第一章 整式的乘除（必备知识+7大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版七年级下册

第一章 整式的乘除 知识点01 幂的运算 1.同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 3.幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 4.幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 5.积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 6.积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数 时，计算更简便.如： 7.同底数幂的除法：(其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2） 逆用公式：即（都是正整数）. 知识点02 零指数幂、负指数幂、科学记数法 1.零指数幂：（a≠0） 2.负指数幂：（a≠0，p是正整数） 3.科学记数法：我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 知识点03 整式的乘法 1.单项式与单项式相乘： 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 2.单项式与多项式相乘： 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 3.多项式与多项式相乘： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 知识点04 乘法公式 1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 2.完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab. 知识点05 整式的除法 （1）单项式÷单项式：系数相除，同底数幂指数相减，独含字母照搬 （2）多项式÷单项式：各项分别除单项式再求和 （3）易错：漏符号、漏单独字母、指数算错 易错点1 幂的混合运算及逆运算 幂的混合运算及逆运算易错总结 1. 法则混淆：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方法则（am ×an = am+n)，(am)n = amn，(ab)n = an bn）适用条件不清，易张冠李戴。 2. 符号与指数处理不当：负号参与运算时，偶次方与奇次方结果符号易错；指数为负数或零时，忽略定义 a-n = (a≠0)，a0=1 (a≠0)。 3. 逆运算思维僵化：已知am = b反求底数或指数时，未考虑多种情况；指数方程可能无解或多解）。 4. 运算顺序错误：混合运算中未遵循先乘方、再乘除、后加减的顺序，或错误处理括号。 5. 注意事项：先定型，再计算：先确定运算类型，选用对应法则；逐步简化：复杂式子拆分成小步骤，避免跳步；逆运算多思：逆运算时注意底数符号、指数奇偶带来的多解性；**结果验算**：用原始法则反向验算，检查合理性。 【例1】（24-25七年级下·广东梅州·期中）计算：． 【变式】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 易错点2 零指数幂 零指数幂运算易错总结 1. 底数范围忽视：误以为任何数的0次幂都等于1。实际上，底数必须不等于零（a0=1)，前提是a≠0）。 2. 与零的幂混淆：常将“零的零次幂”（无意义）与“零次幂”（结果为1）混淆。 3. 符号处理错误：对负数或含字母的底数，在判定非零条件时易出错。 4. 复合底数漏括号：计算如( 2x)0时，易错误算成2x0 = 2×1 = 2，正确结果应为1（当x≠0时）。 注意事项：先验底数：运算前务必确认底数不为零；整体看待：若底数是整体式（如(a-b)0），则要求该整体式不为零，结果恒为1；规范书写：注意括号的使用，明确底数范围。 【例2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若，则 ． 【变式】（24-25七年级上·上海黄浦·月考）若等式成立，则的值为 ． 易错点3 完全平方式中的字母参数问题 完全平方式字母参数问题易错总结 1. 公式结构不清：忽略a2 2ab + b2中，中间项系数必须是首尾平方项系数乘积的2倍，且符号对应。 2. 参数求解不全：例如x2+ kx + 9为完全平方式，易只解得k=6，遗漏k=-6。 3. 忽略分数与负数：当首项或常数项为分数、负数时，对中间项系数的计算易出错。 注意事项： - 对照标准形式：将已知式子与(m n)2) 展开式严格对照。 - 考虑双解：中间项参数通常有互为相反数的两个解。 - 整体处理：若参数不在一次项位置，需将式子视为整体进行配方分析。 【例3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）若 是完全平方公式，则m= 【变式】（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如果多项式是一个完全平方式，则的值是 ． 易错点4 已知多项式乘积不含某项求字母的值 多项式乘积不含某项求参易错总结 1. 漏项合并不全：展开多项式时，同次项未完全合并，导致该项系数计算错误。 2. 审题偏差：“不含某项”指合并后该项系数为零，而非“该项不存在”。 3. 忽略多种构成：目标项可能由多个不同乘积途径生成，仅考虑一种会遗漏部分系数。 注意事项：系统展开：按运算法则逐步展开，确保所有乘积项无遗漏。准确合并：严格按字母指数合并同类项。解零方程：令目标项系数为零建方程求解，并检验。 【例4】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）关于的代数式化简后不含项和常数项． (1)求、的值； (2)求的值． 【变式】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）定义，如．已知（为常数），． (1)若，求的值 (2)若的代数式中不含的一次项，求的值 (3)若的满足，且的值，求的值 易错点5 多项式乘法中的规律性问题 多项式乘法规律性问题易错总结 1. 规律概括不全：仅从特例直接概括，未验证项数、符号、指数的普遍规律。 2. 表达式错误：写出规律的通项公式时，系数、指数或符号的表达式有偏差。 3. 应用范围不清：将特殊规律（如平方差、完全平方）错误推广到一般形式。 注意事项： - 从特殊到一般：先计算2-3个具体案例，观察系数、指数、项数变化。 - 多角度验证：用不同方法（如乘法法则、几何模型）交叉验证规律。 - 严格表述：用数学语言清晰表述规律，明确适用条件（如项数、符号）。 【例5】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【变式】（25-26八年级上·江西赣州·月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)①的展开式共有______项；②根据上面的规律，则的展开式______． (2)运用：今天是星期一，经过天后是星期几？ (3)若，求的值． 易错点6 平方差公式与几何图形的应用 平方差公式与几何图形应用易错总结 1. 图形对应错误：未能正确识别图形中哪部分面积可表示为a2 - b2（大正方形减小正方形）。 2. 拼凑方式单一：只想到一种剪拼方式（如变成长方形），忽略其他等面积变形思路。 3. 公式逆用困难：已知面积差和边长关系求边长时，想不到用a2 - b2= (a+b)(a-b)进行因式分解求解。 注意事项： - 标记关键量：在图上明确标出公式中的a和b对应的线段。 - 理解恒等本质：面积法验证时，关注图形剪拼前后的等积变换过程。 - 数形结合：将公式的代数结构与图形的割补、平移操作对应起来。 【例6】（25-26八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【变式】（25-26八年级上·重庆璧山·期中）已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 易错点7 完全平方公式与几何图形的应用 完全平方公式与几何图形应用易错总结 1. 图形分割不当：未能将整体图形（如大正方形）正确分割为公式对应的四部分（a2, b2, 2ab）。 2. 量值对应错误：将公式中的a和b与图形中的线段长度错误对应，尤其在含重叠部分时。 3. 忽略公式变形：仅掌握(a+b)2的展开，忽略(a-b)2的图形解释。 注意事项： - 先形后代：先用图形直观表示各部分面积，再写出代数式。 - 验证恒等：通过图形拼补，直观验证a2+2ab+b2 = (a+b)2。 - 双向理解：能根据图形写出公式，也能根据公式构造对应图形。 【例7】（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【知识生成】（1）一个长为，宽为的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形．观察图形，写出一个，三者之间的等量关系式：__________________． 【知识应用】（2）运用（1）中的结论，若，求的值： 【类比迁移】（3）如图3，若，求阴影部分的面积． 【变式】（25-26八年级上·福建泉州·月考）综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，“智慧小组”将4个全等的长为，宽为的长方形纸片由图1拼成如图2所示的图形． 【操作发现】 （1）根据图1和图2中阴影部分的面积相等的关系，能验证的公式是______，利用此公式解决问题：若，且，求的值． 【解决问题】 （2）已知，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，分别以为边作正方形和正方形为上一点，点在的延长线上，且，若，，求图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积． 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若 ，则 （     ） A．9 B．12 C．27 D．81 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海·期末）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 5．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 6．（25-26八年级上·云南昭通·月考）已知的展开式中不含项和x项，则m= ，n= ． 7．（25-26八年级上·山东日照·月考）若等式成立，则x的值为 ． 8．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）观察下列各式及其展开式 请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 三、解答题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 10．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 11．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·月考）【探究】如图①，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________． （用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为___________． （2）计算：． 【扩展】计算： 12．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘除 知识点01 幂的运算 1.同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 3.幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 4.幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 5.积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 6.积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数 时，计算更简便.如： 7.同底数幂的除法：(其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2） 逆用公式：即（都是正整数）. 知识点02 零指数幂、负指数幂、科学记数法 1.零指数幂：（a≠0） 2.负指数幂：（a≠0，p是正整数） 3.科学记数法：我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 知识点03 整式的乘法 1.单项式与单项式相乘： 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 2.单项式与多项式相乘： 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 3.多项式与多项式相乘： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 知识点04 乘法公式 1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 2.完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab. 知识点05 整式的除法 （1）单项式÷单项式：系数相除，同底数幂指数相减，独含字母照搬 （2）多项式÷单项式：各项分别除单项式再求和 （3）易错：漏符号、漏单独字母、指数算错 易错点1 幂的混合运算及逆运算 幂的混合运算及逆运算易错总结 1. 法则混淆：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方法则（am ×an = am+n)，(am)n = amn，(ab)n = an bn）适用条件不清，易张冠李戴。 2. 符号与指数处理不当：负号参与运算时，偶次方与奇次方结果符号易错；指数为负数或零时，忽略定义 a-n = (a≠0)，a0=1 (a≠0)。 3. 逆运算思维僵化：已知am = b反求底数或指数时，未考虑多种情况；指数方程可能无解或多解）。 4. 运算顺序错误：混合运算中未遵循先乘方、再乘除、后加减的顺序，或错误处理括号。 5. 注意事项：先定型，再计算：先确定运算类型，选用对应法则；逐步简化：复杂式子拆分成小步骤，避免跳步；逆运算多思：逆运算时注意底数符号、指数奇偶带来的多解性；**结果验算**：用原始法则反向验算，检查合理性。 【例1】（24-25七年级下·广东梅州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，根据积的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 易错点2 零指数幂 零指数幂运算易错总结 1. 底数范围忽视：误以为任何数的0次幂都等于1。实际上，底数必须不等于零（a0=1)，前提是a≠0）。 2. 与零的幂混淆：常将“零的零次幂”（无意义）与“零次幂”（结果为1）混淆。 3. 符号处理错误：对负数或含字母的底数，在判定非零条件时易出错。 4. 复合底数漏括号：计算如( 2x)0时，易错误算成2x0 = 2×1 = 2，正确结果应为1（当x≠0时）。 注意事项：先验底数：运算前务必确认底数不为零；整体看待：若底数是整体式（如(a-b)0），则要求该整体式不为零，结果恒为1；规范书写：注意括号的使用，明确底数范围。 【例2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若，则 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂，当时，需考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0，且底数不为0这三种情况，据此讨论求解即可． 【详解】解：当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，符合题意； 综上所述，x的值为或或， 故答案为：或或． 【变式】（24-25七年级上·上海黄浦·月考）若等式成立，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了零指数幂以及乘方运算，掌握相关运算法则是解题关键，注意分类讨论．根据零指数幂的性质，乘方的运算法则分类讨论求解即可． 【详解】解：①当时，解得：， ∴ 此时，符合题意； ②当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； ③当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； 综上可知，x的值为或或． 故答案为：或或． 易错点3 完全平方式中的字母参数问题 完全平方式字母参数问题易错总结 1. 公式结构不清：忽略a2 2ab + b2中，中间项系数必须是首尾平方项系数乘积的2倍，且符号对应。 2. 参数求解不全：例如x2+ kx + 9为完全平方式，易只解得k=6，遗漏k=-6。 3. 忽略分数与负数：当首项或常数项为分数、负数时，对中间项系数的计算易出错。 注意事项： - 对照标准形式：将已知式子与(m n)2) 展开式严格对照。 - 考虑双解：中间项参数通常有互为相反数的两个解。 - 整体处理：若参数不在一次项位置，需将式子视为整体进行配方分析。 【例3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）若 是完全平方公式，则m= 【答案】±4 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式的结构特征，根据常数项确定的值，再根据中间项系数求，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为是完全平方公式， 所以它可以写成， 比较系数，得， 所以， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如果多项式是一个完全平方式，则的值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中央，进行求解即可． 【详解】解：∵多项式是一个完全平方式， ∴， 即或， 解得或； 故答案为：1或 易错点4 已知多项式乘积不含某项求字母的值 多项式乘积不含某项求参易错总结 1. 漏项合并不全：展开多项式时，同次项未完全合并，导致该项系数计算错误。 2. 审题偏差：“不含某项”指合并后该项系数为零，而非“该项不存在”。 3. 忽略多种构成：目标项可能由多个不同乘积途径生成，仅考虑一种会遗漏部分系数。 注意事项：系统展开：按运算法则逐步展开，确保所有乘积项无遗漏。准确合并：严格按字母指数合并同类项。解零方程：令目标项系数为零建方程求解，并检验。 【例4】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）关于的代数式化简后不含项和常数项． (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的混合运算、解一元一次方程、代数式求值． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的a和b的值，即可解答． 【详解】（1）解： ， ∵化简后不含 项和常数项， ∴，， ∴，； （2）解：， 由（1）知，， ∴， 原式． 【变式】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）定义，如．已知（为常数），． (1)若，求的值 (2)若的代数式中不含的一次项，求的值 (3)若的满足，且的值，求的值 【答案】(1)6 (2)2 (3) 【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，即可求解； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解：若，则 ， 即， 解得， 则的值为6； （2） ， 若的代数式中不含的一次项， 则， 解得， 即的值为2； （3）， ， 解得， ， ， ， 即， ． 易错点5 多项式乘法中的规律性问题 多项式乘法规律性问题易错总结 1. 规律概括不全：仅从特例直接概括，未验证项数、符号、指数的普遍规律。 2. 表达式错误：写出规律的通项公式时，系数、指数或符号的表达式有偏差。 3. 应用范围不清：将特殊规律（如平方差、完全平方）错误推广到一般形式。 注意事项： - 从特殊到一般：先计算2-3个具体案例，观察系数、指数、项数变化。 - 多角度验证：用不同方法（如乘法法则、几何模型）交叉验证规律。 - 严格表述：用数学语言清晰表述规律，明确适用条件（如项数、符号）。 【例5】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【答案】(1) (2) (3)运算规律为：，说明见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，结合发现的规律列出式子计算即可得解； （2）根据题目给出的等式，结合（2）的题目信息列出式子即可发现规律； （3）根据题目给出的等式，即可发现规律，运用整式的乘法运算即可证得结论． 