专题05 二元一次方程组的应用（专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

专题05 二元一次方程组的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二元一次方程组的应用之年龄问题 1 题型二、二元一次方程组的应用之分配问题 3 题型三、二元一次方程组的应用之和差倍分问题 4 题型四、二元一次方程组的应用之古代问题 5 题型五、二元一次方程组的应用之方案问题 7 题型六、二元一次方程组的应用之行程问题 11 题型七、二元一次方程组的应用之工程问题 12 题型八、二元一次方程组的应用之销售、利润问题 14 题型九、二元一次方程组的应用之几何图形问题 17 题型十、二元一次方程组的应用之数字问题 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二元一次方程组的应用之年龄问题 1．某天小雅问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁了，哈哈！”小雅的年龄是 岁 2．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 3．小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 4．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 题型二、二元一次方程组的应用之分配问题 5．一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 6．某酒店客房部有三人间普通客房、双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施．一个23人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费655元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间？（请列二元一次方程组求解） 7．我校在举办“书香文化节”的活动中，将x本图书分给了y名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，则 ． 8．某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型三、二元一次方程组的应用之和差倍分问题 9．某停车场共设小型车位和车位300个，其中小型车位每小时2元，车位每小时3元，若全部满位1小时，总收费700元，则停车场共设小型车位和车位各多少个？ 10．某班同学计划购买足球和跳绳，已知购买2个足球和3根跳绳共需70元，购买1个足球和2根跳绳共需40元．求足球和跳绳的单价． 11．学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．已知一包A食品含热量和蛋白质，一包B食品含热量和蛋白质，若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 12．“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 题型四、二元一次方程组的应用之古代问题 13．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 14．我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺、绢四尺，共价四钱八分，又绫七尺，绢二尺、共价六钱八分．问：绫、绢各价若下？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，设每尺绫的价格是分、每尺绢的价格是分，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 15．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问长木多少尺？如果设长木长尺，绳长尺，则可以列方程组（   ） A． B． C． D． 16．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，“方程术”是《九章算术》的重要内容，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十七两；牛三、羊一，直金十两．问：牛、羊各直金几何？”意思如下：“假设有5头牛、2只羊，值金17两；3头牛、1只羊，值金10两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 题型五、二元一次方程组的应用之方案问题 17．列方程解应用题： “太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术，经太空育种后的鲜花花期更长、花朵更鲜艳、价格也较高，我国培育成功的太空育种鲜花“延丹1号”山丹丹单价为29元/盆，“太空玫瑰”单价为99元/盆．为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共200盆，若购买这两种鲜花的总价为9300元，请计算购买“延丹1号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数． 18．一方有难，八方支援．某市发生地震，某公司用甲、乙两种货车向该市运送爱心物资，两次满载的运输情况如表： 运输次数 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)现有45吨物资需要再次运往该市，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？ 19．已知：用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨；用5辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货31 吨，某物流公司现有35 吨货物，计划同时租用A型车 a辆，B型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 20．为积极响应国家关于“推动人工智能与教育深度融合”的号召，全面提升学生的数字素养与创新能力，某校计划采购一批核心设备．已知市场报价如下：购进2台学习机器人和3套智能编程套装，总计花费90万元；购进3台学习机器人和2套智能编程套装，总计花费85万元． (1)每台学习机器人和每套智能编程套装的进价分别为多少万元? (2)若该校计划出资125万元资金全部用于购进学习机器人和智能编程套装两种设备（两种设备均购买）供学生使用，请问共有几种购进方案? 题型六、二元一次方程组的应用之行程问题 21．一列匀速行驶的火车通过一座160米的铁路桥用了30秒，而它以同样的速度穿过一段200米长的隧道用了35秒，求这列火车的速度和长度？ 22．小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 23．聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 24．火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是，求隧道和火车的长度． 题型七、二元一次方程组的应用之工程问题 25． 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 26．某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 27．汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 28．某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 题型八、二元一次方程组的应用之销售、利润问题 29．第十五届全运会和残特奥会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受人们喜爱，其周边商品持续热销．小辰在某专卖店购买了1个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件，共花费182元．已知喜洋洋挂件的销售单价比乐融融摆件的销售单价少13元．求该专卖店中喜洋洋挂件和乐融融摆件的销售单价分别是多少？（列方程组解答） 30．某学校足球队购进A，B两款足球，若购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若购进20个A款足球和30个B款足球需3400元，设A、B两款足球的进价分别为x元、y元，求x和y的值． 31．为了倡导绿色环保，点燃创意生活，鄂尔多斯市文旅中心购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该文旅中心购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)文旅中心将购进的节能灯进行二次加工，在节能灯上创意增加了鄂尔多斯文化元素，其中文创部门在实际销售过程中，按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？ 32．下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知  ，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现： “设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）． ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元 ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元 [迁移类比] (2)小军看了对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价． 题型九、二元一次方程组的应用之几何图形问题 33．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 34．如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为 35．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为 ． 36．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列，如图所示，测量后发现：将2个碗叠放时总高度为，将4个碗叠放时总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 题型十、二元一次方程组的应用之数字问题 37．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是 ． 38．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值分别是（    ） 3 2 A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 39．如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 40．一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 一、单选题 1．如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．20 D．24 2．若20个盘子和30个杯子的总重量是4.8千克，40个盘子和50个杯子的总重量是8.4千克，则20个盘子和10个杯子的总重量为（    ） A．2.4千克 B．3.2千克 C．3.6千克 D．4千克 3．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题：今有三人共车；二车空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则总人数为（    ） A．15人 B．39人 C．41人 D．20人 4．物理教师将一根米的导线交给小组长将其截成20厘米和30厘米两种长度的导线（每种长度的导线至少1根），则最多能截出（）根导线 A． B． C． D． 5．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿长 一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何?”(注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺)译文为：有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺：若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长?”若设竿长为x 尺，绳长为y尺，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒斗，清酒斗，则可列方程组为 ． 7．幻方又称九宫图，在幻方拓展课程中，小明在如下所示的方格内填入了一些数及字母，若图中每行、每列以及对角线上的三个数字之和都相等，则 ， ． y 2 5 7 8 x 6 8．某小学有120人参加数学竞赛，平均得分78分，其中男生平均得分75分，女生平均得分80分，则男生比女生少 人． 9．小明问他的数学老师今年多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才1岁，你到我这么大时，我就37岁了．”老师的年龄为 三、解答题 10．魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1800元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的3倍，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 5 30 标价（元/个） 12 50 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的八折出售，数独棋按标价的七五折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 11．一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 12．华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 13．为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 14．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 15．列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二元一次方程组的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二元一次方程组的应用之年龄问题 1 题型二、二元一次方程组的应用之分配问题 3 题型三、二元一次方程组的应用之和差倍分问题 4 题型四、二元一次方程组的应用之古代问题 5 题型五、二元一次方程组的应用之方案问题 7 题型六、二元一次方程组的应用之行程问题 11 题型七、二元一次方程组的应用之工程问题 12 题型八、二元一次方程组的应用之销售、利润问题 14 题型九、二元一次方程组的应用之几何图形问题 17 题型十、二元一次方程组的应用之数字问题 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二元一次方程组的应用之年龄问题 1．某天小雅问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁了，哈哈！”小雅的年龄是 岁 【答案】15 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小雅爷爷是岁，小雅是岁，根据爷爷及小雅的年龄之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，解方程即可． 【详解】解：设小雅的爷爷是岁，小雅是岁， 由题意，得： 解得： 所以小雅的年龄是15岁． 故答案为：15． 2．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 3．小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了，列方程组求解即可． 【详解】解：设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故叔叔现在的年龄是28岁，小君现在的年龄是16岁． 故选：B． 4．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 由“10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍”可知，由“10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍”可知，进而列方程组即可． 【详解】解：设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，由题意可得： 故选：B 题型二、二元一次方程组的应用之分配问题 5．一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 【答案】用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，找出等量关系列出方程组，最终求解方程组即可得出结果． 【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌， 根据题意得，解得， 即用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌． 6．某酒店客房部有三人间普通客房、双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施．一个23人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费655元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间？（请列二元一次方程组求解） 【答案】三人间普通客房5间，双人间普通客房4间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知得出方程组是解题关键． 设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房间，根据人数和住宿费列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房间，由题意，得： 解得：， 答：三人间普通客房5间，双人间普通客房4间． 7．我校在举办“书香文化节”的活动中，将x本图书分给了y名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，则 ． 【答案】310 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． 根据题意，列出关于图书总数x和学生数y的二元一次方程组，并通过求解方程组得到x的值． 【详解】由题意，得方程组： 解得， 故答案为：310． 8．某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组． 根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 【详解】解：已知用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，布料总长度为128米，所以， 每米布料可做2个玩偶，则米布料可做个玩偶；每米布料可做3个玩偶，则米布料可做个玩偶， 因为一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶，要恰好配套，则玩偶的数量是玩偶的数量的2倍，即，化简得， 所以可列方程组， 故选：A． 题型三、二元一次方程组的应用之和差倍分问题 9．某停车场共设小型车位和车位300个，其中小型车位每小时2元，车位每小时3元，若全部满位1小时，总收费700元，则停车场共设小型车位和车位各多少个？ 【答案】小型车位200个，车位100个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出其中的等量关系是解答本题的关键． 设小型车位有x个，车位有y个，根据共设小型车位和车位300个、全部满位1小时，总收费700元各列一个方程，组成二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小型车位有x个，车位有y个，由题意，得 ， 解得． 所以小型车位有200个，车位有100个． 10．某班同学计划购买足球和跳绳，已知购买2个足球和3根跳绳共需70元，购买1个足球和2根跳绳共需40元．求足球和跳绳的单价． 【答案】足球的单价为20元，跳绳的单价为10元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，准确列出方程是解题的关键． 设足球的单价为元，跳绳的单价为元，则，再解方程组即可． 【详解】设足球的单价为元，跳绳的单价为元． 根据题意，得方程组， 由第二方程得． 代入第一方程，得， 即，所以，解得． 将代入，得, 因此，足球的单价为20元，跳绳的单价为10元． 11．学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．已知一包A食品含热量和蛋白质，一包B食品含热量和蛋白质，若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品4包，B种食品2包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意列二元一次方程组计算即可． 【详解】解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得： ， 解得． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包． 12．“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【答案】每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元，根据3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元，2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元， 由题意得： 解得： 答：每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 题型四、二元一次方程组的应用之古代问题 13．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设木长尺，绳子长为尺，由题意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．即可列出二元一次方程组． 【详解】解：设木长尺，绳子长为尺. ∵ 引绳度之，余绳尺， ∴. ∵ 屈绳量之，不足一尺，即对折后量木，木剩余尺， ∴ 对折绳子长度比木长小尺， ∴． 因此，方程组为， 故选：B． 14．我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺、绢四尺，共价四钱八分，又绫七尺，绢二尺、共价六钱八分．问：绫、绢各价若下？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，设每尺绫的价格是分、每尺绢的价格是分，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 根据题意，三尺绫和四尺绢共值四钱八分（即48分），七尺绫和二尺绢共值六钱八分（即68分），设每尺绫x分、每尺绢y分，直接列出方程组即可． 【详解】解：设每尺绫的价格是分、每尺绢的价格是分 ∵三尺绫和四尺绢共值48分， ∴； ∵七尺绫和二尺绢共值68分， ∴； ∴方程组为， 故选：D． 15．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问长木多少尺？如果设长木长尺，绳长尺，则可以列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题目中的两个等量关系是解题关键． 根据题意，绳长比木长多尺，对折后绳长比木长短尺，由此列出方程组． 【详解】解：设木长尺，绳长尺， ∵绳量木，余绳尺， ∴； ∵屈绳量之，不足一尺，即对折后绳长为尺，木长比对折绳长多尺， ∴． 故方程组为． 故答案为：． 16．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，“方程术”是《九章算术》的重要内容，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十七两；牛三、羊一，直金十两．问：牛、羊各直金几何？”意思如下：“假设有5头牛、2只羊，值金17两；3头牛、1只羊，值金10两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 【答案】每头牛值金3两，每只羊值金1两 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设每头牛值金x两，每只羊值金y两，建立关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两． 依题意得：， 解得：， 答：每头牛值金3两，每只羊值金1两． 题型五、二元一次方程组的应用之方案问题 17．列方程解应用题： “太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术，经太空育种后的鲜花花期更长、花朵更鲜艳、价格也较高，我国培育成功的太空育种鲜花“延丹1号”山丹丹单价为29元/盆，“太空玫瑰”单价为99元/盆．为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共200盆，若购买这两种鲜花的总价为9300元，请计算购买“延丹1号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数． 【答案】购买“延丹1号”山丹丹150盆，购买“太空玫瑰”50盆 【分析】本题考查用二元一次方程组解决实际问题，找到题目中的等量关系是解题的关键； 根据“购买这两种太空育种鲜花共200盆，购买这两种鲜花的总价为9300元”列方程即可． 【详解】解：设购买“延丹1号”山丹丹x盆,购买“太空玫瑰”y盆． 根据题意得： 解得 答：购买“延丹1号”山丹丹150盆，购买“太空玫瑰”50盆． 18．一方有难，八方支援．某市发生地震，某公司用甲、乙两种货车向该市运送爱心物资，两次满载的运输情况如表： 运输次数 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)现有45吨物资需要再次运往该市，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货4吨、3吨 (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据已知条件列出方程组是解题的关键． 设甲、乙两种货车每辆分别能装货x，y吨，根据题意列方程组为，解方程组即可； 设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车．依题意得，则，根据，n均为正整数得到或或，即共有3种租车方案． 【详解】（1）解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货x，y吨，依题意，得 解得 因此，甲、乙两种货车每辆分别能装货4吨、3吨； （2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车． 依题意，得， 则， ，n均为正整数， 则或或 即共有3种租车方案， 方案1：租用3辆甲种货车、11辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车、7辆乙种货车； 方案3：租用9辆甲种货车、3辆乙种货车． 19．已知：用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨；用5辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货31 吨，某物流公司现有35 吨货物，计划同时租用A型车 a辆，B型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A车运3吨，1辆B车运4吨 (2)租用1辆A，8辆B或租用5辆A，5辆B或租用9辆A，2辆B (3)租用1辆 A，8辆B，最少租车费为2120元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的解，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键． （1）设1辆A车运x吨，1辆B车运y吨，根据题意列方程组，然后解方程组即可解答； （2）根据题意，租用a辆 A，b辆B，满足：，结合a、b值为非负整数确定a、b值即可； （3）分别求出每个方案的租车费用，比较大小后可得答案． 【详解】（1）解：设1辆A车运x吨，1辆B车运y吨， 根据题意，列方程组： 解得， 答：1辆A车运3吨，1辆B车运4吨； （2）解：根据题意，租用a辆 A，b辆B，满足：， ∵a、b为非负整数， ∴或或， 故有三种租车方案：租用1辆A，8辆B或租用5辆A，5辆B或租用9辆A，2辆B； （3）解：租金：A：200元/次，B：240元/次， 计算各方案费用： 租用1辆A，8辆B费用为（元）， 租用5辆A，5辆B费用为（元）， 租用9辆A，2辆B费用为（元）， ∴最省钱方案为租用1辆 A，8辆B，最少租车费为2120元． 20．为积极响应国家关于“推动人工智能与教育深度融合”的号召，全面提升学生的数字素养与创新能力，某校计划采购一批核心设备．已知市场报价如下：购进2台学习机器人和3套智能编程套装，总计花费90万元；购进3台学习机器人和2套智能编程套装，总计花费85万元． (1)每台学习机器人和每套智能编程套装的进价分别为多少万元? (2)若该校计划出资125万元资金全部用于购进学习机器人和智能编程套装两种设备（两种设备均购买）供学生使用，请问共有几种购进方案? 【答案】(1) 每台学习机器人进价为15万元，每套智能编程套装进价为20万元 (2) 共有2种购进方案，购进学习机器人台，智能编程套装套；或购进学习机器人台，智能编程套装套． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及不等式组的整数解问题，解决本题的关键在于根据等量关系建立方程并正确求解． （1）通过设立两个未知数，根据题目给出的两种购买组合及其总价，建立方程并求解即可． （2）根据总预算和两种设备的单价，得到关于m和n的关系式，然后找出满足该方程的所有正整数解组合，这些组合即为可行的购进方案． 【详解】（1）解：设每台学习机器人的进价为万元，每套智能编程套装的进价为万元， 已知购进台学习机器人和套智能编程套装，总计花费万元，可列方程； 购进台学习机器人和套智能编程套装，总计花费万元，可列方程， 得到方程组，解得， 所以，每台学习机器人的进价为万元，每套智能编程套装的进价为万元． （2）解：设购进学习机器人台，购进智能编程套装套． 已知该校计划出资万元资金全部用于购进两种设备， 可列方程，可得． 因为、均为正整数， 当时，； 当时，，不是正整数，舍去； 当时，，不是正整数，舍去； 当时，； 当时，，不是正整数，舍去； 当时，，不是正整数，舍去； 当时，，不符合题意． 所以共有种购进方案，即方案一：购进学习机器人台，智能编程套装套； 方案二：购进学习机器人台，智能编程套装套． 题型六、二元一次方程组的应用之行程问题 21．一列匀速行驶的火车通过一座160米的铁路桥用了30秒，而它以同样的速度穿过一段200米长的隧道用了35秒，求这列火车的速度和长度？ 【答案】火车的速度为8米/秒，长度为80米 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组解答． 设这列火车的速度和长度分别为米秒和米，根据题意列出方程组解答即可． 【详解】解：设这列火车的速度和长度分别为米秒和米， 可得：， 解得：， 答：火车的速度为8米/秒，长度为80米． 22．小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 【答案】小华家离学校 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小华家到学校的上坡路长，平路长，根据时间路程速度结合小华从家里到学校需，从学校到家里需，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小华家到学校的上坡路长，平路长， 根据等量关系，得：， 解得， 于是，上坡路与平路的长度之和为， 答：小华家离学校． 23．聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 【答案】聪聪上坡用了，下坡用了 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设聪聪上坡用了，下坡用了，根据他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．列出方程组求解即可． 【详解】解：， 设聪聪上坡用了，下坡用了． 根据题意，得 解得 答：聪聪上坡用了，下坡用了． 24．火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是，求隧道和火车的长度． 【答案】火车长，隧道长 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，设火车长，隧道长，根据行程问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组求出其解即可． 【详解】解：设火车长，隧道长 根据题意，得 解得： 答：火车长，隧道长． 题型七、二元一次方程组的应用之工程问题 25． 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【答案】规定的时间为天，这批零件的总数为个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设规定的时间为天，这批零件的总数为个，根据“如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件”列出方程组，解出即可．解题的关键是正确理解题意，设出未知数，利用等量关系列出方程组． 【详解】解：设规定的时间为天，这批零件的总数为个， 依题意，得： 解得：． 答：规定的时间为天，这批零件的总数为个． 26．某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 【答案】甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“两项工程的工作天数”，“对应总报酬”，梳理出两个等量关系是解题关键． 设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元，根据“两项工程的工作天数”和“对应总报酬”，设未知数并列二元一次方程组求解． 【详解】解：设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元． 27．汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 【答案】(1) (2)原计划42天完成，废铜总数为5400吨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、 列出方程组是解题的关键． （1）根据等量关系“每天处理150吨，可提前6天完成”和“每天处理120吨，将延误3天完成”列出方程组即可； （2）直接利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：设原计划天完成，这批废铜共有吨， 由每天处理150吨，可提前6天完成，则；每天处理120吨，将延误3天完成，则； 所以． （2）解：， 可得：，解得：， 将代入①可得：吨． 答：原计划42天完成，废铜总数为5400吨． 28．某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键． 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成可得方程，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程，建立方程组，最终求出x、y的值． 【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工， 故可得方程， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天； 由此可得方程， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 题型八、二元一次方程组的应用之销售、利润问题 29．第十五届全运会和残特奥会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受人们喜爱，其周边商品持续热销．小辰在某专卖店购买了1个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件，共花费182元．已知喜洋洋挂件的销售单价比乐融融摆件的销售单价少13元．求该专卖店中喜洋洋挂件和乐融融摆件的销售单价分别是多少？（列方程组解答） 【答案】专卖店中喜洋洋挂件的单价为52元，乐融融摆件的单价为65元 【分析】本题考查二元一次方程的应用，正确列出方程组是解题的关键． 设喜洋洋挂件的销售单价为x元，根据“某专卖店购买了1个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件，共花费182元．已知喜洋洋挂件的销售单价比乐融融摆件的销售单价少13元”，列出方程组求解即可． 【详解】解：设喜洋洋挂件的销售单价为x元，乐融融摆件的销售单价为y元， 根据题意，得 ， 解得， 答：该专卖店中喜洋洋挂件的单价为52元，乐融融摆件的单价为65元． 30．某学校足球队购进A，B两款足球，若购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若购进20个A款足球和30个B款足球需3400元，设A、B两款足球的进价分别为x元、y元，求x和y的值． 【答案】x的值为80，y的值为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 答：x的值为80，y的值为． 31．为了倡导绿色环保，点燃创意生活，鄂尔多斯市文旅中心购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该文旅中心购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)文旅中心将购进的节能灯进行二次加工，在节能灯上创意增加了鄂尔多斯文化元素，其中文创部门在实际销售过程中，按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？ 【答案】(1)购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只 (2)10只 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设该文旅中心购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯只，根据“购进只节能灯的进货款恰好为元”列方程，解方程即可求解； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，由两种节能灯共获利元列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：（1）设该文旅中心购进甲种型号的节能灯x只，则购进乙种型号的节能灯只， 由题意可得：， 解得 ， ∴（只）， 答：该文旅中心购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只； （2）解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，由题意得 ， 解得 ， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是10只． 32．下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知  ，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现： “设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）． ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元 ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元 [迁移类比] (2)小军看了对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价． 【答案】(1)② (2)方程见解析；A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为50元 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据方程可得表示的是B品牌足球的单价，据此可得答案； （2）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元；A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据方程可知，表示的是B品牌足球的单价， ∴A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元， ∴例题中被覆盖的条件是②， 故答案为：②； （2）解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元 根据题意得， 解得， 答：A种品牌足球的单价为80元．B种品牌足球的单价为50元． 题型九、二元一次方程组的应用之几何图形问题 33．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．根据图示可得：长方形的左右的边可以表示为或25，故，长方形的上下边可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：，即 故选：B． 34．如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；根据图形及题意可直接列出方程组即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴依据题意可得二元一次方程组为； 故答案为． 35．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可以列出方程组． 【详解】解：根据图示可以列出方程组为： ． 故答案为：． 36．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列，如图所示，测量后发现：将2个碗叠放时总高度为，将4个碗叠放时总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加， 由题意得：， 解得：， ∴10个碗叠成一列高度为， 即将10个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有． 故选：C． 题型十、二元一次方程组的应用之数字问题 37．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是 ． 【答案】34 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设十位数字为x，个位数字为y，根据数字之和为7及新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字建立方程组求解即可． 【详解】解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得， 解得， ∴这个两位数是34， 故答案为：34． 38．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值分别是（    ） 3 2 A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题的关键；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等列方程组求解即可． 【详解】解：每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ， 整理得， 解得：， 的值分别是，1， 故选：． 39．如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 根据题意找到规律即可解答． 【详解】解：如图，设中间两个数分别为，， 由题意可得，， ， ， 即， 整理得：． 当时，，故A选项不符合题意； 当时，，故C选项不符合题意； 当时，， 此时，在月历中可以框出符合题意的四个数，故D选项符合题意； 当时，； 此时，16在月历中是第三行最后一个数，无法框出符合题意的四个数，故B选项不符合题意． 故选：D． 40．一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 【答案】516． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义和解三元一次方程组，运用加减消元法解三元一次方程组是解题的关键． 根据题干条件设个位数字为，十位数字为，百位数字为，由数量关系列三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为，百位数字为． 根据题意，得 解得故这个三位数是516． 一、单选题 1．如图，长方形中有6个形状、大小完全相同的小长方形，其余为阴影部分，根据图中所标尺寸，图中阴影部分的面积之和为（   ） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设小长方形的长为，宽为，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， ， 解得：， 所以图中阴影部分的面积之和为． 故选B． 2．若20个盘子和30个杯子的总重量是4.8千克，40个盘子和50个杯子的总重量是8.4千克，则20个盘子和10个杯子的总重量为（    ） A．2.4千克 B．3.2千克 C．3.6千克 D．4千克 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确列出方程组． 每个盘子重x千克，每个杯子重y千克，根据题意列方程组求出，然后代入求解即可． 【详解】解：每个盘子重x千克，每个杯子重y千克， 根据题意得， 解得 ∴（千克）． ∴20个盘子和10个杯子的总重量为2.4千克． 故选：A． 3．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题：今有三人共车；二车空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则总人数为（    ） A．15人 B．39人 C．41人 D．20人 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设有辆车，乘车人数为人，根据今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设有辆车，总人数为人， 依题意得：， 解得：， 即总人数为39人， 故选：B． 4．物理教师将一根米的导线交给小组长将其截成20厘米和30厘米两种长度的导线（每种长度的导线至少1根），则最多能截出（）根导线 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设可以截出x根20厘米长的导线，y根30厘米长的导线，根据截出导线的总长度为米（即320厘米），可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出各x，y的值，再将其相加取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设可以截出x根20厘米长的导线，y根30厘米长的导线， 根据题意得， ． ∵x，y均为正整数， ∴或或或或， ∴或14或13或12或11， ∴最多能截出15根导线． 故选C． 5．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿长 一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何?”(注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺)译文为：有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺：若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长?”若设竿长为x 尺，绳长为y尺，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设竿长为尺，绳长为尺，根据题意列出方程组，即可求解． 【详解】解：设竿长为尺，绳长为尺，根据题意得， 故选：A． 二、填空题 6．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒斗，清酒斗，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了古代问题(二元一次方程组的应用)，根据实际问题列二元一次方程组，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据题意，总酒量为5斗，总谷子消耗为30斗，清酒每斗值10斗谷子，醑酒每斗值3斗谷子，设醑酒斗，清酒斗，即可列出方程组． 【详解】解：设醑酒斗，清酒斗， ∵总酒量为5斗， ∴， ∵清酒每斗值10斗谷子，醑酒每斗值3斗谷子，总谷子消耗为30斗， ∴， ∴可列出方程组为． 故答案为：． 7．幻方又称九宫图，在幻方拓展课程中，小明在如下所示的方格内填入了一些数及字母，若图中每行、每列以及对角线上的三个数字之和都相等，则 ， ． y 2 5 7 8 x 6 【答案】 1 9 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据题意可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：，． 故答案为：， 8．某小学有120人参加数学竞赛，平均得分78分，其中男生平均得分75分，女生平均得分80分，则男生比女生少 人． 【答案】24 【分析】设男生有x人，女生有人，根据题意得：，解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设男生有x人，女生有人， 根据题意得：， 解得：． 故（人）， 故答案为：24． 9．小明问他的数学老师今年多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才1岁，你到我这么大时，我就37岁了．”老师的年龄为 【答案】25 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据二者年龄间的关系，列出关于的二元一次方程组是解题的关键． 设老师今年岁，学生今年岁，根据二者年龄间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设老师今年岁，学生今年岁， 根据题意得：， 解得：． 则老师的年龄为25岁， 故答案为：25． 三、解答题 10．魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1800元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的3倍，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 5 30 标价（元/个） 12 50 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的八折出售，数独棋按标价的七五折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)该商店购进魔方120个，数独棋40个 (2)852元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该商店购进魔方x个，数独棋y个，由题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）及题意可直接列式进行求解． 【详解】（1）解：设该商店购进魔方x个，数独棋y个，由题意得： 根据题意得， 解得； 答：该商店购进魔方120个，数独棋40个． （2）解：由题意得： （元） 答：该商店共获利852元． 11．一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，工厂每天能生产36套产品 (2)至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可； （2）设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件， 由题意得：， 解得， （套） 所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品． （2）解：设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得， 解得， 所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务． 12．华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 【答案】绳长尺，井深尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．题中的等量关系有：将绳子折成四等份，井外余绳尺；将绳子折成五等份，井外余绳尺，据此列方程组并解方程组即可得解． 【详解】解：设绳长尺，井深尺，根据题意得： ，解得． 答：绳长尺，井深尺． 13．为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分 (2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 14．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 【答案】(1) 种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元． (2) 共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）． （1）设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案． 【详解】（1）解：设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元， 根据题意可得， 解得， ∴种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元． （2）解：设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆， 根据题意可得，且、均为正整数， 由，得， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 15．列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 【答案】(1)胜1场积分2分，负1场积分1分 (2)这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）理解题意，先设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分，再结合表格前进队，光明队的比赛积分情况，列出方程组，再解得，即可作答． （2）理解题意，先设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场，再结合表格雄鹰队的比赛积分情况，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分， 则根据前进队，光明队的比赛积分情况，得， 解得， 即这次比赛中胜1场积分2分，负1场积分1分， （2）解：设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场， 依题意，得， 解得， ∴这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $