27.2.3 第2课时 切线长定理-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（华东师大版）

该初中数学教学设计聚焦切线长定理，通过回顾切线的三种判定方法、性质及辅助线添加，构建新旧知识联系，形成学习支架，为探究切线长定理奠定基础。 以活动探究为主线，通过动手测量、猜想证明培养几何直观与推理能力，分类讨论点与圆位置关系渗透逻辑思维，符号语言规范表达提升数学语言能力，助力学生深化理解，为教师提供结构化教学方案。

第2课时 切线长定理 教学目标 1.了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算 2.在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题 教学重难点 重点：理解切线长定理 难点：灵活应用切线长定理解决问题 教学过程 一、导入 1.请同学们回忆一下你学过的哪些知识可以判断一条直线是圆的切线？ （1）一条直线与一个圆有唯一公共点； （2）圆心到直线的距离等于半径； （3）经过半径外端且垂直于这条半径的直线. 2.在上节课的学习中，我们还学习了圆的切线的性质，你还记得性质内容是什么吗？ 圆的切线垂直于过切点的半径. 3.在运用圆的切线的性质解决问题时经常添加的辅助线是什么？ 连结切点与圆心. 二、课堂新授 活动一： 请同学们完成以下任务：经过平面上一个已知点P，作已知⊙O的切线. 分析：首先考虑点与圆的位置关系. 1.点在圆内； 2.点在圆上； 3.点在圆外 因为点与圆有三种位置关系，所以经过平面上一个已知点P，作已知⊙O的切线要分三种情况进行讨论 1.点在圆内 过圆内一点P的直线与⊙O总是有两个交点，所以不能画出⊙O的切线 2.点在圆上 依据：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，切线的判定定理. 3.点在圆外 依据：直径所对圆周角是直角，切线的判定定理.由于以OP为直径的圆与⊙O有两个交点，所以可以画出两条切线. 点在圆上作圆的切线这种情况我们已经研究过了，这节课我们主要研究第三种情况经过圆外一点作圆的切线时具有哪些性质 活动二：探究切线长定理 1.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 2.问题：切线与切线长有什么区别？ 切线与切线长的区别：切线是一条直线，不可以度量长度； 切线长是切线上一点与切点之间的线段长，是可以进行度量的 活动三： 请同学们按照下面要求完成以下任务： 已知：如图，过圆外一点P，作⊙O的两条切线PA、PB，点A、B为切点 （1）请用刻度尺测量线段PA和线段PB的长度 （2）请用量角器测量∠APO和∠BPO的度数. （3）请你猜想线段PA和线段PB有什么关系，∠APO和∠BPO有什么关系？ （4）你能证明你的猜想吗？ 猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO 已知：如图，过圆外一点P，作⊙O的两条切线PA、PB，点A、B为切点. 求证: PA=PB，∠APO=∠BPO. 分析：要证明PA=PB，∠APO=∠BPO，只需要证明Rt△PAO≌Rt△PBO 证明：连结OA、OB. ∵PA切⊙O于点A， ∴OA⊥PA. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP. ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 追问:你还其他方法证明这个结论吗? 通过证明我们发现这个猜想的结论是正确的，这就是我们今天要重点学习的切线长定理. 4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 分析定理： 条件：从圆外一点引圆的两条切线 结论：①切线长相等（线段）P； ②这点和圆心的连线平分两条切线的夹角（角） 符号语言： ∵PA，PB切⊙O于点A，B ， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO . 5.问题: 已知：过圆外一点P，作⊙O的两条切线PA、PB，点A、B为切点，若OP交⊙O于点D，连接AB,交OP于点C，你还能得到那些结论？ （1）垂直关系 OA⊥PA，OB⊥PB（切线的性质）， AB⊥PO（三线合一）. （2）相等的角（除直角外） ∠OAB=∠OBA=∠APO=∠BPO， ∠AOP=∠BOP=∠BAP=∠ABP. （3）相等线段 AC=BC(三线合一). （4）全等关系 △PAO≌△PBO，△PAC≌△PBC，△AOC≌△BOC. （5）相似关系 △PAO∽△PBO∽△PAC∽△PBC∽△AOC∽△BOC. 三、巩固练习 1.下列说法正确的是(　　) A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径 2.如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列结论不正确的是(　　) A．PA＝PB B．∠APO＝20° C．∠OBP＝70° D．∠AOP＝70° 3.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(　　) A．4　　　　B．8　　　C．4 　　　D．8 　 4.如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是(　　) A．60° 　B．65° C．70°　 D．75° 四、课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ （一）知识方面 1.切线长的定义； 2.切线长定理； 3.基本图形. （二）方法方面 1.分类讨论的数学方法； 2.特殊到一般的数学方法. 五、布置作业 1.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°,求∠P的度数. 2.如图，PA，PB分别于⊙O切于A，B两点，点C为劣弧上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点，如果AP=5cm，求△PDE的周长. 学科网（北京）股份有限公司 $