【详解】（1）解：， ， ，…… ， 故答案为：； （2）解：由题目知：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且， ， 故答案为：； （3）解：，，，，… 且由题目知：设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数）， 可得运算规律为：， 说明如下： ， ． 【变式】（25-26八年级上·江西赣州·月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)①的展开式共有______项；②根据上面的规律，则的展开式______． (2)运用：今天是星期一，经过天后是星期几？ (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)二 (3)2 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键： （1）根据给出的等式，得出规律，故的展开式共有项，观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）利用7天为一个周期，的最后一项是1， 则的余数是1，即可得出答案； （3）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知：的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，依次类推，共有项， 观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1 则； （2）解：依题意，，其展开式的最后一项为1， ∴的余数为1， ∵今天是星期一， ∴经过天后是星期二； （3）解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴ 易错点6 平方差公式与几何图形的应用 平方差公式与几何图形应用易错总结 1. 图形对应错误：未能正确识别图形中哪部分面积可表示为a2 - b2（大正方形减小正方形）。 2. 拼凑方式单一：只想到一种剪拼方式（如变成长方形），忽略其他等面积变形思路。 3. 公式逆用困难：已知面积差和边长关系求边长时，想不到用a2 - b2= (a+b)(a-b)进行因式分解求解。 注意事项： - 标记关键量：在图上明确标出公式中的a和b对应的线段。 - 理解恒等本质：面积法验证时，关注图形剪拼前后的等积变换过程。 - 数形结合：将公式的代数结构与图形的割补、平移操作对应起来。 【例6】（25-26八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查平方差公式的变形计算，掌握平方差公式是关键． （1）根据图形面积计算即可； （2）运用（1）中的结论计算即可； （3）①运用（1）中的结论计算即可； ②运用（1）中的结论分别计算出每一项，最后再计算乘法即可． 【详解】（1）解：图1的面积为，图2的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①，，， ， ； ② ． 【变式】（25-26八年级上·重庆璧山·期中）已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）根据图形表示出阴影部分的面积即可求解； （）①利用平方差公式计算即可求解；②利用平方差公式可得计算结果为，再找出个位数字的变化规律即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景以及数字的变化规律，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，阴影部分的面积为；由图可得，阴影部分的面积为， ∴得到的等式是， 故答案为：； （2）解：① ； ②原式 ， ∵，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ， ∴个位数字以，，，的规律重复出现， ∵， ∴的个位数字为， 即的结果的个位数字为． 易错点7 完全平方公式与几何图形的应用 完全平方公式与几何图形应用易错总结 1. 图形分割不当：未能将整体图形（如大正方形）正确分割为公式对应的四部分（a2, b2, 2ab）。 2. 量值对应错误：将公式中的a和b与图形中的线段长度错误对应，尤其在含重叠部分时。 3. 忽略公式变形：仅掌握(a+b)2的展开，忽略(a-b)2的图形解释。 注意事项： - 先形后代：先用图形直观表示各部分面积，再写出代数式。 - 验证恒等：通过图形拼补，直观验证a2+2ab+b2 = (a+b)2。 - 双向理解：能根据图形写出公式，也能根据公式构造对应图形。 【例7】（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【知识生成】（1）一个长为，宽为的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形．观察图形，写出一个，三者之间的等量关系式：__________________． 【知识应用】（2）运用（1）中的结论，若，求的值： 【类比迁移】（3）如图3，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）30 【分析】本题主要考查完全平方公式和几何图形面积的关系，完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）图2中大正方形面积为；四个小长方形面积为，中间空白的小正方形面积为，根据图形面积之间的关系可得答案； （2）结合第一问的，即可得代入即可； （3）根据，，求出，根据，即可得出答案． 【详解】解：（1）图2中大正方形的边长为，则其面积可以表示为； 图2中四个小长方形的面积可以表示为，中间空白的小正方形边长为，则其面积可以表示为， ∴； （2）∵，，， ∴； （3）∵，， ∴ ， ． 【变式】（25-26八年级上·福建泉州·月考）综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，“智慧小组”将4个全等的长为，宽为的长方形纸片由图1拼成如图2所示的图形． 【操作发现】 （1）根据图1和图2中阴影部分的面积相等的关系，能验证的公式是______，利用此公式解决问题：若，且，求的值． 【解决问题】 （2）已知，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，分别以为边作正方形和正方形为上一点，点在的延长线上，且，若，，求图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式与图形的面积，完全平方公式变形求值； （1）根据两个图形的面积相等即可得出等式，进而将，代入公式进行计算即可求解； （2）设，则，，再根据完全平方公式变形，即可求解； （3）设，根据题意得出，，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，图1中阴影部分的面积为， 图1中阴影部分的面积为 ， ∵图1和图2中阴影部分的面积相等， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）解：设， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 即图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积为． 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若 ，则 （     ） A．9 B．12 C．27 D．81 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂除法逆运算，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行计算； 由已知方程可得的值，再将所求表达式化为同底数幂的形式，代入计算． 【详解】解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴故选：D. 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了负整数指数幂、零指数幂、乘方，分别计算a、b、c的值，然后比较大小． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：C． 3．（25-26七年级上·上海·期末）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算图1中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即计算图2中拼成的平行四边形面积，其长为宽为面积为由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 【详解】解：图1中，阴影部分是从边长为a的大正方形中挖去边长为b的小正方形， 因此阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即． 图2中，阴影部分被拼成一个平行四边形，其一边长为该边上的高为 因此该平行四边形的面积为底乘高，即． 由于阴影部分的面积在裁剪和拼接过程中不变，即 所以． 故选：D． 4．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的展开与系数比较，多项式乘法的系数计算，代数式求值等知识点．先根据多项式A的展开，求出a、b、c、d的值；然后分别验证三个说法：说法①直接计算；说法②通过中项系数为0推导f与e的关系；说法③利用，推导f与e的关系． 【详解】解：∵， 展开， 比较系数得：，，，且， ∴， 则，， ∴，故说法①正确； ∵，，， M中项系数来自： A的项的常数项：， A的项的x项：， A的项的项：， ∴项系数为， 令其为0：， ∴，故说法②正确； ∵，， 由于， 又∵N为整式， ∴余数，即，故说法③正确， 综上，三个说法均正确， 故选：D． 二、填空题 5．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的运算法则：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减．先计算乘方，再计算同底数幂的乘除即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·云南昭通·月考）已知的展开式中不含项和x项，则m= ，n= ． 【答案】 2 4 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，熟练掌握其法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式的法则展开，令项和项的系数为零，列方程求解． 【详解】展开 ， 由于展开式中不含 项和 项， 则：， 解得：． 故答案为：2；4． 7．（25-26八年级上·山东日照·月考）若等式成立，则x的值为 ． 【答案】 或或 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．直接利用当时，当时，当时，分别分析得出答案． 【详解】解：当时， 解得， 此时，，更符合题意， 成立； 当时， 解得， 则等式成立； 当时， 解得， 则等式成立； 综上所述，x的值为或或． 故答案为：或或． 8．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）观察下列各式及其展开式 请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，通过已给的式子，能够写出的展开式是解题的关键．根据所给的展开式的规律，求出的展开式，再求项的系数即可． 【详解】解：观察二项式展开式的规律可得：， 含项的系数是． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的乘除法和幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先化简负指数幂和零指数幂，然后计算乘除，最后算加法即可； （2）先算括号内幂的乘方，再算括号内同底数幂的乘法和除法，最后算同底数幂的除法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 10．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 11．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·月考）【探究】如图①，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________． （用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为___________． （2）计算：． 【扩展】计算： 【答案】【探究】【应用】（1）3，（2）；【扩展】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的灵活应用． 探究：利用图形的面积得出平方差公式； 应用：（1）利用平方差公式进行求解即可； （2）利用平方差公式进行求解即可； 扩展：先利用平方差公式进行整理，再进行计算即可． 【详解】解：【探究】， 故答案为：； 【应用】（1）由得，， 即， 将代入上式得，； 故答案为：3； （2）原式 ； 【扩展】 ． 12．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）的值为6；（2）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． （1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， ， 的值为6； （2）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $