出能使天平正好平衡的天平右边放法的所有方案． 【答案】(1)每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克 (2)天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、求一个二元一次方程的正整数解． （1）设枚元硬币克，枚角硬币克，根据小明和小聪使天平平衡的放置方法，列二元一次方程组求解即可； （2）设天平右边放入枚元和枚角硬币，可列二元一次方程，又因为、均为正整数，求出、的正整数解即可． 【详解】（1）解：设枚元硬币克，枚角硬币克，根据题意可得，（1分） ，（3分） 得：， 解得：， 把代入得：， 解方程组可得：，（5分） 答：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克；（6分） （2）设天平右边放入枚元和枚角硬币，（7分） 根据题意可得：，（8分） 整理得：，（9分） 、均为正整数， 当时，， 当时，， 当时，，（11分） 当时，， 答：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币．（12分） 学科网（北京）股份有限公司2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第6章 一次方程组·能力提升 建议用时：90分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若关于，的二元一次方程组的解为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 2．已知关于x，y的方程组的解和互为相反数，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 3．如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 4．李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．《九章算术》中记载一题目，译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问：人与车各多少？下列说法正确的是（   ） A．设有x辆车，则人数为 B．设有x辆车，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 6．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”．设有个客人，个盘子，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 9．学校计划租用若干辆汽车运送七年级学生和带队教师外出进行博物馆参观活动．按照不浪费座位的原则，如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有人没有车坐；如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有一辆车只坐了人，并且还空出一辆车．设计划租用辆车，共有学生和带队教师人．则根据题意列方程组为　　) A． B． C． D． 10．如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（   ） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，则 ． 12．解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路： ． 13．若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 14．已知方程组，则的值为 ． 15．有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若树下一只鸽子飞上树，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子一样多．树上有 只鸽子，树下有 只鸽子． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解方程组： (1)； (2)． 17．（8分）已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 18．（8分）母亲节到了，小丽打算买一束由玫瑰和康乃馨两种花组成的花束送给妈妈，她在花店了解到：如果买2枝玫瑰和7枝康乃馨共需35元，如果买5枝玫瑰和5枝康乃馨共需50元． (1)求玫瑰和康乃馨每枝各多少元？ (2)小丽送给妈妈的花束，需要有52枝花，其中玫瑰有a枝，另外她还想购买一张3元的贺卡放在花束中．如果总金额为195元，求玫瑰的购买数量． 19．（9分）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 20．（9分）下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 21．（10分）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品，苏州（姑苏）是中国眼镜的发源地，明代崇祯初年（1628年），苏州眼镜技师孙云球将制造眼镜技术进一步发扬光大． 素材整合 某工厂计划生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． (1)应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)若每副镜架的成本为元，要达到的利润率（利润率利润成本），则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 22．（11分）某电影院为了创收，分两次购进了哪吒和敖丙手办进行售卖，第一次购入哪吒手办25个，敖丙手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入哪吒手办40个，敖丙手办20个共花费1100元． (1)求每个哪吒和每个敖丙手办进价各多少元？ (2)该电影院为了解这两款手办的销售情况，对每天的销售进行记录，周一出售了6个哪吒手办，5个敖丙手办，销售收入记录为305元，经核实记录正确；周二以相同的售价出售了哪吒手办12个，敖丙手办10个，销售收入记录为600元，你认为周二的销售记录正确吗？如果正确，请说明理由，若不正确，请你计算出正确的销售收入． 23．（12分）为测量元硬币与角硬币的单枚质量，小明与小聪准备了足量的两种硬币，且同种类硬币的质量均相同． 实验器材：一架天平和一个克的砝码． 小明：天平左边放枚元硬币和个克的砝码，天平右边放枚角硬币，天平正好平衡． 小聪：天平左边放枚元硬币，天平右边放枚角硬币和个克的砝码，天平正好平衡． (1)每枚1元硬币和每枚角硬币的质量各是多少克？ (2)已知元纸币的质量为克，现在有足够多的元纸币，若天平左边放入张元纸币，天平右边只放入若干枚元硬币和若干枚角硬币，请求出能使天平正好平衡的天平右边放法的所有方案． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $